函數定義域的求法整理(整理詳細版)

1、函數定義域的求法整理、常規(guī)型即給出函數的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式(或 組)即得原函數的定義域。Jx2 _2x _15例1 求函數y = 的定義域。|x +3|-8解：要使函數有意義，則必須滿足婦-2x-15畠0x+3|七式0由解得 x遼占或x _5。由解得 x = 5或x = -11和求交集得x豈-3且x = -11或x>5。故所求函數的定義域為x|x_3且x=-11 x |x 5。例2 求函數y =Ysin x +的定義域。J16X2解：要使函數有意義，則必須滿足sinx亠016-x20由解得 2k-： _x _ 2k二，k

2、 ：= Z 由解得一4 : x : 4由和求公共部分，得-4 : x _ -"或0 : x 一二故函數的定義域為(V, -二(0，二二、抽象函數型抽象函數是指沒有給出解析式的函數，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數的定義域求另一個抽象函數 的解析式，一般有兩種情況。(1) 已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2) 其解法是：已知f (x)的定義域是a, b求fg(x)的定義域是解a乞g(x)空b，即為所求的定義域。例3 已知f (x)的定義域為2, 2,求f(x2 -1)的定義域。解：令-2乞x2 -1乞2，得-1乞x2乞3，即0乞x2乞3，因此0乞|xF -3，

3、從而- . 3空x乞3，故函數的定義域是x | -.3 一 x 一 . 3。(2)已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a，b，求f(x)定義域的方法是：由a蘭x E b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4已知f (2x +1)的定義域為1, 2,求f(x)的定義域。解：因為1豈x豈2,2豈2x < 4,3乞2x 1乞5。即函數f(x)的定義域是x | 3乞x豈5。三、逆向型即已知所給函數的定義域求解析式中參數的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決。例5已知函數y =、mx2 6mx - m

4、- 8的定義域為R求實數m的取值范圍。分析：函數的定義域為 R,表明mx2 -6mx 8_0，使一切x R都成立，由x2項的系數是m,所以應分 m=0 或m = 0進行討論。解：當m=0時，函數的定義域為 R;當m = 0時，mx2 -6mx m 0是二次不等式，其對一切實數 x都成立的充要條件是>0A =(-6m)2 4m(m +8)蘭0=0 ： m _ 1綜上可知0 _ m _ 1。評注：不少學生容易忽略 m=0的情況，希望通過此例解決問題。已知函數f(x)=kx 72kx 4kx 3的定義域是R,求實數k的取值范圍。解：要使函數有意義，則必須kx2 4kx 3工0恒成立，因為f(x

5、)的定義域為R，即kx2 4kx 3 = 0無實數23 當kz 0時，厶=16k2 -4 3k : 0恒成立，解得0 ： k ：4 當k=0時，方程左邊=3工0恒成立。求函數的定義域。1解：設矩形一邊為 x，則另一邊長為(a - 2x)于是可得矩形面積。2112y =x(a2x)axx222+1 -x ax。2由問題的實際意義，知函數的定義域應滿足x 0丄(a-2x)0x >0-2x > 0c a=0 :：: x ：21 a故所求函數的解析式為y = -X2ax，定義域為(0,)。22x,求此框架圍成的面積 y與x的例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊

6、長為函數關系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。因為CD=AB=2x，所以CD二x，所以AD二cL - AB - CD2L -2x -二x2故 y =2x L 2x 一 二x兀 2-(2)x2 Lx2根據實際問題的意義知2x Q Q-L -2x -二xI 2故函數的解析式為二、2 (2W)xLx，定義域(五、參數型對于含參數的函數,求定義域時，必須對分母分類討論。例9 已知f(x)的定義域為0, 1 ，求函數F(x) =f(x+a)+f(x-a)的定義域。解：因為f (x)的定義域為Q, 1,即Q Wx蘭1。故函數F(x)的定義域為下列不

7、等式組的解集:Q Ex +a 蘭1 加'一a Ex 蘭1 a丿，即丿° 蘭xa 蘭1蘭xE1+a即兩個區(qū)間a, 1- a與a, 1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知1(1) 當a乞0時，f (x)的定義域為x | -a乞x乞1 a；21(2) 當Q曲 時，F(xiàn) (x)的定義域為x |a乞x空1 - a；11(3) 當a 或a時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F (x)不能構成函數。22六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函數的單 調區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數的單調區(qū)間，必須先求定義域。例10 求函數y = log2( -x2 2x 3)的單調區(qū)間。解：由-x2 2x 3 Q，即x2 -2x -3 ：Q，解得-1 ： x < 3。即函數y的定義域為(一1, 3)。函數y =log2(-x2 2x 3)是由函數y =log2t,-x2 2x 3復合而成的。t =-X22x-(x-1)24，對稱軸x=1，由二次函數的單調性，可知t在區(qū)間(-：,1上是增函