一種廣義Logistic模型的參數(shù)估計方法

1、第32卷第4期遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol.32No.42009年12月JournalofLiaoningNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2009文章編號:100021735(2009)0420426204一種廣義Logistic模型的參數(shù)估計方法范國兵(湖南財政經(jīng)濟(jì)學(xué)院(籌),湖南長沙410205)摘要:討論了Logistic曲線模型結(jié)構(gòu)上的缺陷,提出了一種求解廣義Logistic模型參數(shù)的方法.曲線模型的預(yù)測精度.關(guān)鍵詞:廣義;1引言在增長曲線中,最著名的是Logistic曲線,它最初是在研究人口增長規(guī)律時提出來的,后來,比利時

2、數(shù)學(xué)家P.F.Verhulst將其歸納提煉成數(shù)學(xué)模型1:積分模型yt=微分模型-1+et,(1)(2)(1-)=ytdts其中s為飽和水平,為增長速度因子.它既可用來描述生態(tài)領(lǐng)域動植物的生長發(fā)育或繁殖過程,也可用來描述經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域新技術(shù)的擴(kuò)散或耐用消費(fèi)品的銷售等經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的研究中.然而,在描述實際問題增長變化趨勢時,它尚有不完善需要改進(jìn)的地方.如果對(1)求二階導(dǎo)數(shù)并令2=0,可得唯一的拐點(diǎn)dt2,2,即拐點(diǎn)位置由飽和水平唯一確定(飽和水平與拐點(diǎn)位置是確定增長曲線形狀的主要參數(shù)),易求得ytdt實際問題增長變化趨勢并不完全如此,在分析預(yù)測時會造成擬合精度不夠好.若令zt=-,這說明曲線的增長率隨yt

3、的增長而下降的速度為常數(shù),但在實際問題中,增長率往往遵循dyts初始期緩慢上升,直到某一最大增長率,而后下降的過程.所以,Logistic曲線的性態(tài)與實際問題的增長趨勢變化規(guī)律并不吻合,因而需要引入新的參數(shù),得到廣義的Logistic曲線模型.2廣義Logistic曲線及性態(tài)廣義Logistic曲線的積分模型和增長率模型分別為2:yt=(1+e-t)(s,>0)(s,>0)(3)(4)=1-ytdts其中s為飽和水平,為增長速度因子,為形狀因子,對(3)求一、二階導(dǎo)數(shù)得到=1-sdt收稿日期:2009208210基金項目:湖南省社科基金資助項目(08YBB327)作者簡介:范國兵(

4、19762),男,湖南寧鄉(xiāng)人,湖南財政經(jīng)濟(jì)學(xué)院(籌)講師,碩士.(5)第4期范國兵:一種廣義Logistic模型的參數(shù)估計方法427)=1-(1+2dt令2=0,得唯一的拐點(diǎn),.(1+)dtsdt(6)令zt=-1,則有=-yt,反映了廣義Logistic曲線的增長率隨yt的下降而下降,但下降ytdtdyts的速度和有關(guān),而的取值可以根據(jù)實際問題的增長規(guī)律來確定.當(dāng)t<時,0,曲線呈凹性,增長速度越來越快;當(dāng)t>時,2<0,.dt所以,廣義Logisticyt的變化速度,都將隨的變化而改變,可以獲得更高的擬合、預(yù)測精度3.3廣義曲線的參數(shù)估計利用增長率模型(4),將其中的導(dǎo)數(shù)

5、用中心差分代替4,得-y(ti),(i=2,3,n-1)y(ti)(ti+1-ti-1)s令,(i=1)y(t1)(t2-t1)zi=,(i=2n-1)yi(ti+1-ti-1),(i=n)y(tn)(tn-tn-1)(8)(7)實際問題中的數(shù)據(jù)對(ti,yi)一般不嚴(yán)格滿足上式(7),只能近似滿足,即上式兩端相差一個微量,引入微量i后可得到zi=i+-yis+yis(9)(10)i=zi-令a=,b=-,xi=yi,則有si=zi-(a+bxi)在(11)中,利用最小二乘法求解參數(shù)a,b,令nn(11)Q(a,b)=i=1i=t=1zi-(a+bxi)(12)5其中a、b分別為a,b的最小二

6、乘估計值.根據(jù)極值原理,分別求Q(a,b)對a、b的偏導(dǎo)數(shù),并令偏導(dǎo)數(shù)等于零,有:=-2zi-(a+bxi)=05ai=1n(13)(14)=-2xizi-(a+bxi)=05bi=1n(14)可以解得由(13)、a=(x)xiixizi-2-znxx2ii(15)i428遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第32卷b=xz-nxz(x)-nxiiii2i2(16)i進(jìn)一步由a、b得到、s的估計值=as=-(-)b(17)具體步驟如下:(1)利用(8)式分別計算每個zi(i=1,2,n);(0)(2)確定的初值(0)(一般可考慮取初值(i)(3)令xi=yi,)a(i)b(i(i-1)(4)計算=Q

7、-,Q的變化,利用一維尋優(yōu)算法(如0.618法,Fibonacci法)確i;定()(i+1)(i)(5)(i),返回3),直至尋優(yōu)精度滿足;=+(6)根據(jù)所得的估計值a、,由(17)計算、b、s;(7)解出后,通過積分模型(3)并利用最小二乘法原理求出參數(shù)、s、.4廣義Logistic曲線擬合優(yōu)度檢驗一般來說,廣義Logistic曲線回歸方程擬合精度的高低可以用可決系數(shù)nR2=1-n(yi-y)2i=1(y-i(18)2-y)、外,還含有常數(shù),并且s、的估計依賴于的的大小來判定6,但是考慮到方程中除含有回歸參數(shù)s、值,我們這里最好用x2,記nx2=i=12yi(19)若取定=0.05,按自由度

8、(n-1)查x2表,若x2<x20.05(n-1),則方程擬合得好,預(yù)測值與實際值基本吻合.當(dāng)然,我們還可用標(biāo)準(zhǔn)誤差Se=5應(yīng)用實例ni=1(yi-yi)2來判定擬合精度.表1列出了分別用廣義Logistic曲線和Logistic曲線擬合某地區(qū)農(nóng)村居民家庭彩色電視機(jī)平均每百戶擁有量的結(jié)果,兩種模型分別為:廣義Logistic曲線:Logistic曲線:yt=(1+1026.493e-0.642t)2.9274yt=(20)(21)1+13.982e-0.265t幾點(diǎn)說明:(0)()(1)廣義Logistic曲線擬合時,取初值=1,Q0=0.1528,最優(yōu)點(diǎn)3=2.9274;(2)Logi

9、stic曲線擬合時,采用三段和法確定s,然后用最小二乘法求參數(shù);、(3)從表2數(shù)據(jù)可知,兩種曲線擬合效果都比較好(查x2表,得x20.05(14-1)=22.4,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于表中x對應(yīng)的數(shù)據(jù)),但廣義Logistic曲線具有更高的精度;(4)由兩種預(yù)測模型可知,該地區(qū)農(nóng)村居民家庭彩色電視機(jī)平均每百戶擁有量目前已經(jīng)處于飽和增2長階段.第4期范國兵:一種廣義Logistic模型的參數(shù)估計方法4296結(jié)束語本文分析了廣義Logistic曲線在擬合彈性方面比Logistic曲線的優(yōu)越性,并提出了一種基于廣義Logistic曲線增長率模型的參數(shù)估計方法,計算過程比較簡單.由于模型結(jié)構(gòu)中擬合彈性的增加,使得廣

10、義Logistic曲線能更好地適應(yīng)實際情況的變化,從而獲得比Logistic曲線更高的擬合精度.表1某地區(qū)農(nóng)村居民家庭彩色電視機(jī)平均每百戶擁有量的實際值與預(yù)測值年度時間實際值廣義Logistic1995113.88132002853.6254.7554.461996214.122003964.8765.5365.421997318.8420041077.0876.5276.63199823.8423.4620051187.1786.8186.84199930.29.7529.1720061293.6395.0294.9539.4136.7236.16200713103.02101.25100.

11、542001745.6645.0944.59200814106.21105.32108.17時間實際值廣義Logistic預(yù)測值Logistic預(yù)測值表2兩種曲線擬合的有關(guān)數(shù)據(jù)拐點(diǎn)值廣義Logistic曲線Logistic曲線78.27173.127R2x2Se0.99780.98350.045380.064271.51321.5869參考文獻(xiàn):1周紀(jì)薌.實用回歸分析方法M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1990.2曾勇,唐小我.擬合及預(yù)測飽和增長趨勢的廣義曲線模型J.數(shù)理統(tǒng)計與管理,1995,14(1):41246.3程毛林.邏輯斯蒂曲線的幾個推廣模型與應(yīng)用J.運(yùn)籌與管理,2003,12(3):

12、85288.4丁芳.一種估計廣義Logistic模型參數(shù)的方法C.中國控制會議論文集,1998,9:4172420.5吳贛昌.高等數(shù)學(xué)M.北京:中國人民大學(xué)出版社,2008.6暴奉賢,陳宏立.經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法M.廣州:暨南大學(xué)出版社,2006.AmethodtoestimatingtheparametersofgeneralLogisticcurveFANGuo2bing(HunanCollegeofFinanceandEconomics,Changsha410205,China)Abstract:ThispaperdiscussesthestructuraldefectsofLogisticcurvemodel,analyzestheanalyticqualityofgeneralLogisticcurveandtheadvantagesoffittingforecast.Amethodtoestimationofpa2rametersofgeneralLogisticmodelwereobtainedanda