2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《基本不等式及應(yīng)用》

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練基本不等式及應(yīng)用【題型一】：基本不等式ab上上的理解2【題型二】：利用基本不等式而圣求最值2【題型三】：基本不等式應(yīng)用【題型四】：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用【題型一】：基本不等式aba_b的理解2【例1】.a0,b0,給出下列推導(dǎo)，其中正確的有(填序號)(1) abJ的最小值為2夜；ab一11一一，一(2) (ab)(-g)的最小值為4;(3) a的最小值為2.a4【解析】(1);(2)(1)：a0,b0,.ab2廟2收(當(dāng)且僅當(dāng)ab及時取等號)-ab、.ab24 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)11(2)a0,b0,.(ab)(11)ab1-1；一廠

2、42.(a4)4a4a43時取等號)1一(當(dāng)且僅當(dāng)a4即a41,aa4Va0,與a3矛盾，上式不能取等號，即a，2a4【總結(jié)升華】在用基本不等式求函數(shù)的最值時，必須同時具備三個條件：一正二定三取等，缺一不可【變式訓(xùn)練】【變式11給出下面四個推導(dǎo)過程:產(chǎn)2； b a. a, b R 2 b aD.x,yR,.|gxlgy2jlgxIgy;.x,yR,xy0,.?y(x)(b2(x)()2.yxyx1yx其中正確的推導(dǎo)為()A.B.C.D.【解析】:a,bR,-,aR,符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確.ab雖然x,yR，但當(dāng)x(0,1)或y(0,1)時，lgx,lgy是負(fù)數(shù)，的推導(dǎo)是錯誤的由aR,

3、不符合基本不等式的條件，-a2.pl4是錯誤的.aa由xy0,得2二均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過程中，將整體提出負(fù)號后，xy(x)(y)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確.選D.yxy -2=L的最小值為2 x2 24y 2 3x - (x 0)的取x2；【變式2】下列命題正確的是()A.函數(shù)yx-的最小值為2.B.函數(shù)xC.函數(shù)y23x4(x0)最大值為2473D.函數(shù)x小值為2【答案】C【解析】A選項中，:x0,當(dāng)x0,時由基本不等式x-x當(dāng)x0時x-2.選項A錯誤.xB選項中，:y2x221xn的最小值為2x22x22x22(當(dāng)且僅當(dāng)Jx221時，成立)但是占222,.這是不可能的.選項B

4、錯誤.C選項中，.x0,.y23x42(3x-)24向，故選項C正確xx【題型二】：利用基本不等式后圣求最值【例2】設(shè)ab0,則a21aba(a1一的最小值是b）A.1B.2C.D.4【解析】1ab1a(ab)abababa(ab)a(ab)1a(ab)(ab1ab)a(ab)當(dāng)且僅當(dāng)ab1aba(ab)9時取等號.【變式訓(xùn)練】【變式1】若x0,求f(x)9一一4x9的最大值.【解析】因為x0,所以0,x由基本不等式得：f(x)9(4x一)x(4x)(-)2,(4x)()23612,（當(dāng)且僅當(dāng)4x故當(dāng)x3-一時，f(x)4x23,一一e時，取等號）29取得最大值12.x【變式2】已知x0,求f

5、(x)204x的最大值.x【解析】:x0x0,成立）.(x)f(x)故當(dāng)x202(x)4x44(x)x4（當(dāng)且僅當(dāng)204442時，f（x）的最大值為4.1【例3】.已知a0,b0,a+t)=2,則y=一a即x2時,（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?時，等號44的最小值是bB.4D.5a0,b0,8b)(a1b) 5(54a、1b4a、9)-(52)-b2,ab2【答案】選【變式訓(xùn)練】：【變式1】若x0,y。，且2x-1,求xy的最小值.y【解析】:x0,0,8282xy88.xy（當(dāng)且僅當(dāng)y16時，等號成立）xy64(當(dāng)且僅當(dāng)x4,y16時，等號成立）故當(dāng)x4,y16時，xy的最小值為64._、，_,一1

6、91 ,求x+y的最小值?！咀兪?已知x0,y0,且1三xy1919y9x【斛析】1,xy(xy)10xyxyxyx0,y0,Y92s2/6xy,xy（當(dāng)且僅當(dāng)、之，即y=3x時，取等號）xy19.又一一1,x=4,y=12xy當(dāng)x=4,y=12時，x+y取最小值16?！绢}型三】：基本不等式應(yīng)用【例4】.設(shè)x,yR,xy1,求證：(x1)(y1)25xy4【證明】1125x_yxy4225.八yxy1012xy25xy14337xyxy8xyxy8成立【變式訓(xùn)練】：【變式11已知a3,求證：a7a3444【解析】a(a3)32.：(a3)32、437a3a3.a3(當(dāng)且僅當(dāng).a3即a5,等號成

7、立).a3【例5】已知a0,b0,c0,且abc1.11的值為c(2)求證:1,一【解析】(1)由題意可得1帶入計算可得3(2)由題意和基本不等式可得1aa2.bc2,ac2、.ab【變式訓(xùn)練】【變式】已知函數(shù)fxXx1|x3|m的定義域為R.(1)求實數(shù)m的取值范圍.(2)若m的最大值為n,當(dāng)正數(shù)a、b滿足二_3a b1a 2bn時，求7a+4b的最小值.1a 2b12 3a 2b 2 a 2b5 4 a 2b 3a b1 5 2 2.d 2ba 2b4， a 2b 3ab【解析】(1)因為函數(shù)的定義域為R,x1x3m0恒成立設(shè)函數(shù)gxx1x3則m不大于gx的最小值x1x3x1x34即gx的

8、最小值為4,m4(2)由(1)知n=4二一-43aba2b127a4b6a2ba2b43a2b當(dāng)且僅當(dāng)a2b3ab時，即b2a時取等號.97a4b的取小值為一4【題型四】：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用【例6.某農(nóng)場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建立一座豬圈，平面圖為矩形，面積為112m2,預(yù)計(1)修復(fù)1m舊墻的費用是建造1m新墻費用的25%,(2)拆去1m舊墻用以改造建成1m新墻的費用是建1m新墻的50%,(3)為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1m的空缺。試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最小【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。設(shè)修復(fù)成新墻的舊墻為xm，則拆改成新墻的舊墻為(12x)m,于是還需要建造新墻的長為2112(x1)(12x)2x空413.xx設(shè)建造1m新墻需用a元，建造圍墻的總造價為y元，224貝 1 y x a 25% (12 x)a 50% (2x13)ax7x224a（7）a（28、27）4x（當(dāng)且僅當(dāng)G224即x8夜時，等號成立）4x故拆除改造舊墻約為128”米時，總造價最小.【變式訓(xùn)練】：【變式11某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張卡240元.并規(guī)定不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名學(xué)生，教師準(zhǔn)