考點(diǎn)透析圓錐曲線(歷史班復(fù)習(xí)講義)

1、考點(diǎn)透析圓錐曲線(歷史班復(fù)習(xí)講義)【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；考點(diǎn)2：離心率與準(zhǔn)線方程； 【考點(diǎn)小測(cè)】1（天津卷）如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ ）A B C D 解析：如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為， ，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C. 2（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)解析：雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾

2、斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選C3（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 4解析：依題意可知 ，故選C.4（遼寧卷）曲線與曲線的(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點(diǎn)相同 (D)準(zhǔn)線相同【解析】由知該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案A?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓和雙曲線方程及各參數(shù)的幾何意義，同時(shí)著重考查了審題能力即參數(shù)范圍對(duì)該題的影響。5（全國(guó)卷I）雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則A B C

3、 D解：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選A.6（全國(guó)II）已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是（A）2 （B）6 （C）4 （D）12解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,可得的周長(zhǎng)為4a=,所以選C7（山東卷）在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D)解：不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e，選B8（四川卷）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍

4、的圖形的面積等于（A） （B） （C） （D）解：兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4，選B.9（四川卷）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）48 （B）56 （C）64 （D）72解析：直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和， |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選A.10(上海卷)若曲線|1與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則、分別應(yīng)滿足的條件是 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，；【典型考例】【問(wèn)題1】求圓錐曲線的標(biāo)

5、準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程等例1設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程、離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.解：設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或，離心率；準(zhǔn)線方程，兩準(zhǔn)線的距離為16.例2（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且P F1F1F2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線L過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程。解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2

6、中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2)

7、.由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)【問(wèn)題2】圓錐曲線的定義的問(wèn)題例3（四川卷）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ;例4（江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9解：設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅

8、當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線以及P與N、F2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故選B【問(wèn)題3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來(lái)求解或證明.例5P104例3例6（浙江卷），橢圓1（ab0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（I）過(guò)點(diǎn)、的直線方程

9、為因?yàn)橛深}意得 有惟一解，即有惟一解，所以 （），故 又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為 （II）由（I）得 故從而 由 解得所以 因?yàn)橛值靡虼死?（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解：（I）圓過(guò)點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)

10、F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為例8（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。解：（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2

11、<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡(jiǎn)得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為

12、y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。例9(上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得, 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程

13、是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立.SABC的最大值是. 例10（天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)、直線方程。平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基

14、礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力.滿分14分. 證明：（）由題設(shè)條件知，故 ，即因此，在， 因此，在中 ，.于是，直線OA的斜率.設(shè)直線BF的斜率為，則.這時(shí)，直線BF與軸的交點(diǎn)為()由（），得直線BF得方程為且 由已知，設(shè)、，則它們的坐標(biāo)漫步方程組 由方程組消去，并整理得 由式、和， 由方程組消去，并整理得 由式和， 綜上，得到注意到，得 課后訓(xùn)練1（安徽卷）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A B C D解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D。2（天津卷）橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，則這個(gè)橢圓的方程是（）解析：橢圓

15、的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為 ，則這個(gè)橢圓的方程是，選D.3. （山東卷）設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為0.5的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ B ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. （江蘇卷）點(diǎn)P(-3,1)在橢圓的左準(zhǔn)線上.過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)閍=(2,-5)的光線,經(jīng)直線=-2反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為(A ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 5. (重慶卷)已知，B是圓F：(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。6（江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（

16、6，0）、（6，0）. （）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙

17、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為7（全國(guó)卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（）點(diǎn)M的軌跡方程； （）的最小值。.解: 橢圓方程可寫(xiě)為: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '= 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= ,得切線AB的方程為: y= (xx0)+y0 . 設(shè)A(x,0

18、)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2) ()| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且當(dāng)x21= ,即x=>1時(shí),上式取等號(hào).故的最小值為3.8(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由（15班）解（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2

19、).當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,). =3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說(shuō)明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).9（全國(guó)II）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫(xiě)出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值（15班）解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋