講協(xié)方差相關(guān)系數(shù)矩正態(tài)分布課件

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十三講第十三講主講教師：張冬梅副教授主講教師：張冬梅副教授浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 對(duì)于二維隨機(jī)向量對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)， 除了其分量除了其分量X和和Y 的期望與方差之外的期望與方差之外, 還有一些數(shù)字特征還有一些數(shù)字特征, 用以刻畫(huà)用以刻畫(huà)X與與Y之間的相關(guān)程度，其中最主要之間的相關(guān)程度，其中最主要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。 定義定義1：若若 E X- -E(X)Y- -E(Y) 存在，存在，則稱(chēng)其為則稱(chēng)其為X 與與Y 的協(xié)方差，記為的協(xié)方差，記為Cov(X,Y), 即即4.3

2、.1 協(xié)方差協(xié)方差Cov(X, Y) = E X- -E(X)Y- -E(Y) . (1)(3). Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；(1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；協(xié)方差性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì)(2). 設(shè)設(shè) a, b, c, d 是常數(shù)，則是常數(shù)，則 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；(4). Cov(X, Y) =E(XY)-E(X)E(Y) ，(5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 當(dāng)當(dāng) X 和和 Y 相互獨(dú)立時(shí)，相互獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)=0；若若

3、 X1, X2, , Xn 兩兩獨(dú)立，則兩兩獨(dú)立，則性質(zhì)性質(zhì)(5)可推廣到可推廣到 n 個(gè)隨機(jī)變量的情形：個(gè)隨機(jī)變量的情形：. ) ,(2)()(11jininijiiiXXCovXVarXVar. )()(11niniiiXVarXVar 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X 和和Y相互間的關(guān)系，但它還受相互間的關(guān)系，但它還受X 和和Y 本身度量單位本身度量單位的影響。的影響。 例如：例如：Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了化，這就引入了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 。4.3

4、.2 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 和和Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) 。 定義定義2: 設(shè)設(shè)Var(X) 0, Var(Y) 0, 則稱(chēng)則稱(chēng))( )() ,(YVarXVarYXCovXY在不致引起混淆時(shí)，記在不致引起混淆時(shí)，記 為為 。XY 相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì); 1| ).1 (證：證：由方差與協(xié)方差關(guān)系，由方差與協(xié)方差關(guān)系，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)b, 有有0Var(Y- -bX)=b2Var(X)- -2b Cov(X,Y ) +Var(Y ),利用韋達(dá)定理得到利用韋達(dá)定理得到1- - 2 0, 所以所以 | |1。由于當(dāng)由于當(dāng) X 和和 Y 獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)=

5、 0 .反例：反例：(2). X 和和Y 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), =0，但其逆不真；，但其逆不真；但但=0 并不一定能推出并不一定能推出 X 和和 Y 獨(dú)立。獨(dú)立。 0)()(),(；YVarXVarYXCov所以，所以，證明證明:例例 1：設(shè)設(shè) (X,Y) 服從單位服從單位 D= (x, y): x2+y21上的均勻分布，證明：上的均勻分布，證明： XY = 0。 .),( , 0 ,),( ,/1),(DyxDyxyxf,00 /)(111111112222dydydxxdxdyxXEyyyx所以，所以，Cov(X, Y)= E(XY)- -E(X) E(Y) = 0 .同樣，得同樣，得 E(E(

6、Y)=0,)=0,. 0 0 )y/()(111111112222dydyxdxydxdyxXYEyyyx此外，此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .所以，所以， XY = 0，即即 X 與與 Y 不相關(guān)。不相關(guān)。但是，但是，X與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。存在常數(shù)存在常數(shù)a, b(b0)，使使 P Y = a+bX = 1 ，即，即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān)。(3). |=1但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：前面前面, 我們已經(jīng)看到：我們已經(jīng)看到： 若若X 與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則X 與與Y 不相關(guān)；但由不相關(guān)；但由X與與Y 不相

7、關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立。獨(dú)立。 若若(X, Y )服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X 與與Y 獨(dú)獨(dú)立的充分必要條件是立的充分必要條件是X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。 定義定義1：設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若若E(Xk) 存在存在(k =1, 2, ), 則稱(chēng)其為則稱(chēng)其為X 的的 k 階原點(diǎn)矩；若階原點(diǎn)矩；若 EX-E(X)k 存在存在(k = 1,2, ), 則稱(chēng)其為則稱(chēng)其為X的的 k 階中心矩。階中心矩。4.3 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣4.3.1 矩矩 易知：易知：X 的期望的期望 E(X) 是是 X 的一階原點(diǎn)的一階原點(diǎn)矩，方差矩，方差Var(X) 是是

8、 X 的二階中心矩。的二階中心矩。4.4 n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：(1). X =(X1, X2, , Xn) 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布對(duì)一切不全為對(duì)一切不全為 0 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) a1, a2, , an， a1X1+ a2 X2+ + an Xn 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。(2). 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服從服從n 元正態(tài)分布，元正態(tài)分布，Y1,Y2,Yk 是是 Xj (j=1, 2, n)的線(xiàn)性組合的線(xiàn)性組合,則則(Y1,Y2, , Yk)服從服從k 元正態(tài)分布。元正態(tài)分布。這一性質(zhì)稱(chēng)為正態(tài)變量的線(xiàn)性變換不變性。這一性質(zhì)稱(chēng)為正態(tài)變量的線(xiàn)

9、性變換不變性。 (3). 設(shè)設(shè)(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布，則元正態(tài)分布，則“X1,X2, ,Xn兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)”。“X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立” 等價(jià)于等價(jià)于例例2: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求。求 Z = 2X- -Y+3 的概率密度。的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且解解: 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,Var(Z) = 4Var(X)+Var(Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)- -E(Y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) .Z 的概