正定二次型的性質(zhì)及應用

1、摘要.2關鍵詞.2Abstract.2Keywords.2前言.21預備知識.21.1 二次型定義.21.2 正定二次型定義.32正定二次型的性質(zhì).33正定二次型的應用.73.1 正定二次型在解決極值問題中的應用.73.2 正定二次型在分塊矩陣中的應用.93.3 正定二次型在解決多項式根的有關問題中的應用.93.4 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應用.103.5 正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應用.123.6 正定二次型在歐氏空間中的應用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣） .123.7 正定二次型在解線性方程組中的應用.123.8 正定二次型在物理力學問題中的應用.13結束語.

2、. .13參考文獻.14正定二次型的性質(zhì)及應用摘 要：本文主要探討了正定二次型的性質(zhì)， 結合例題重點介紹了正定二次型 的應用，如研究極值問題方面、解決多項式的根和在物理方面的應用等 .關鍵詞：正定二次型；正定矩陣；合同；初等變換；分塊矩陣The properties and Applications of positive definiteQuadratic FormsAbstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form isdiscussed. By giving examples, we ma

3、inly introduce the applications of positivedefinite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studyingthe polynomial root and applications in physics et al.Keywords： positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation； partitioned mat

4、rix.、尸、 亠前言二次型是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一， 正定二次型是是實二次型中一類特殊的 二次型，占有特殊的地位 . 正定二次型常常出現(xiàn)在許多實際應用和理論研究中 , 且有很大的實用價值，它不僅在幾何而且在數(shù)學的其它分支學科以及物理和工程 技術也常常用到，正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對正定矩陣的性質(zhì)的 考察， 有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基礎上研究了正定二次型 與正定矩陣的一些性質(zhì)及相關證明， 并以例題的形式詳細介紹了正定二次型的一 些應用.1預備知識1.1 二次型定義設 P 是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域 P 中的Xi,X2，,Xn的二次齊次多項式f Xi,X2，Xnaii

5、Xi22ai2XiX22ainXiXna22X；2a2nX2Xn+annXn稱為數(shù)域 P 上的一個n元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型 .1.2 正定二次型的定義定義 1 實二次型f X1,X2,.,Xn稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)Ci,C2, ,Cn都有f G,C2,Cn0.定義 2 實對稱矩陣 A 稱為正定的，如果二次型 XAX 正定.2正定二次型的性質(zhì)性質(zhì) 1 實二次型2 2 2f X1,X2,.,Xn=d1y1d2y2dnyn是正定的當且僅當di0,i 1,2, ,n.證明 必要性.因為f Xi,X2,., Xn=diy； dzy；dny；是正定的，所以對于任意的一

6、組不全為零的實數(shù)C2, ,Cn都有f CnC2,.,Cn0.于是取一組不全 為零的實數(shù)：0,0,0,1,0,0(這里第 i 個為 1,其余 n 1 個為 0)，有f(0,0, ,0,1,0, ,0)=di0,i 1,2, ,n.充分性顯然 .性質(zhì) 2n元實二次型f Xi,X2,.,Xn是正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)等于 n.證明 設二次型f X1,X2,.,Xn經(jīng)過非退化實線性替換變成標準型d1y12d2y22dnyn2.(1)上面的討論表明，f X1,X2,.,Xn正定當且僅當( 1)是正定的，而我們知道， 二次型 是正定的當且僅當di0,i 1,2, , n，即正慣性指數(shù)為n.性質(zhì) 3

7、正定二次型f X1,X2,.,Xn的規(guī)范形為2 22y1y2yn，正定二次型的規(guī)范性矩陣為單位矩陣 E ，所以一個實對稱矩陣是正定的當且 僅當它與單位矩陣合同.性質(zhì) 4 實二次型.f Xi,X2,.,Xn=XAX，正定的必要條件為 A 0證明 有實二次型知 A 是一正定矩陣，因為 A 與單位矩陣合同，所以有可逆 矩陣 C 使A CEC CC.兩邊取行列式，就有A CC |C|20.性質(zhì) 5 實二次型f xi,X2,.,Xn=XAX 為正定的充分必要條件是 A 的特征值 都是正數(shù).性質(zhì) 6 若 A 是正定矩陣，則 A1也是正定矩陣.證明 如果 A 正定，則由性質(zhì) 2 知 A 0，因而 A 可逆，

8、且其存在可逆矩陣II444 T ,使 A TT，將等式兩邊取逆有A T T ，令C (T )，于是A1CC CEC，所以 A1也是正定矩陣.性質(zhì) 7 若 A 是正定矩陣，則對任意的實數(shù) k，kA 也是正定矩陣.證明 因為 A 正定，所以對任意n維實向量 X 0,都有XAX 0，若 k 0，則x(kA)X k(xAX)0，故 kA 為正定矩陣.性質(zhì) 8 若 A 是正定矩陣，則 A 的伴隨矩陣 A*也是正定矩陣.證明 因為 A 正定，因而 A 0,且有性質(zhì)四知 A1也正定，而 A*= AA1， 又由性質(zhì) 5 知A*為正定矩陣性質(zhì) 9 正定矩陣只能與正定矩陣合同.證明 若 A 正定，則 A 與單位矩

9、陣 E 合同，若 B 也正定，則 B 也與 E 合同， 即 A、B都與單位矩陣 E 合同，故 A、B 合同.反之，若 A、B 合同，且 A 正定，即 A 與單位矩陣 E 合同，所以 B 也與 E 合 同，故 B也為正定的.綜上，結論成立.性質(zhì) 10 若 A、B 為正定矩陣，則 A B 也為正定矩陣.證明 因為 A、B 為正定矩陣，故 XAX , XBX 為正定二次型，于是X(A B)X=XAX XBX 也必為正定二次型，故 A B 為正定矩陣.性質(zhì) 11 若 A 是正定矩陣，則對任意的正數(shù) k，Ak也是正定矩陣.證明因為 A 正定，那么當 k 2m 時，AkAmAm(Am)Am，Am為實可逆矩

10、陣，所以 Ak正定；當 k 2m 1 時，Ak(Am)AAm，因而 Ak與 A 合同，有性質(zhì) 7 知 Ak為正定矩陣 .所以無論哪種情況， Ak都正定.性質(zhì) 12 實二次型x1,x2,.,xnnnaijxixj=XAX，i1j1矩陣 A 的主對角線上的元素都大于零.x1證明因為 A 是正定矩陣，于是對任何 XX20，其中aj(i, j 1,2,n)為 A 的元素，令0XI1（ i 行）i 1,2,n,0恒有xn1f x1,x2,.,xn=XAXnnaijxixj0i 1 j1那么XiAXiaH0, i 1,2,n,證畢.an 1,1an 1,n 1an 1,nnn是正定的充分必要條件為矩陣A的

11、順序主子式全大于零c1, ,ck，有nnfk(c1, ,ck)aijcicjf(c1, , ck,0, ,0) 0i1j1因此fk(x，Xk)是正定的.由性質(zhì) 4,fk的矩陣行列式a11a1k0,k 1, ,nak1akk這就證明了矩陣 A 的順序主子式大于零再證充分性.對n作數(shù)學歸納法.當 n 1 時,由條件a110顯然有f(x1)是正定的.f (x1,x2,xn)nnaijxixji1 j 1是正定的.對于每個 k，1 k n ,令nnfk(x1, ,xk)aijxixji 1 j1證明 先證必要性 . 設二次型我們來證fk是一個 k 元的正定二次型性質(zhì) 13 實二次型f (x1,x2,x

12、n)aijxixj=XAXi1j1. 對于任意一組不全為零的實數(shù)f (x1)2a11x1,an 1,1an 1,n 1an 1,n假設充分性的判斷對于 n 1 元二次型已經(jīng)成立，現(xiàn)在來證n元的情形.令a11a1,n 1a1nA11于是矩陣 A 可以分塊寫成A a Aaann就有AC兩邊取行列式,a.有條件，A 0，因此 a 0.顯然既然 A 的順序主子式全大于零,當然Ai的順序主子式也全大于零.由歸納法假定，Ai是正定矩陣，換句話說,有可逆的 n 1 級矩陣 G 使G AG這里En 1代表 n 1 級單位矩陣.令C1于是CiAGannEn 1G a aGann再令C2En 10Ga1C2G A

13、CQ2En 1aGEn 1aGGaannEn0En 10II0anna GG aC1C2，annaGGa a，1 111a. a1a這就是說，矩陣 A 與單位矩陣合同，因之，A 是正定矩陣，或者說，二次型fk（X1, ,xQ是正定的根據(jù)歸納法原理，充分性得證3正定二次型的應用3.1 正定二次型在解決極值問題中的應用定理 1 設n元實函數(shù)f X1,X2,.,Xn在點Po的一個鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導數(shù)，則函數(shù)f X1,X2,.,Xn在點Po近旁有性質(zhì)：1） 若 XAX 正定，則Po為極小點；2） 若 XAX 負定，則po為極大點；3） 若 XAX 不定，則po非極大或極小點；4） 其余

14、情形時，f X1,X2，,Xn在Po性質(zhì)有待研究余項 R 的性質(zhì)來確定特別當f X1,X2,.,Xn是二次函數(shù)時，R=o 只要 XAX 半正（負）定，則po為極?。ù螅c求函數(shù)z xyln（x2y2）的極值,112e，（符號任意搭配），Zxyin (x2y22x2y-2 xzyxln (x2c22、2xyy )22x y解方程組ZXzyo，易得o2e2xy2(3x2y2)zyyT22、2(X y )ZXX2xy(x23y2)T2(x y )Sn 1SnS2n 23.2 正定二次型在分塊矩陣中的應用.例 2 設 A，B 分別是m n階正定矩陣，試判定分塊矩陣 C為正定矩陣.解可證 C 是正定矩陣

15、.因為 A， B 都是實對稱矩陣，從而 C 也是實對稱矩陣且任意的X Rmn,X故 C 是正定矩陣.3.3 正定二次型在解決多項式根的有關問題中的應用于是 Az極小ZxyZyxln(x經(jīng)計算得y2)2(x4y4)2 2 2 (x y )2正定;不定.故，在z取極小值,丄2e0是否X CX(Xi,X2)XiX2X1AX1X2BX2，XXiX2其中，X,Rm，X2Rn， 且至少有一個是非零向量，于是X CX(X；,X2)AXiX2X1AX1X2BX20.kkSkx1x2S0kS1xn，SS,S2Sn 1SnA)點,(1,0),(0,z極大0220ZxyZyyZxxZyx11(飛飛)1 1(-yp)

16、12e11(飛飛)Sn 1SnS2n 2例 3 設n次實系數(shù)多項式f(x)的根為x, x2,Xn，令證明易證S TT；這里 Tn 1 n 1n 1XiX2Xn必要性 設x,X2, ,Xn是n個互異實根，因為|T 是范德蒙行列式，所以T 0，即 T 是非奇異的.又因為S TT TET,所以 S 與 E 合同，即 S 正定.充分性設 S 是正定的，所以 T|0，那么 Xi互異.若X1,X2, , Xn中有非實數(shù)，例如X1，那么X1的共軛數(shù)X1也是f (x)的根不妨1_1f a Sa aTT a ( 1,1,0,0)0f(X)的n個根為互異的實根.3.4 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應

17、用例 4 利用直角坐標變換化簡如下二次曲面方程.3X22y22z22xy 8X6y 2z 30310設x2X1.因為 T 是非奇異的.所以線性方程組a0X1a1n 1dX1an 11a。x1a1n 1X1an 11(2)a。Xja1xn 1an 10j 3, ,n有唯解a(a,a1,? an1)0.因為 S 是正定的，所以，作為二次型的YSY是正定的,由(2)式有2.這與f是正定即 S 是正定的矛盾，所以X1,X2,Xn中不能有非實數(shù)的復數(shù)，所以其中X(x, y, z),B( 4, 3,1), A 120.0 0 2作平移代換,X Y a,a(81,82,83)，則有(Y a)A(Y a) 2

18、B(Y a) 30即YAY YAa aAYa Aa2 BY 2Ba 30令a Aa 2B a 3又因為YAa aAY, AA所以YAY 2( Aa B)Y0適當選取a，使 AaB，由秩A秩A 3知：AaB （線性方程組）有唯一解：aia21,aa-.29由 A,a,B 可得 -號，又因為 A 是可逆實對稱陣，所以存在正交陣1TAT其中T 使得5-52-Z3.為 A 的特征根作正交線形替換Y TZ,Z（Z；,Z2，Z3）,則2Y AY1Zi即，原方程可以化簡為22Z223Z3,22Zi5.52-Z222Zi3.5正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應用眾所周知線形方程組a11X1a12X2a1

19、sXsb10a21X1a22X2a2sXsb20可能無解an1X1an2X2ansXsbn0即任意一組，,xs都可能使yn(ai1X1ai2X2aisXsbi）不等于零，我i1們設法找X1,X0,.,X0使 y 最小，這樣X0,X；,.,X0稱為方程組的最小解，這種問題 就叫最小二乘法問題 .若記 A 為上述線性方程組的系數(shù)矩陣，B （b1, b2bn）T，于是使得 y 值最 小的 X 一定是方程組XAX=XB的解，而其系數(shù)矩陣A A是一個正定矩陣，它 的慣性指數(shù)等于n，因此這個線性方程組是有解的，這個解就是最小二乘解 .3.6正定二次型在歐氏空間中的應用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）定理 設

20、V 是 R 上的歐氏空間，那么 V 的內(nèi)積與n階正定矩陣是一一對應 的.3.7正定二次型在解線性方程組中的應用 .例 5 （ 1）用矩陣給出平面上n個點R（Xj,yi）共線的充分必要條件（2）設 A 是n階滿秩矩陣，試證，X（AA）X是一個正定二次型，這里XX1,X2,.,Xn.解 （1）設直線y kX b，n個點共線是指線性方程組（把k,b看成未知 量）kX1by1kX2by2kXnbyn有 解 ， 所 以n個 點Pi（Xi,yi）共 線所以方程組有解1x111 x1y1秩秩1xn1 xnynIIAIX(A)1丫是非退化現(xiàn)行替換，且X(AA)X丫丫y12y22yn2，定二次型 .3.8正定二次型在物理力學問題中的應用因為在物理力學問題中經(jīng)常需要同時將兩個二次型轉化為標準型來實現(xiàn)， 這 事應用中很重要的一個問題 .命題 設 A 是n階正定矩陣， B 是n階實對矩陣， 則存在n階可逆矩陣 S , 使得SAS E,SBS,其中為對角陣.證明 因為 A 是正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣Si，使得SiASiE,令B SBS顯然B1仍為實對稱矩陣， 所以存在n階正交矩陣S2， 使得S2BiS2diag(i 2,n)取 S1S2S ，則有