突出數(shù)學(xué)思想方法的概念教學(xué)變量與函數(shù)教學(xué)設(shè)

1、突出數(shù)學(xué)思想方法的概念教學(xué)變量與函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思【教學(xué)設(shè)計(jì)】一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容變量與函數(shù)（人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)八年級上冊第十四章第一節(jié)第一課時）。2內(nèi)容解析函數(shù)是近代數(shù)學(xué)最基本的概念之一，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中起著十分重要的作用，許多數(shù)學(xué)分支（如代數(shù)、三角、解析幾何、微積分、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等）都是以函數(shù)為中心展開研究的。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)起著主導(dǎo)作用，處于核心地位。作為初中數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一的數(shù)與代數(shù)，其“四大主干”數(shù)、式、方程（不等式）、函數(shù)都可以用函數(shù)來 “統(tǒng)帥”：數(shù)集的發(fā)展是為函數(shù)的定義域和值域研究作準(zhǔn)備的；“式”是函數(shù)關(guān)系的重要表達(dá)形式，“式

2、”也可以看作是關(guān)于式中某個（或某些）字母的函數(shù)；方程或不等式的解集則可以理解為使左右兩個函數(shù)值相等或不等的公共定義域的子集。高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容都與函數(shù)密切相關(guān)，譬如，數(shù)列是以自然數(shù)集或其子集為定義域的函數(shù)；微積分初步研究內(nèi)容主要是初等連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)；解析幾何研究的曲線與方程其實(shí)是一類隱函數(shù)。初中階段的函數(shù)概念是從運(yùn)動變化和聯(lián)系對應(yīng)的角度加以定義的，即函數(shù)概念的“變量說”（高中階段為“對應(yīng)說”、大學(xué)階段為“關(guān)系說”），這個定義對一個變化過程中的兩個變量之間的關(guān)系進(jìn)行了描述，因此，首先應(yīng)明確什么是變量，什么是常量。在此基礎(chǔ)上，揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵：在同一變化過程中的兩個變量之間存在這樣的關(guān)系一個

3、變量的變化會引起另一個變量也隨之變化，而且這個變化之間存在單值對應(yīng)的關(guān)系?！白兞?、常量”蘊(yùn)含著分類的思想，“函數(shù)” 蘊(yùn)含著變化的思想和對應(yīng)的思想。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1目標(biāo)（1）了解變量、常量的概念；（2）了解函數(shù)的概念。2目標(biāo)解析（1）通過簡單實(shí)例，說出變量、常量的意義；（2）在具體問題情境中，能識別變量與常量，體會分類思想；（3）經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，體會變化與對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，感悟事物之間相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動、變化、發(fā)展的哲學(xué)思想；（4）能結(jié)合具體實(shí)例判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系。三、教學(xué)問題診斷分析函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點(diǎn)，所以函數(shù)

4、概念一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。尤其是對初中生來說，第一次接觸函數(shù)概念時會感到十分困難。一方面，函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型涉及到很多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。其中復(fù)雜的層次主要包括：（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）這個變化之間存在“單值對應(yīng)”的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對應(yīng)、唯一、確定等。另一方面，函數(shù)概念難以形成的原因是學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備不足。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，學(xué)生接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函

5、數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學(xué)生的思維經(jīng)歷一個飛躍的過程，這個過程需要達(dá)到辨證思維的形態(tài)。然而，此時學(xué)生的辨證思維水平還處于不很成熟的時期，這個矛盾是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中一切認(rèn)知障礙的根源。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念的抽象與概括。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課引言：我們生活在一個充滿變化的世界里。以大家的成長經(jīng)歷為例，從小學(xué)到初中，我們年齡增長了、身體長高了、體重增加了、知識增多了、。同學(xué)們，你們還能舉出在一個變化過程中不斷變化的量的例子嗎？（學(xué)生發(fā)言）看來，在我們?nèi)粘Ｉ钪械教幋嬖谥兓^程中的變化的量，

6、因此，要想了解客觀世界，就離不開研究這些量。下面，我們首先來學(xué)習(xí)與此相關(guān)的知識。設(shè)計(jì)意圖：通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生感受到生活中處處存在變量，體會學(xué)習(xí)變量的必要性。（二）探索新知 嘗試發(fā)現(xiàn)教師依次呈現(xiàn)下列問題。問題1 汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，請?zhí)钕旅娴谋砀?，指出題中有哪些量，并用含t的式子表示s問題2  某地在24小時內(nèi)的氣溫變化圖如下，圖中有哪些量？問題3  在一根彈簧的下端懸掛重物，彈簧原長為10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，設(shè)重物質(zhì)量為m kg，受力后的彈簧長度為lcm。在彈性限度內(nèi)，怎樣用含m的

7、式子表示l？請指出題中有哪些量。設(shè)計(jì)意圖：通過三個簡單而熟悉的例子，引導(dǎo)學(xué)生在分化和類化各題的特征中發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：在一個變化過程中，存在數(shù)值發(fā)生變化的量和數(shù)值始終不變的量。進(jìn)而為抽象、概括出變量和常量作鋪墊；另外，三個問題中變量之間的關(guān)系分別用表格、圖象和解析式的方式呈現(xiàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表達(dá)形式埋下伏筆。說明：部分學(xué)生在回答問題3時可能會出現(xiàn)認(rèn)知障礙，教師可以借助多媒體啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般尋找規(guī)律。對于學(xué)生回答不完整、表述不準(zhǔn)確的地方，教師及時予以補(bǔ)充和糾正。問題4 針對上述三個問題，請同學(xué)們?yōu)檫@些量進(jìn)行分類，并指出你的分類標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)計(jì)意圖：在反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析中，抽

8、象、概括出變量和常量的本質(zhì)屬性，體會分類思想。說明：在學(xué)生分類，并指出分類的標(biāo)準(zhǔn)后，教師引導(dǎo)學(xué)生概括共同屬性，得出變量和常量的定義。問題5  在前面研究的三個問題中，哪些量是變量？哪些量是常量？請你再列舉一些日常生活中的變化過程的實(shí)例，并指出其中的變量和常量。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生“再認(rèn)識”前面研究的問題，并聯(lián)系生活列舉實(shí)例，進(jìn)一步體會變量和常量的意義，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。（三）反思提煉 歸納定義問題6 問題1、問題2和問題3中都分別有兩個變量，那么，在同一個問題中的兩個變量之間有沒有聯(lián)系呢？若有聯(lián)系，又有怎樣的聯(lián)系呢？設(shè)計(jì)意圖：通過對三個具體問題中兩個變量之間聯(lián)系的研

9、究，讓學(xué)生在觀察、比較、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動過程中，經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，體會變化與對應(yīng)的思想。說明：學(xué)生在獨(dú)立思考后進(jìn)行小組交流，此時，教師也參與學(xué)生的活動之中，了解各小組的討論情況，并適時點(diǎn)撥。然后小組匯報(bào)討論結(jié)果，全班學(xué)生一起交流，并抽象、概括三個問題中變量與變量之間關(guān)系的共同屬性，即（1）在一個“變化”過程中；（2）存在“兩個”變量；（3）這兩個變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個變量的變化會引起另一個變量也“隨之”變化；（5）這個變化之間存在“單值對應(yīng)”的關(guān)系。教師用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)的概念，并介紹與函數(shù)有關(guān)的概念。在此過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析每個具體問

10、題中的兩個變量之間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)其共同屬性，概括出兩個變量究竟是“怎樣聯(lián)系”的。并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)幾個關(guān)鍵字“每”、“確定”、“唯一”、“對應(yīng)”的含義，同時舉出反例進(jìn)行辨析。例如，“每”字包含兩層意思：其一是“任意”，即在一個變化過程中（即在定義域內(nèi)）“任意”給出x（即自變量）一個值，y都有唯一確定的值（即函數(shù)值）與其對應(yīng)；其二是“所有”，即“取盡”變化過程中（即在定義域內(nèi)）的“所有”的值，y都有與其相對應(yīng)的唯一確定的值（即函數(shù)值）。在解釋“每”的含義時，要結(jié)合三個具體問題盡可能多地取x（即自變量）的值，使學(xué)生真正領(lǐng)會其內(nèi)涵。同時，舉出反例，深化對函數(shù)概念的認(rèn)識。如舉出反例：若變量x為實(shí)數(shù)，在將x取

11、倒數(shù)（即y為x的倒數(shù)）的過程中，由于0的倒數(shù)沒有意義，所以當(dāng)x取0時，沒有相應(yīng)的y與之對應(yīng)，此時y不是x的函數(shù)。問題7 在前面研究的幾個問題中，哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？你能再列舉一些函數(shù)的例子嗎？請指出其中的自變量及自變量的函數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：通過“具體抽象具體”的過程，進(jìn)一步加深對函數(shù)概念的認(rèn)識，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。（四）練習(xí)運(yùn)用 反饋糾正1下圖是某物體的拋射曲線圖，其中s表示物體與拋射點(diǎn)之間的水平距離，h表示物體的高度 （1）這個圖象反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？（2）根據(jù)圖象填表： （3）當(dāng)距離s取0米至6米之間的

12、一個確定的值時，相應(yīng)的高度h確定嗎？（4）高度h是距離s的函數(shù)嗎？2下列式子中，y是x的函數(shù)嗎？為什么？3下列曲線中，哪個表示y是x的函數(shù)？為什么？  設(shè)計(jì)意圖：遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，多角度、多層次地設(shè)置習(xí)題，提高學(xué)生對概念核心的理解程度。練習(xí)1通過再現(xiàn)函數(shù)概念的形成過程，進(jìn)一步鞏固變量與函數(shù)的概念，體會變化與對應(yīng)的思想。練習(xí)2、練習(xí)3通過變式練習(xí)，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延，突出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。（五）交流悟理 歸納小結(jié)1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：（1）對自己說，你有哪些收獲？（2）對同學(xué)說，你有哪些溫馨提示？（3）對老師說，你有哪些困惑？設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)反思情境，搭建交

13、流平臺，體現(xiàn)人文關(guān)懷。說明：學(xué)生從不同的角度、不同的側(cè)面暢談自己的感受。在反思和交流之中，引發(fā)深層次的思考，促進(jìn)思維品質(zhì)的優(yōu)化。2布置作業(yè)：（1）舉出3個日常生活中的函數(shù)的例子，并指出其中的自變量及自變量的函數(shù)；（2）教材99頁練習(xí)題，107頁第6題。五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1寫出下列各題中的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量：（1）圓的周長C與半徑r的關(guān)系式；（2）n邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式；（3）火車以60千米/時的速度行駛，它駛過的路程s（千米）和所用時間t（時）的關(guān)系式2學(xué)校食堂現(xiàn)庫存糧食21000千克，平均每天用糧食200千克（1）5天后庫存糧食多少千克？（2）若食用的天數(shù)為x，庫存糧食為

14、y(千克)，試用含x的式子表示y；（3）y是x的函數(shù)嗎？為什么？設(shè)計(jì)意圖：對本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行現(xiàn)場檢測，及時了解教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況。 【反思】從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)的認(rèn)識，它是形成數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決有關(guān)問題的靈魂。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在數(shù)學(xué)的精神、思想和方法一文中曾寫道：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，所以，通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的

15、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此，在概念教學(xué)中，我們不僅要在揭示概念的內(nèi)涵上下功夫，而且還應(yīng)該追求解決問題的“根本大法”基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)。否則，如果僅僅將數(shù)學(xué)概念作為一般知識，而忽視數(shù)學(xué)概念本身所蘊(yùn)含的思想方法對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的作用，那么數(shù)學(xué)教學(xué)的價值必將黯然失色。在函數(shù)概念的教學(xué)中，應(yīng)突出“變化”的思想和“對應(yīng)”的思想。從概念的起源來看，函數(shù)是隨著數(shù)學(xué)研究事物的運(yùn)動、變化而出現(xiàn)的，它刻畫了客觀世界事物間的動態(tài)變化和相互依存關(guān)系，這種關(guān)系反映了運(yùn)動變化過程中的兩個變量之間的制約關(guān)系。因此，變化是函數(shù)概念

16、產(chǎn)生的源頭，是制約概念學(xué)習(xí)的關(guān)節(jié)點(diǎn)，同時也是概念教學(xué)的一個重要突破口。當(dāng)學(xué)生面對問題1中s=60t的時候，雖然對于每個給定的t的值，他們都能計(jì)算出與之對應(yīng)的s的值，但此時絕大多數(shù)學(xué)生只是將這一行行的式子當(dāng)作孤立的算式，將一個個數(shù)值簡單地填入表中，其目的只是運(yùn)用關(guān)系式算出答案，而并沒有真正體會到在這個過程中變量t的變化將引起變量s也隨之變化。所以，教師要通過大量的典型的實(shí)例，盡可能多地取自變量的值，得到相應(yīng)的函數(shù)值，讓學(xué)生反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析每個具體問題中的量與量之間的變化關(guān)系，把靜止的表達(dá)式（或曲線、表格）看作動態(tài)的變化過程，讓他們從原來的常量、代數(shù)式、方程和算式的靜態(tài)的關(guān)系中逐漸過渡到變量、函數(shù)這些表示量與量之間動態(tài)的關(guān)系上，進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)識實(shí)現(xiàn)由靜態(tài)到動態(tài)的飛躍。從概念的本質(zhì)上看，函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)單值對應(yīng)。對于“對應(yīng)”，學(xué)生并不陌生。譬如，小學(xué)乘法運(yùn)算中2的乘法公式，被乘數(shù)取1、2、3、4、5、6、7、8、9時，即可得到乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18，此時學(xué)生