第二章 隨機(jī)變量

1、第二章 隨機(jī)變量基本要求 理解隨機(jī)變量及其分布函數(shù)；深刻理解離散型的分布列、連續(xù)型的密度函數(shù)的概念，掌握它們的基本性質(zhì)；掌握幾種常見的分布（二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等）；深刻理解隨機(jī)變量的期望與方差的概念及其意義；理解二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)的概念。重點 隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征 難點 二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)。第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念變量中有確定性變量，即變量的變化是確定性的；還有不確定性變量即隨機(jī)變量，它的取值帶有隨機(jī)性的，隨機(jī)變量通常用、表示。隨機(jī)試驗的定量描述，就是每一個結(jié)果賦予相應(yīng)的數(shù)值，使事件與數(shù)值間建立對應(yīng)的關(guān)系。即把隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行數(shù)

2、量化。例如擲硬幣，兩種結(jié)果：“正”、“反”，“出現(xiàn)正面”“1”、“出現(xiàn)反面”“0”又如，人的體重，“體重為60公斤”“60”、“體重不超過60公斤”“60”定義 在隨機(jī)試驗中，若變量隨著試驗結(jié)果的不同而隨機(jī)地取各種不同的數(shù)值，并且對取每一個數(shù)值或某一范圍內(nèi)的值都有相應(yīng)的概率，則稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)試驗的每一個試驗結(jié)果都唯一對應(yīng)于一個實數(shù)值。二、隨機(jī)變量的類型（1）離散型 只可能取值有限個或可列個（雖然無限個，但可一個一個地排列起來）。（2）連續(xù)型 可取某一區(qū)間或上的一切值。例如，表示從一批產(chǎn)品中抽出件得到的次品數(shù)，它是離散型；表示人的體重，它是連續(xù)型。第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量一、概率分布概率分布

3、對于離散型不僅要知道它的全部可能取值，還要知道它取每個值的概率值。隨機(jī)變量的取值為、，且，。稱（，）或 為隨機(jī)變量的概率分布或分布列。性質(zhì) （，）；例1 某射手有3發(fā)子彈，射一次命中的概率為，如果命中了就停止射擊，否則一直獨立地射到子彈用盡。求耗用子彈數(shù)的分布列。例2 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為。試求：(1)；(2) ；(3) 例3 袋中有12個球，其中2個紅球，從中任取3球，求取出的3個球中紅球個數(shù)的概率分布。例4 某機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，一旦發(fā)生故障則全天停工，一周五個工作日內(nèi)，如不發(fā)生故障可獲利10萬元，如只發(fā)生一次故障則可獲利5萬元，如果發(fā)生2次故障則不獲利也不虧損，如發(fā)生3次或3次以

4、上故障則虧損2萬元。一周內(nèi)所獲利數(shù)為，求的分布列。二、幾種常用的重要分布（1）兩點分布（0-1分布）只取0、1兩個數(shù)。 兩點分布產(chǎn)生的背景是一次貝努里試驗。中獎與否、合格與否、下雨與否、有效與否等都可用兩點分布描述。（2）二項分布 為次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。記作的取值為0，1，2，二項分布產(chǎn)生的背景是重貝努里試驗。所以兩點分布是二項分布的特殊情形。例5 某車間的10部機(jī)器各自獨立地工作，因修理調(diào)整等原因，每部機(jī)器停車的概率為。（1）求同時停車數(shù)目的概率分布；（2）假設(shè)同時停車的機(jī)器超過兩部就會影響車間的生產(chǎn)，求車間的生產(chǎn)正常運行的概率。例6 某工廠每天用水量保證正常的概率為，求最近用

5、量正常的天數(shù)的分布。，則使達(dá)到最大的為例7某射手射擊10發(fā)子彈，命中率為，求至少命中3發(fā)的概率，最可能命中幾發(fā)。（3）普阿松分布 的取值為0，1，2，記作，其分布列為，車站的候車人數(shù)、一年內(nèi)發(fā)生暴雨的次數(shù)等都近似服從普阿松分布。例8 設(shè)服從普阿松分布，已知，求中的。性質(zhì) 如果時，則。實際應(yīng)用中，只要認(rèn)為“很大”、 “很小”時就可以用普阿松分布近似描述二項分布，這時。例9 從次品率為的一批產(chǎn)品中以有放回抽取的方式任取100個產(chǎn)品，求（1）取得的次品數(shù)不多于2個的概率；（2）取得的次品數(shù)至少有1個的概率；（3）取得的次品數(shù)正好有1個的概率（次品數(shù)，近似服從普阿松分布）例10 為保證設(shè)備正常運轉(zhuǎn)，必

6、須配備一定數(shù)量的維修人員，現(xiàn)有同類設(shè)備180臺，且各臺工作相互獨立，任一時刻發(fā)生故障的概率都是，假設(shè)一臺設(shè)備的故障由一人進(jìn)行修理，問應(yīng)配多少名維修人員，才能保證設(shè)備發(fā)生故障后能得到及時修理的概率不小于。（3）超幾何分布 設(shè)N個元素分為兩類：第一類有個，第二類有個（）。從中不重復(fù)抽取個，為這個元素中第一類元素的個數(shù)，的分布列為，例11 某班有學(xué)生20名，其中女生5名。今從中任選4名，求被選到的女生數(shù)的分布。，3，4三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù) ，是一個隨機(jī)事件，分布函數(shù)是這一隨機(jī)事件的概率。性質(zhì)（1）（單調(diào)性）時，并且（2）（3），（4）（右連續(xù)性）離散型隨機(jī)變量的分布律為 則的分布函數(shù)為例1

7、2 設(shè)的分布函數(shù)為，求（1）的分布律；（2），。例13 設(shè)的分布為0 1 2 求的分布函數(shù)。第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念定義 對于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)，有則稱連續(xù)型隨機(jī)變量。其中，稱為的密度函數(shù)。表示隨機(jī)變量落在區(qū)間的平均概率。如果在處連續(xù)，則，這就是將稱為“密度函數(shù)”的原因。性質(zhì)（1）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)（2）在處，當(dāng)連續(xù)時，有（3）；（4）（）例1 設(shè)的分布函數(shù)為，求常數(shù)A例2 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)A；（2）分布函數(shù)；（3）例3 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求(1)常數(shù)A；（2）的密度函數(shù)；（3）。例4 某種元件的壽命（小時

8、）的概率密度為，求5個元件在使用1500小時后，恰有2個元件失效的概率。二、幾種常用的重要分布（1）均勻分布 密度函數(shù)。均勻分布的密度函數(shù)在內(nèi)是一個常數(shù)。分布函數(shù) 例5 某長途汽車每隔3個小時發(fā)一班車，某人來到車站前并不知道發(fā)車的時刻表，問他候車時間少于半小時的概率。（2）指數(shù)分布 ，常用于描述壽命分布。分布函數(shù)例6 某電子元件壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求（1）該元件使用800小時仍沒有壞的概率；（2）在該元件使用了600小時仍沒有壞的條件下，它還可以再使用800小時的概率。（）（3）正態(tài)分布 密度函數(shù)性質(zhì) （1）（2）關(guān)于直線對稱，且在處取得最大值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 密度記為，分布函數(shù)記為可通過查表得到，幾何上，可通過平移、縮放得到標(biāo)準(zhǔn)化變換 ，則性質(zhì) ；因為 ，即的取值幾乎總是落在中。例7 已知，求、例8 公共汽車門的高度是按成年男性與車門的碰頭的機(jī)會不超過設(shè)計的，設(shè)成年男性的身高（厘米），問車門的最低高度應(yīng)為多少？第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是一個函數(shù)，所謂隨機(jī)變量的函數(shù)，就是隨機(jī)變量在取值時，取值為一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則也是離散型隨機(jī)變量。的分布律為 當(dāng)取時，取值為，若均不相同，則由于（），因而的分布律為 若中有相同的值，則應(yīng)將那些使相同的概率值相加。例1 設(shè)的分布為 0 1 2 求的概率分布。例2 設(shè)某市一個月內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)，求的概率分布。（）