高中物理《光學》1.4.光在球面上的反射與折射

1、高中物理競賽光學§1.4、光在球面上的反射與折射1.4.1、球面鏡成像（1）球面鏡的焦距球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面圖1-4-1圖1-4-2的半徑。一束近主軸的平行光線，經(jīng)凹鏡反射后將會聚于主軸上一點F（圖1-4-1），這F點稱為凹鏡的焦點。一束近主軸的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長可會聚于主軸上一點F（圖1-4-2），這F點稱為凸鏡的虛焦點。焦點F到鏡面頂點O之間的距離叫做球面鏡的焦距f。可以證明，球面鏡焦距f等于球面半徑R的一半，即（2）球面鏡成像公式 根據(jù)反射定律可以推導出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來推導：（如圖1-4-3所示）設在凹鏡的主軸上有一個物體

2、S，由S發(fā)出的射向凹鏡的光線鏡面A點反射后與主軸交于點，半徑CA為反射的法線，即S的像。根據(jù)反射定律，則CA為角A的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有 由為SA為近軸光線，所以，式可改寫為 式中OS叫物距u，叫像距v，設凹鏡焦距為f，則 代入式 化簡 這個公式同樣適用于凸鏡。使用球面鏡的成像公式時要注意：凹鏡焦距f取正，凸鏡焦距f取負；實物u取正，虛物u取負；實像v為正，虛像v為負。上式是球面鏡成像公式。它適用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號遵循“實取正，虛取負”的原則。凸面鏡的焦點是虛的，因此焦距為負值。在成像中，像長 和物長h之比為成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率關系式可以討論球面鏡成

3、像情況，對于凹鏡，如表所列；對于凸鏡，如表所列。表 凹鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虛實實物同側f縮小倒實2f同側f2f縮小倒實2f同側2f等大倒實2ff同側f2f放大倒實f放大f0異側0放大正虛虛物異側0f縮小正實表 凸鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性質(zhì)實物f同側0f縮小正虛虛物2f同側f2f縮小倒虛2f同側2f等大倒虛f2f同側2f放大倒虛ff0異側0放大正實（3）球面鏡多次成像 球面鏡多次成像原則：只要多次運用球面鏡成像公式即可，但有時前一個球面鏡反射的光線尚未成像便又遇上了后一個球面鏡，此時就要引進虛像的概念。圖1-4-4如圖1-4-4所

4、示，半徑為R的凸鏡和凹鏡主軸相互重合放置，兩鏡頂點O1 、 O2 相距2.6R，現(xiàn)于主軸上距凹鏡頂點O1為0.6R處放一點光源S。設點光源的像只能直接射到凹鏡上，問S經(jīng)凹鏡和凸鏡各反射一次后所成的像在何處？S在凹鏡中成像， 可解得 ,根據(jù)題意：所以凹鏡反射的光線尚未成像便已又被凸鏡反射，此時可將凹鏡原來要成像作為凸鏡的虛物來處理， ， 可解得 說明凸鏡所成的像和S在同一位置上。1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式 （a）單介質(zhì)球面折射成像圖1-4-5如圖1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分別為1和n，為S的像。因為i、r均很小，行以 因為 ，代入式可有 對近軸光線來說，、同樣很

5、小，所以有 ，代入式可得 當時的v是焦距f，所以 （b）雙介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-6所示，球形折射面兩側的介質(zhì)折射率分別n1和n2，C是球心，O是頂點，球面曲率半徑為R，S是物點，是像點，對于近軸光線 ， ，聯(lián)立上式解得 圖1-4-6這是球面折射的成像公式，式中u、的符號同樣遵循“實正虛負”的法則，對于R；則當球心C在出射光的一個側，（凸面朝向入射光）時為正，當球心C在入射光的一側（凹面朝向入射光）時為負。若引入焦點和焦距概念，則當入射光為平行于主軸的平行光（u=）時，出射光（或其反向延長線）的交點即為第二焦點，（也稱像方焦點），此時像距即是第二焦距，有。當出射光為平行光時，入射光（或其延

6、長線）的交點即第一焦點（即物方焦點），這時物距即為第一焦距，有，將、代入成像公式改寫成 反射定律可以看成折射定律在時的物倒，因此，球面鏡的反射成像公式可以從球面鏡折射成像公式中得到，由于反射光的行進方向逆轉，像距和球面半徑R的正負規(guī)定應與折射時相反，在上述公式中令，即可得到球面鏡反射成像公式，對于凹面鏡，對于凸面鏡，厚透鏡成像。（C）厚透鏡折射成像圖1-4-7t設構成厚透鏡材料的折射率為n，物方介質(zhì)的折射率為，像方介質(zhì)的折射率為，前后兩邊球面的曲率半徑依次為和，透鏡的厚度為，當物點在主軸上的P點時，物距，現(xiàn)在來計算像點的像距。，首先考慮第一個球面AOB對入射光的折射，這時假定第二個球面AOB不

7、存在，并認為球AOB右邊，都為折射率等于n的介質(zhì)充滿，在這種情況下，P點的像將成在處，其像距，然后再考慮光線在第二個球面的折射，對于這個球面來說，便是虛物。因此對于球面AOB，物像公式為 對于球面AOB，物像公式為這樣就可以用二個球面的成像法來求得透鏡成像的像距u。（2）光焦度 60cm30cm圖1-4-8折射成像右端僅與介質(zhì)的折射率及球面的曲率半徑有關，因而對于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來說是一個不變量，我們定義此量為光焦度，用表示： 它表征單折射球面對入射平行光束的屈折本領。的數(shù)值越大，平行光束折得越厲害；0時，屈折是會聚性的；0時，屈折是發(fā)散性的。=0時，對應于，即為平面折射。這時，沿軸

8、平行光束經(jīng)折射后仍是沿軸平行光束，不出現(xiàn)屈折現(xiàn)象。光焦度的單位是米-1，或稱屈光度，將其數(shù)值乘以100，就是通常所說的眼鏡片的“度數(shù)”。（3）鍍銀透鏡與面鏡的等效 圖1-4-9有一薄平凸透鏡，凸面曲率半徑R=30cm，已知在近軸光線時：若將此透鏡的平面鍍銀，其作用等于一個焦距是30cm的凹面鏡；若將此透鏡的凸面鍍銀，其作用也等同于一個凹面鏡，其其等效焦距。當透鏡的平面鍍銀時，其作用等同于焦距是30cm的凹面鏡，即這時透鏡等效面曲率半徑為60cm的球面反射鏡。由凹面鏡的成像性質(zhì)，當物點置于等效曲率中心 時任一近軸光線經(jīng)凸面折射，再經(jīng)平面反射后將沿原路返回，再經(jīng)凸面折射后，光線過 點，物像重合。如

9、圖1-4-8所示。，。依題意，故。凸面鍍銀，光路如圖1-4-9所示。關鍵尋找等效曲率中心，通過凸面上任一點A作一垂直于球面指向曲率中心C的光線。此光線經(jīng)平面折射后交至光軸于，令則，得。圖1-4-10由光的可逆性原理知，是等效凹面鏡的曲率中心，f=10cm。例1、如圖1-4-10所示，一個雙凸薄透鏡的兩個球面的曲率半徑均為r，透鏡的折射率為n，考察由透鏡后表面反射所形成的實像。試問物放于何處，可使反射像與物位于同一豎直平面內(nèi)（不考慮多重反射）。解: 從物點發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面（即左表面）反射后形成虛像，不合題意，無須考慮。從物點發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后，再經(jīng)透鏡后表面反射折回，又經(jīng)前表面折射共

10、三次成像，最后是實像，符合題意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，結合物與像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式為：，其中反射面的焦距為（R為球面半徑），對凹面鏡，f取正值，對凸面鏡，f取負值。圖1-4-11甲球面折射的成像公式為：。當入射光從頂點射向球心時，R取正值，當入射光從球心射向頂點時，R取負值。如圖1-4-11甲所示，當物點Q發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后成像于，設物距為u，像距為v，根據(jù)球面折射成像公式： 這里空氣的折射率，透鏡介質(zhì)的折射率，入射光從頂點射向球心，R=r取正值，所以有 （1）圖1-4-11乙圖1-4-11丙這是第一次成像。對凸透鏡的后表面來說，物點Q經(jīng)透鏡前表

11、面折射所成的風點是它的物點，其物距（是虛物），經(jīng)透鏡后表面反射后成像于，像距為（如圖1-4-11乙所示），由球面反射成像公式 將前面數(shù)據(jù)代入得 （2）這是第二次成像。由透鏡后表面反射成的像點又作為透鏡前表面折射成像的物點，其物距（是虛物），再經(jīng)過透鏡前表面折射成像于，像距為，（見圖1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式 這時人射光一側折射率，折射光一側折射率(是空氣），入射光由球心射向頂點，故R值取負值。所以可寫出 代入前面得到的關系可得 （3）這是第三次成像，由（1）、（2）兩式可解得 （4）再把（4）式和（3）式相加，可得 （5）為使物點Q與像點在同一豎直平面內(nèi)，這就要求 代入（5）是

12、可解得物距為 圖1-4-12說明 由本題可見，觀察反射像，調(diào)整物距，使反射像與物同在同一豎直平面內(nèi)，測出物距P，根據(jù)上式就可利用已知的透鏡折射率n求出透鏡球面的半徑r，或反過來由已咋的球面半徑r求出透鏡的折射率n。例2、顯微鏡物鏡組中常配有如圖1-4-12所示的透鏡，它的表面是球面，左表面的球心為，半徑為，右表面的球心為，半徑為，透鏡玻璃對于空氣的折射率為n，兩球心間的距離為 。在使用時，被觀察的物位于處，試證明1、從物射向此透鏡的光線，經(jīng)透鏡折射后，所有出射光線均相交于一點Q。2、 。解: 首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無折射地通過面，所以對來說，物點就在處。再考慮到面上的

13、折射。設入射光線與主軸的夾角為，入射點為P，入射角為i，折射角為r，折射線的延長線與主軸的交點為Q如圖1-4-13，則由折射定律知圖1-4-13 在中應用正弦定理得已知 由此得 所以 設CP與主軸的夾角為，則有 顯然，0時，r，因此出射線與主軸相交之點Q必在透鏡左方。為的外角 在中應用正弦定理，得 的數(shù)值與無關，由此可見，所有出射線的延長線都交于同一點，且此點與的距離為。圖1-4-14例3、有一薄透鏡如圖1-4-14，面是旋轉橢球面（橢圓繞長軸旋轉而成的曲面），其焦點為和；面是球面，其球心C與 重合。已知此透鏡放在空氣中時能使從無窮遠處于橢球長軸的物點射來的全部入射光線（不限于傍軸光線）會聚于

14、一個像點上，橢圓的偏心率為e。(1)求此透鏡材料的折射率n（要論證）；(2)如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達到上述的同樣的要求，橢圓應滿足什么條件？圖1-4-15分析: 解此題的關鍵在于是正確地運用橢圓的幾何性質(zhì)及折射定律。解: (1)根據(jù)題設，所有平行于旋轉橢球長軸的入射光線經(jīng)旋轉橢球面和球面兩次折射后全部都能會聚于同一像點，可作出如下論證：如果經(jīng)橢球面折射后射向球面的光線都射向球心C，即射向旋轉橢球面的第二焦點，則可滿足題設要求。光路圖如圖1-4-15所示：PA為入射線，AC為經(jīng)橢球面折射后的折射線，BN為A點處橢球面的法線，i為入射角，r為折射角。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，法線BN平分 ，

15、故與法線的夾角也是r，由正弦定律可得 ，從而可求得 2a為長軸的長度，2c為焦點間的距離；即只要n滿足以上條件，任意入射角為i的平行于旋轉橢球長軸的入射光線都能會聚于C（即）點。（2）如果透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，則要求 即橢圓的偏心率e應滿足 圖1-4-16圖1-4-17由于橢圓的e1，如果就無解。只要 ，總可以找到一個橢球面能滿足要求。例4、（1）圖1-4-16所示為一凹球面鏡，球心為C，內(nèi)盛透明液體。已知C至液面高度CE為40.0cm，主軸CO上有一物A，物離液面高度AE恰好為30.0cm時，物A的實像和物處于同一高度。實驗時光圈直徑很小，可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。

16、（2）體溫計橫截面如圖1-4-17所示，已知細水銀柱A離圓柱面頂點O的距離為2R，R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛像、正倒和放大倍數(shù)。圖1-4-18解: （1）主軸上物A發(fā)出的光線AB，經(jīng)液體界面折射后沿BD方向入射球面鏡時，只要BD延長線經(jīng)過球心C，光線經(jīng)球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光線相交于A（圖1-4-18）。對空氣、液體界面用折射定律有 當光圈足夠小時，BE，因此有 圖1-4-19（2）先考慮主軸上點物A發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向ACOE入射界面，無偏折地出射，進入人眼E。其二

17、沿AP方向以入射角i斜入射界面P點，折射角為r。折射光線PQ要能進入人眼E，P點應非?？拷麿點，或說入射角i 折射角r應很小。若角度以弧度量度，在小角（近軸）近似下，折射定律可寫為。這兩條光線反向延長，在主軸上相交于，即為物A之虛像點（圖1-4-19）對用正弦定律，得 在小角（近軸）近似下：，上式可寫為 解上式得 為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體AB，即然是一對共軛點，只要選從B發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長線與過垂軸線相交于，是點物B虛像點，即是物AB之正立虛像。圖1-4-20選從B點發(fā)出過圓柱面軸心C之光線BC。該光線對界面來說是正入射（入射角為零），

18、故無偏折地出射，反向延長BC線交過垂軸線于，從得放大率=例5、有一半徑為R=0.128m的玻璃半球，過球心O并與其平面部分相垂直的直線為其主軸，在主軸上沿軸放置一細條形發(fā)光體（離球心較近），其長度為L=0.020m。若人眼在主軸附近對著平面部分向半球望去（如圖1-4-20），可以看到條形發(fā)光體的兩個不很亮的像（此處可能還有亮度更弱圖1-4-21圖1-4-22的像，不必考慮），當條形發(fā)光體在主軸上前后移動時，這兩個像也在主軸上隨之移動?，F(xiàn)在調(diào)整條形發(fā)光體的位置，使得它的兩個像恰好頭尾相接，連在一起，此時條形發(fā)光體的近端距球心O的距離為。試利用以上數(shù)據(jù)求出構成此半球的玻璃折射率n（計算時只考慮近軸光線）。解: 1、條形發(fā)光體的兩個像，一個是光線在平面部分反射而形成的，一個是光線經(jīng)平面折射進入玻璃，在凹面鏡上反射后，又經(jīng)平面折射穿出玻璃而形成的。2、求半球外任一個在軸上的光點A的上述兩個像。平面反射像在處，（見圖1-4-21）凹面鏡反射像D求法如下：（1）A點發(fā)出的光經(jīng)平面折射后進入玻璃，射向凹面鏡，對凹面鏡來說，相當于光線從B點射來（1-4-22）。令OB=b，則 （1） （2）用凹面鏡公式圖1-4-23 （f為焦距）求凹面鏡成的像C的位置。令OC=C，則 ，代入上式 解出C得 （2）由此可