處理有關(guān)恒成立問題基本方法

1、處理有關(guān)“恒成立”的思路方法樂山市井研縣馬踏中學(xué) 廖德俊與“恒成立”有關(guān)的問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是函數(shù)，數(shù)列，不等式，三角等內(nèi)容交匯處的一個非常活躍的知識點，特別是導(dǎo)數(shù)的引入，成為我 們更廣泛更深入的研究函數(shù)，不等式的有利工具，更為我們研究恒成立問題提供了 保障。對恒成立問題的考察不僅涉及到函數(shù)，不等式等有關(guān)的傳統(tǒng)知識和方法，而 且考察極限，導(dǎo)數(shù)等新增內(nèi)容的掌握和靈活運(yùn)用。它常與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，體現(xiàn)了能力立意的原則。恒成立問題涉及到一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象滲透 和換元，化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等思想方法，有利于考察學(xué)生的綜合解題能 力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，創(chuàng)造性，所以

2、是歷年高考的熱點。一.恒成立問題的基本類型按區(qū)間分類可分為：在給定區(qū)間某關(guān)系的恒成立問題；在全體實數(shù)集上 某關(guān)系的恒成立問題。二.處理恒成立問題的基本思路處理與恒成立有關(guān)的問題大致可分以下兩種方法1變量分離思路處理；2利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象思路處理。若不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個的范圍為所求, 且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊， 則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)的最值問題求解。在不等式的恒成立問題中，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，性質(zhì)使用1不等式f(x)在區(qū)間上恒成立二m一f(x)max,x D或f(x)的上確界(若f(x)在x D勺值域為a,b，則a稱為

3、f(x)的上確界，b稱為f(x)的下確界)2.不等式m f(x)在區(qū)間D上恒成立=mf(x)min,x D或f(x)的下確界注釋：1.不等式m一f(x)在區(qū)間D上有解=m -f(x)min,x D或f(x)的下確界2.不等式m豈f(x)在區(qū)間D上有解=m0時,a蘭(x+1)ln(x+1),設(shè)g(x) =(x+1)ln(x+1)xx則問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)在開區(qū)間(0, +二)的最小值(下確界)，又g? (x) =x“：1)，要想求出g? (x) = 0困難重重，可換元令xh(x)=x-ln(x+1),7 h(x)=1-,x0,故h(x)0,則函數(shù)h(x)x + 1在(0,)為增函數(shù)，即h(x) h

4、(0)=0，從而g(x)0,則函數(shù)g(x)在(0，)也為增函數(shù)，故g(x)無最小值.此時，由于g(0)無意義，g(x)的下確界一時也難確定，但運(yùn)用極限的知識可得g(x)limg(x),然而求此極 限又超出了所學(xué)范圍，事實上采用洛比達(dá)法則可得limg(x)=x二limln(x+1) 1 1,故 x0時,g(x)1,因而 a 乞1。綜合(1)(2)知a的取值范圍為(-，a -1,1恒成立，即g(a)=-2at+tg(-1)乂0g(1) - 0二t (-,-2a2- 1)x2 (a -1)x “-的定義域為R,a + 1求實數(shù)a的取值范圍.2解析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)(a2- 1)x2( 1)x-0

5、在Rh 恒成立，注意對二次系數(shù)的討論。 解：依題意，當(dāng)x R寸，匚a2綜上可得,f(x)的定義域為 R 寸,a方法三：直接根據(jù)函數(shù)圖象判斷-0,-1,1嚴(yán)t+t2-2t+t2-2 U 0 U2,恒成立0例2:若函數(shù)f(x)=彳(a2- 1)x2(a- 1)x20恒成立，a21。當(dāng) a2- 1二0時，即當(dāng)a + 1鼻(a2- 1)x2(a -1)x-a + 12。當(dāng) a2a11 = 0時=a=1,此時00 a=1成立a21= 1 a-10a901,9若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后,能非常容易地畫出等式 或不等式兩邊函數(shù)的圖象,則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果例：設(shè)x (0,4,若不等式Jx(4

6、-x) ax恒成立，求a的取值范圍解析：若設(shè)x)則其圖象為上半圓，設(shè)y2=ax為過原點且斜 率為a的直線.在同一坐 標(biāo)系中作出函數(shù) 圖象，如下右 依題意，半圓恒 在直線上時，只有a0,即其取值范圍為a0恒成立它等價于，求解關(guān)于t的不等式組3tt0,A 0即log22a0 =0a12選定主元法例:對滿足不等式412aa25的一切實數(shù)a,不等式(a-3)x4a-2都成立，求實數(shù)的取值范圍.解析:按常規(guī)理解,要解以x為主元，為a常數(shù)的一元一次不等式但 比較煩瑣，若選a為主變元，則可利用函數(shù)的性質(zhì)解出(的取 值范圍.由.4123a25得:0a5設(shè)f(a)=(x-4)a-(3x-2),貝U由題意知,對任

7、意的a (0,5),都有f(a)-( - )x+(2)x+111 +()x, (n工2)1從而可知:a- (n-1),2n nn對于 x(八,1恒成立1 2n_ 1構(gòu)造函數(shù)g(x)=-( - )x+( - )x+ |j +()x, (n - 2)n nn貝貝、可題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)在八,1上的值域.由于函數(shù)ku(x)=-()(k= 1,2|n- 1),x (八，1上是單調(diào)遞增的，n1則g(x)在H：,1為單調(diào)遞增函數(shù)，于是g(x)的最大值為g(1)=- -(n-1),4.分類討論例：若函數(shù)f(x)二 Jkx2一6kx(k8)的定義域為R,則的取值范圍是()由題意 kx2- 6kx (k 8) _

8、0恒成立(1).若，符合題意(2).若，kx2一6kx(k8 0恒成立k 0 -A 0= k0小二0 k 136k2-4k(k8)空0綜上可得： 0 k 1在處理恒成立問題時，并非單一的使用某一種思路方法，而是各種思路方法相互滲透，解決這類問題是各種思路和方法的綜合運(yùn)用，且要求較高難度較大.正所謂萬變不離其中,只要我們在平時的學(xué)習(xí)中把基本思路和方法理解，掌握透徹，一切問題都會迎刃而解.2，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì):若f(x)=ax2+bx+c (a - 0)大于0恒成立 二 若二次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立則可利用根的分布和韋達(dá)定理求解。例1： 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在-1,1單調(diào)遞增，又f(-1)=-1，若f(x)- t2-2at+1對所有的a -1,1都成立，求t的取值范