向量點乘內(nèi)積和叉乘外積向量積概念及幾何意義解讀

1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use概念向量是由 n 個實數(shù)組成的一個 n 行 1 列（n*1）或一個 1 行 n 列（1*n）的有序數(shù) 組；向量的點乘，也叫向量的內(nèi)積、數(shù)量積，對兩個向量執(zhí)行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之后求和的操作，點乘的結(jié)果是一個標量。點乘公式對于向量 a 和向量 b：3 = 0】衛(wèi)2勺a 和 b 的點積公式為：+a2b2+.+aJ

2、）n要求一維向量 a 和向量 b 的行列數(shù)相同。點乘幾何意義點乘的幾何意義是可以用來表征或計算兩個向量之間的夾角，以及在b 向量在 a向量方向上的投影，有公式：ab = a bcos6?推導過程如下，首先看一下向量組成：b = bb2.bn c =a-b定義向量:根據(jù)三角形余弦定理有：c2a1-b22a b cos0根據(jù)關(guān)系 c=a-b （a、b、c 均為向量）有:(a-b) = a +b2-2a h = a1+b 2a b cos0即:a b = a b cos0向量 a, b 的長度都是可以計算的已知量，從而有 a 和 b 間的夾角 0：6= arccos(-a &根據(jù)這個公式就可

3、以計算向量 a 和向量 b 之間的夾角。從而就可以進一步判斷這 兩個向量是否是同一方向，是否正交（也就是垂直）等方向關(guān)系，具體對應關(guān)系為:ab0 方向基本相同，夾角在 0到 90 之間a b=0正交，相互垂直a b0方向基本相反，夾角在 90到 180之間叉乘公式兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結(jié)果是一個向量而不是一個標量。并且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的坐標平面垂直。對于向量 a 和向量 b：a = (xyl7z)b =(心己，勺)a 和 b 的叉乘公式為：i J kaxb =兀X石 心y2z2=(yxz2一y2z一(xxz2一x2z)J + (xy2一x2yx)k其中

4、:i =(1 AO) j = 5 k = (0 A1)根據(jù) i、j、k 間關(guān)系，有：axb = (y1z2-y2zf-U,z2-x2z xy2-x2y叉乘幾何意義在三維幾何中，向量 a 和向量 b 的叉乘結(jié)果是一個向量，更為熟知的叫法是法向 量，該向量垂直于 a 和 b 向量構(gòu)成的平面。在 3D 圖像學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個 垂直于 a，b的法向量，從而構(gòu)建 X、丫、Z 坐標系。如下圖所示：在二維空間中，叉乘還有另外一個幾何意義就是：aXb 等于由向量 a 和向量 b 構(gòu) 成的平行四邊形的面積。以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For per

5、sonal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.以下無正文UCnO員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxue貝EX.TO員BKOgA.nrogeHKO TOp

6、Menob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.以下無正文Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.T