第一章極限運(yùn)算法則ppt課件

1、極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則 本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為0的變量。的變量。對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義1.定義定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小極限為零

2、的變量稱為無(wú)窮小.定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, , 那末那末 稱函數(shù)稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)

3、的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的變化過(guò)程；變化過(guò)程；2.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小.證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0

4、 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 意義意義 1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮無(wú)窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤誤差差為為附附近近的的近近似似表表達(dá)達(dá)式式在在給給出出了了函函數(shù)數(shù)3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小仍是無(wú)窮小.證證,時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)及及設(shè)設(shè) x

5、使得使得, 0, 0, 021 NN;21 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx;22 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx,max21NNN 取取恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是是無(wú)無(wú)窮窮小小，時(shí)時(shí)例例如如nn1, .11不不是是無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和為為個(gè)個(gè)但但nn性質(zhì)性質(zhì)1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒

6、有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)則則,0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又設(shè)設(shè)xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng),min21 取取恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),00 xx uuMM , .,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxx推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小性質(zhì)性質(zhì)1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小

7、的代數(shù)和仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為

8、無(wú)窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxx3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.,1sin1,0,但但不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(

9、0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)無(wú)界，無(wú)界，), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大.11lim1 xx證證明明例例證證11 xy. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在

10、同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1,0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1,0為為無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx 意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論小的討論. .四、極限運(yùn)算法則四、極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim

11、)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 ,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立注

12、注此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立此定理證明的基本原則：此定理證明的基本原則：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù) (2)有兩個(gè)重要的推論有兩個(gè)重要的推論推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論推論2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果定理的條件：定理的條件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形還須加上分母的極限

13、不為商的情形還須加上分母的極限不為0定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商的極限定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商等于極限的和、差、積、商定理中極限號(hào)下面沒(méi)有指明極限過(guò)程，是指對(duì)定理中極限號(hào)下面沒(méi)有指明極限過(guò)程，是指對(duì)任何一個(gè)過(guò)程都成立任何一個(gè)過(guò)程都成立五、求極限方法舉例五、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 小結(jié)小結(jié):

14、 :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ例例2 2.3214lim21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小

15、與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得.3214lim21 xxxx例例3 3.321lim221 xxxx求求解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x)00(型型.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 (消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x33232

16、3147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n先變形再求極限先變形再求極限.222221lim)21(limnnnnn

17、nnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 由以上幾例可見(jiàn)，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求由以上幾例可見(jiàn)，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有有時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時(shí)可以利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無(wú)窮小與無(wú)窮大的時(shí)可以利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求極限。關(guān)系求極限。六、復(fù)合函數(shù)極限六、復(fù)合函數(shù)極限定理定理 （復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則變量代換法則）變量代換法則）AufxfAufaxxaxauxxauxx )

18、(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在但在設(shè)設(shè)證證知知由由Aufau )(lim0, 0 有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng),|0 au |)(|Auf得得又又由由axxx )(lim0 00 ，對(duì)上述對(duì)上述有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng),|00 xx |)(|axax )( 又又 |)(|0ax |)(|Axf由極限定義得由極限定義得Aufxfauxx )(lim)(lim0 AufxfAufaxxaxauxxauxx )(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在但在設(shè)設(shè)定理此定理表明：此定理表明：滿滿足足定定理理的的條條件件與與若若)()(xuf 則可作代換則可作代換轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為把求把求)(lim)(0 xfxuxx )(lim),(lim0 xaufxxau 這里這里極限過(guò)程的轉(zhuǎn)化極限過(guò)程的轉(zhuǎn)化注注AufAufxaxuau )(lim)(lim)(lim)(lim換成換成換成換成如將如將 可得類似的定理可得類似的定理無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:（1） 無(wú)窮?。o(wú)窮小（ 大是變量大是變量,不能與很小