數值分析實驗作業(yè),gauss消去法的數值穩(wěn)定性分析

1、實驗3.1 Gauss 消去法的數值穩(wěn)定性試驗實驗目的:觀察和理解Gauss消元過程中出現(xiàn)小主元(即很小)時引起的方程組解的數值不穩(wěn)定性。實驗內容：求解方程組，其中（1），；（2）,.實驗要求：（1） 計算矩陣的條件數，判斷系數矩陣是良態(tài)的還是病態(tài)的。（2） 用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量.（3） 用不選主元的Gauss消去法求得和及解向量.（4） 觀察小主元并分析其對計算結果的影響.程序如下:計算矩陣條件數及Gauss列主元消去法:format longeng A1=0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1;b1

2、=59.17;46.78;1;2;n=4;k2=cond(A1) %k2為矩陣的條件數；for k=1:n-1 a=max(abs(A1(k:n,k); p,k=find(A1=a); B=A1(k,:);c=b1(k); A1(k,:)=A1(p,:);b1(k)=b1(p); A1(p,:)=B;b1(p)=c; if A1(k,k)=0 A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k); A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n); else breakendendL1=tril(A1,0);for i=1

3、:n L1(i,i)=1;endL=L1U=triu(A1,0)for j=1:n-1 b1(j)=b1(j)/L(j,j); b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L(j+1:n,j);endb1(n)=b1(n)/L(n,n);for j=n:-1:2 b1(j)=b1(j)/U(j,j); b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j);endb1(1)=b1(1)/U(1,1);x1=b1運行結果如下：K2=68.43；=18.9882;3.3378;-34.747;-33.9865不選主元的Gauss消去法程序：clearformat long

4、engA1=0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1;b1=59.17;46.78;1;2;n=4;for k=1:n-1 A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k); A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n);endL1=tril(A1,0);for i=1:n L1(i,i)=1;endL=L1U=triu(A1,0)for j=1:n-1 b1(j)=b1(j)/L(j,j); b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L

5、(j+1:n,j);endb1(n)=b1(n)/L(n,n);for j=n:-1:2 b1(j)=b1(j)/U(j,j); b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j);endb1(1)=b1(1)/U(1,1);x1=b1程序運行結果如下：同理可得對應的系數矩陣條件數及Gauss列主元消去法求解結果：K2=8.994;不選主元的Gauss消去法結果：實驗4.5 三次樣條插值函數的收斂性問題提出：多項式插值不一定收斂的，即插值的節(jié)點多，效果不一定就好。對三次樣條插值函數又如何呢？理論上證明三次樣條插值函數的收斂性是比較困難的，也超過了本課程的內容。通過本實驗可

6、以驗證這一理論結果. 實驗內容：請按一定的規(guī)則分別選擇等距或者非等距的插值節(jié)點，并不斷增加插值節(jié)點的個數。考慮實驗4.4中的函數或者選擇其他感興趣的函數，可用Matlab的函數“spline”作此函數的三次樣條插值函數。實驗要求：（1） 隨著節(jié)點個數的增加，比較被逼近函數和三次樣條差值函數的誤差變化情況。分析所得結果并與拉格朗日插值多項式比較。（2） 三次樣條插值函數的思想最早產生于工業(yè)部門。作為工業(yè)迎合用的例子，考慮如下例子：某汽車制造商根據三次樣條差值函數設計車門曲線，其中一段的數據如下：0123456789100.00.791.532.192.713.033.272.893.063.19

7、3.290.80.2(3)計算實驗4.4的樣條插值.程序如下：format shortx1=-1:0.5:1;y1=1./(1+25.*x1.*x1);x2=-1:0.25:1;y2=1./(1+25.*x2.*x2);x3=-1:0.1:1;y3=1./(1+25.*x3.*x3);x4=-1,-0.82,-0.6,-0.53,-0.34,-0.2,0,0.04,0.2,0.25,0.5,0.8,1;y4=1./(1+25.*x4.*x4);xx=-1:0.01:1;yy1=spline(x1,y1,xx);yy2=spline(x2,y2,xx);yy3=spline(x3,y3,xx);

8、yy4=spline(x4,y4,xx);hold on fplot('1./(1+25.*x.*x)',-1,1,'m') plot(xx,yy1,'g') plot(xx,yy2,'b') plot(xx,yy3,'k') plot(xx,yy4,'r') hold off %比較被逼近函數與三次樣條插值函數圖像，直觀表現(xiàn)不同插值節(jié)點處誤差的變化 xx=-1:0.2:1; y=1./(1+25.*xx.*xx)%函數在相應節(jié)點處的真實值； yy1=spline(x1,y1,xx) y1la=la

9、grange(x1,y1,xx) yy2=spline(x2,y2,xx) y2la=lagrange(x2,y2,xx) yy3=spline(x3,y3,xx) y3la=lagrange(x3,y3,xx) yy4=spline(x4,y4,xx) y4la=lagrange(x4,y4,xx)其中l(wèi)agrange函數對應的m文件為：function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0

10、(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end程序運行結果如下：插值結果比較：y0.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385yy10.0385-0.252-0.06230.36870.802410.80240.3687-0.0623-0.2520.0385y1la0.0385-0.3793-0.11010.40050.834210.83420.4005-0.1101-0.37930.0385yy20.03850.05510.10850.17650.534210.53420.17650.10850.05510

11、.0385y2la0.0385-0.25870.30490.07260.563610.56360.07260.3049-0.25870.0385yy30.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385y3la0.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385yy40.03850.05870.10.20160.510.50.19890.09930.05880.0385y4la0.03850.43120.10.24610.510.50.2640.23870.05880.0385車門曲線求解程序:x=0:10;y=0,0.79,

12、1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29;dx0=0.8;dx10=0.2;S=csfit(x,y,dx0,dx10)其中csfit函數的m文件為:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)%Clamped Cubic Spline%Input -X is the 1xn abscissa vector% -Y is the 1xn ordinate vector% -dx0=S'(x0) first derivative boundary condition% -dxn=S'(xn) first derivati

13、ve boundary condition%Output-S: rows of S are the coefficients, in descending order, for the% cubic interpolantsN=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);%Clamped spline endpoint constraintsB(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1)-dx0);B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U

14、(N-1)=U(N-1)-3*(dxn-D(N);for k=2:N-1 temp=A(k-1)/B(k-1); B(k)=B(k)-temp*C(k-1); U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1 M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N)/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1 S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1); S(k+1,2)=M(k+1)/2; S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6; S(k+1,4)=Y(k+1);endend程序運行結果為:S= -0.0085-0.00150.80-0.0045-0.0270.