第八章 圓錐曲線的方程

1、第八章 圓錐曲線的方程網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標定位1.掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.2.掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3.掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).復(fù)習(xí)方略指南圓錐曲線仍將考查圓錐曲線的概念和性質(zhì)、求曲線方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、解析幾何中的定值最值問題.其中直線和圓錐曲線的位置關(guān)系仍是命題的熱點，解析幾何中的定值及最值問題也會有所加強.圓錐曲線內(nèi)容的“應(yīng)用性問題”和“探索性問題”1.搞清概念（對概念定義應(yīng)“咬文嚼字”）；2.熟悉曲線（會“速寫”出符合題目數(shù)量特征要求的曲線）；3.熟練運用代數(shù)、三角、幾何、向量的

2、知識；4.處理問題時要在“大處著眼”（即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想）“小處著手”（即在細節(jié)上能熟練運用各種數(shù)學(xué)知識和方法）.8.1 橢圓知識梳理定義1.到兩個定點F1、F2的距離之和等于定長（|F1F2|）的點的軌跡2.到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（0，1）的點的軌跡3.參數(shù)方程方程1. +=1（ab0），c=，焦點是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦點是F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）x=acos，為參數(shù) y=bsin 性質(zhì)E：+=1（ab0）1.范圍：|x|a，|y|b2.對稱性：關(guān)于x，y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱3.頂點：長軸端點

3、A1（a，0），A2（a，0）；短軸端點B1（0，b），B2（0，b）4.離心率：e=（0，1）5.準線：l1：x=，l2：x=6.焦半徑：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex思考討論 對于焦點在y軸上的橢圓+=1（ab0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式怎樣推導(dǎo)？點擊雙基1. （2007北京文4）橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）解析：橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則，該橢圓離心率e，取值范圍是。答案：D2. （2007江西理9文12）設(shè)橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）必在圓內(nèi)必在圓上必在圓

4、外以上三種情形都有可能解析：由=得a=2c，b=，所以，所以點到圓心（0，0）的距離為，所以點P在圓內(nèi).答案：A3.橢圓（為參數(shù)）的焦點坐標為 x=4+5cos，y=3sin A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消參數(shù)得橢圓+=1，c=4.易得焦點（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.解析：橢圓方程化為+=1.焦點在y軸上，則2，即k0，0k0，n0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m

5、+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長公式得2=（）2，將m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.8.（2006年福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。解：（I）圓過點O、F，圓心M在直

6、線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為探究創(chuàng)新9.已知常數(shù)a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且=，P為GE與OF的交點（如下圖）.問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.分析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點坐標滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.解：按題意，有A（2，0），B（2，0），C（2，

7、4a），D（2，4a）.設(shè)=k（0k1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k1）y=0. 直線GE的方程為a（2k1）x+y2a=0. 由消去參數(shù)k，得點P（x，y）滿足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.當(dāng)a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當(dāng)a2時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.當(dāng)a2時，點P到橢圓兩個焦點（，a），（，a）的距離之和為定值.當(dāng)a2時，點P到橢圓兩個焦點（0，a），（0，a+）的距離之和為定值2a.評注：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性

8、質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.思悟小結(jié)1.橢圓的定義是解決問題的出發(fā)點，尤其是第二定義，如果運用恰當(dāng)可收到事半功倍之效（如關(guān)于求焦半徑的問題）.2.要明確參數(shù)a、b、c、e的相互關(guān)系、幾何意義及與一些概念的聯(lián)系.靈活運用它們之間的關(guān)系可使問題順利解決.3.橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e；（2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=

9、p=，|PM2|+|PM1|=.教學(xué)點睛本節(jié)的重點是橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價轉(zhuǎn)化的運用.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點：（1）橢圓中有一個十分重要的三角形OF1B2（如下圖），它的三邊長分別為a、b、c.易見c2=a2b2，且若記OF1B2=，則cos=e.（2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標系無關(guān)，而坐標系是研究的手段.實際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標系，這些性質(zhì)不因坐標系的選擇而改變.例如

10、上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐標系的改變而改變.（3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在.（4）橢圓標準方程中兩個參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標準方程中，總有ab0；橢圓的焦點位置決定標準方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同號，就是橢圓方程.（5）當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點與焦點的距離，焦點弦長相關(guān)時，常利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化為點到準線的距離來研究，即

11、正確應(yīng)用焦半徑公式.（6）使用橢圓的第二定義時，一定要注意動點P到焦點的距離與對應(yīng)準線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點與準線不是對應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.拓展題例【例1】（2006年全國卷I）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程；（）的最小值。解：（I）根據(jù)題意，橢圓半焦距長為，半長軸長為，半短軸長，即橢圓的方程為。 設(shè)點P坐標為（，）（其中），則切線C的方程為：點A坐標為：（，0），點B坐標為（0，），點M坐標為：（，）所以點M的軌跡方程為：（且）（II）等價于求函數(shù)（其中）的最小值當(dāng)時等號成立，此時即。因此，點M坐標為（，）時，所求最小值為?！纠?】（2007四川理20）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動