初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、.函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征:第一象限：（+，+） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第二象限：（-，+） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第三象限：（-，-） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；第四象限：（+，-） 點(diǎn)P（x,y），則x0,y0；3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征： x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。4、點(diǎn)的對(duì)稱特征：已知點(diǎn)P(m,n),關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)

2、反號(hào)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n) 縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n) 橫，縱坐標(biāo)都反號(hào)5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。 第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點(diǎn)P（x,y）的幾何意義：點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為8、兩點(diǎn)之間的距離：X軸上兩點(diǎn)為A、B|AB|Y軸上兩點(diǎn)為C、D|CD|已知A、BAB|=9、

3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A、B M為AB的中點(diǎn),則：M=( ,)10、點(diǎn)的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ x-a，y）；將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x+a ，y）；將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，yb）；將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，yb）。注意：對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過(guò)來(lái)，從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移。函數(shù)的基本知識(shí)：基本概念1、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程

4、中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時(shí)候，A是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)3、 定義域和值域：定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的X圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。值域：一般的，一個(gè)函數(shù)的因變量所得的值的X圍，叫做這個(gè)函數(shù)的值域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)； （2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零； （

5、4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零； （5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象6、 函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7：增減性（單調(diào)性）：增減性又叫單調(diào)性，分兩種情況：?jiǎn)握{(diào)增、單調(diào)減單調(diào)增：y隨x的增大而增大 單調(diào)減：y隨x的增大而減小 口訣：“同增異減”，注意：?jiǎn)握{(diào)性只適用于單調(diào)區(qū)間，即有一個(gè)X只有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)時(shí)。8、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自

6、變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。9、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識(shí)梳理】一、一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：一般地，形如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)

7、，那么y叫做x的一次函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，稱為正比倒函數(shù)，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式： y=kx+b (k0) 說(shuō)明： k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實(shí)數(shù)2、解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)3、圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)（0，b）和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,4、增減性（單調(diào)性）： k>0，y隨x的增大而增大（單調(diào)增）；k<0，y隨x而增大而減小（單調(diào)減）5、必過(guò)點(diǎn)：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中，當(dāng)x=o,時(shí)，y= 所以，該函數(shù)經(jīng)過(guò)（，）點(diǎn)當(dāng)y=o,時(shí)，x=所以，該函數(shù)

8、經(jīng)過(guò)（，）點(diǎn)所以，一次函數(shù)的圖象是必經(jīng)過(guò)（，0）和（0，b）兩點(diǎn)的一條直線.，注：兩點(diǎn)確定一條直線。畫圖時(shí)，可通過(guò)這兩點(diǎn)來(lái)確定直線。6、一次函數(shù)圖像的畫法：兩點(diǎn)法 計(jì)算必過(guò)點(diǎn)（0，b）和（-，0） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的直線）7、增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.8、傾斜度(只與k相關(guān))：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸. 9、截點(diǎn)（與b有關(guān)）：（直線與y軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做截距）當(dāng)b>0時(shí)直線與y軸交于原點(diǎn)上方（即y軸的正半軸）；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于原點(diǎn)的下方。（即y軸的負(fù)半

9、軸）10、圖像的上下平移（只與b相關(guān)）：直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到. 當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；口訣“正上”當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位. 口訣“負(fù)下”例如：y=2x+3, 將直線 y=2x 的圖象向 上 平移 3 個(gè)單位y=2x-3, 將直線 y=2x 的圖象向 下 平移 3 個(gè)單位 練習(xí)：y=5x-6,將直線 y=5x 的圖象向 下 平移 6 個(gè)單位注：一次函數(shù)y=kx+b圖像的平移，只與b有關(guān)，將y=kx的圖像平移，平移方向： b正上移，b負(fù)下移11、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)b>0b<

10、0b=0（正比例函數(shù)）k>0經(jīng)過(guò)：第一、二、三象限不經(jīng)過(guò)：第四象限經(jīng)過(guò)：第一、三、四象限不經(jīng)過(guò)：第二象限經(jīng)過(guò)：第一、三象限不經(jīng)過(guò)：第二、四象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大，單調(diào)增k<0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限不經(jīng)過(guò)：第三象限經(jīng)過(guò)第二、三、四象限不經(jīng)過(guò)：第一象限經(jīng)過(guò)第二、四象限不經(jīng)過(guò)：第一、三象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小，單調(diào)減必過(guò)點(diǎn)：經(jīng)過(guò)（，0）和（0，b）兩點(diǎn)，正比例函數(shù)即是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）12、兩直線之間的位置關(guān)系（平行或相交）：平行：相交：將兩直線方程聯(lián)立成一個(gè)方程組， ，解得結(jié)果，即為交點(diǎn)。13、二元一次方程組與一次函數(shù)

11、的關(guān)系：兩元一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所對(duì)應(yīng)方程組的解。14、應(yīng)用：要點(diǎn)是（1）會(huì)通過(guò)圖象得信息；（2）能根據(jù)題目中所給的信息寫出表達(dá)式。15、【思想方法】數(shù)形結(jié)合 。鞏固練習(xí)：試試畫出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的圖像 反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識(shí)梳理】一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成2、解析式：（為常數(shù)，）注：反比例函數(shù)解析式的特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，等號(hào)右邊是一個(gè)分式。分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1.比例系數(shù)自變量的取值為一切非零實(shí)數(shù)。（反比例函數(shù)有意義的條件：分母0）函數(shù)的取

12、值是一切非零實(shí)數(shù)。3、增減性（單調(diào)性）： k>0，y隨x的增大而減?。▎握{(diào)減）；k<0，y隨x增大而增大（單調(diào)增）4、反比例函數(shù)的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲線）（3）反比例函數(shù)（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斷開的兩個(gè)分支（稱為左、右支），延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。（4）比例系數(shù)的幾何含義（右圖）：反比例函數(shù)y (k0)中比例系數(shù)k的幾何意義，即過(guò)雙曲線y (k0)上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸垂線，設(shè)垂足分別為A、B，則所得

13、矩形OAPB的面積(陰影面積)為.（由y變形可得：k=xy 因?yàn)槊娣e為正數(shù)，所以k取絕對(duì)值。）5、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：k的符號(hào)oyxk0yxok0圖像的大致位置經(jīng)過(guò)象限第象限第象限增減性（單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間內(nèi)討論）在每一象限內(nèi)，從左到右看，y隨x的增大而減小 ；（-，0）U（0，+）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)減在每一象限內(nèi),從左到右看y隨x的增大而增大（-，0）U（0，+）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)增圖像的對(duì)稱性中心稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；同時(shí)，也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x 和直線y=-x6、【思想方法】：數(shù)形結(jié)合7、 二次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識(shí)梳理】一、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)：1定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫

14、做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域（x的取值X圍）：全體實(shí)數(shù)，R2. 解析式（表達(dá)式）：一般式：（，是常數(shù)）：說(shuō)明： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充：二次函數(shù)解析式的表示方法（三種）一般式：（，為常數(shù)，）；頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）兩根式（交點(diǎn)式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.僅限于與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: 注意：任何二次函數(shù)的解析

15、式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中3、二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.

16、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式4、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo); 然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).4、 二次函數(shù)的圖像：拋物線（1）對(duì)稱性：拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸：直線,對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）（2）拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，當(dāng)=0時(shí)，P在y軸上

17、；當(dāng)= =0時(shí)，P在x軸上。5、 a.b.c與拋物線的關(guān)系（是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)）y=5x2y=x2xy（1）a決定拋物線的開口方向和大?。洪_口方向：a為正(a0)，開口朝上，有最小值；a為負(fù)(a0)，開口朝下，有最大值；開口大?。篴 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。（2）a、b共同決定的符號(hào)決定對(duì)稱軸的位置，分兩種情況：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。概括的說(shuō)就是“左同右異” （3）常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c），分三種情況： 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

18、當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)= 0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。A（x1,0）和B（x2,0）=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。頂點(diǎn)P= 0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。y=0x0yx0yxABP配圖：開口向上(開口向下，情況類似)7、類比一元二次方程的根的情況：特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 8

19、、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0yxO0圖 象開 口對(duì) 稱 軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最 值當(dāng)x時(shí)，y有最值，y當(dāng)x時(shí)，y有最值，y增減性在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而y 隨x的增大而在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而9. 應(yīng)用：（1）最大面積；（2）最大利潤(rùn)；（3）其它10、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成