第五章廣義積分ppt課件

1、廣義積分廣義積分 在前面所討論的定積分事實(shí)上是有條件在前面所討論的定積分事實(shí)上是有條件的：一是積分區(qū)間是有限區(qū)間，二是被積函數(shù)的：一是積分區(qū)間是有限區(qū)間，二是被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界。但實(shí)際問(wèn)題常常要突破這在積分區(qū)間上有界。但實(shí)際問(wèn)題常常要突破這兩個(gè)前提，因此需要對(duì)定積分作如下兩種推廣兩個(gè)前提，因此需要對(duì)定積分作如下兩種推廣：無(wú)窮區(qū)間上的積分：無(wú)窮區(qū)間上的積分無(wú)窮限積分，無(wú)界函無(wú)窮限積分，無(wú)界函數(shù)在有限區(qū)間上的積分?jǐn)?shù)在有限區(qū)間上的積分無(wú)界函數(shù)積分或瑕無(wú)界函數(shù)積分或瑕積分，統(tǒng)稱為廣義積分或旁義積分，以前討論積分，統(tǒng)稱為廣義積分或旁義積分，以前討論過(guò)的定積分稱為常義積分。過(guò)的定積分稱為常義積分。定

2、定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間),a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 一、無(wú)窮限的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分類類似似地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b 上上連連續(xù)續(xù)，取取ba ，如如果果極極限限 baadxxf)(lim存存在在，則則稱稱此

3、此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間,(b 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),( 上上連連續(xù)續(xù), ,如如果果廣廣義義積積分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收斂斂，則則稱稱上上述述兩兩廣廣義義積積分分之之和和為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間),( 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 dxxf)(. . 0)(limaadxxf bbdxxf0)

4、(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.1sin122 dxxx解解 21sin12dxxx 211sinxdx 例例1 1 計(jì)算廣義積計(jì)算廣義積分分 bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 1

5、1dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)收收斂斂， 當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因因此此當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散.例例 4 4 證明廣義積分證明廣義積分 apxdxe當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)收斂，時(shí)收斂， 當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. 證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))

6、(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界取的右鄰域內(nèi)無(wú)界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分類類 似似 地地 ， 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù))( xf在在 區(qū)區(qū) 間間),ba上上 連連 續(xù)續(xù) ，而而 在在 點(diǎn)點(diǎn)b的的

7、左左 鄰鄰 域域 內(nèi)內(nèi) 無(wú)無(wú) 界界 . . 取取0 ， 如如 果果 極極 限限 badxxf)(lim0存存 在在 ， 則則 稱稱 此此 極極 限限 為為 函函 數(shù)數(shù))( xf在在區(qū)區(qū)間間),ba上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點(diǎn)上除點(diǎn))(bcac 外連外連續(xù)，而在點(diǎn)續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界的鄰域內(nèi)無(wú)界. .如果兩個(gè)廣義積分如果兩個(gè)廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收

8、斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中c為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.例例5 5 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分).0(022 axadxa解解,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 證證明明廣廣義義積積分分 101dxxq當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)收收斂斂，

9、當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. , 1)1( q 101dxxq 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq證證因因此此當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散.例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.ln21 xxdx解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)解解 3032)1(xdx 10313

10、2)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 例例8 8 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分注意注意 廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。檢查是否有瑕點(diǎn)。 廣義積分中，廣義積分中，N-L公式，換元積分公公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，不過(guò)代入式、分部積分公式仍然成立，

11、不過(guò)代入上、下限時(shí)代入的是極限值。上、下限時(shí)代入的是極限值。如如 無(wú)窮限積分無(wú)窮限積分 aaFFdxxf)()()( bFbFdxxf)()()( aavduauvudv)(再如再如 瑕積分瑕積分)0()()( aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()()0()0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)( 02)1)(1(1無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)并并求求其其值值與與 dxxxI 例例9。證明。證明證證dxxxI 02)1)(1 (1 dxxx 1012)1)(1 (1 21II dxxxI 1021)1)(1(1 )1(tx

12、令dtttt 12)1)(1( 21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1( 41112 dxx無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)(無(wú)界函數(shù)的廣義積分瑕積分）無(wú)界函數(shù)的廣義積分瑕積分） badxxf)(（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx三、小結(jié)三、小結(jié)積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn),

13、101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x 思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)時(shí)發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)時(shí)發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分 2)(lnkxxdx在在_時(shí)收斂； 在時(shí)收斂； 在_ 時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散； 4 4、廣廣義義積積分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；5 5、 廣義積分廣義積分 1021xxdx_；6 6、 廣義積分廣義積分 xdttf)(的幾何意義是的幾何意義是_ _. .二二、 判判別別下下列列各各廣廣義義

14、積積分分的的收收斂斂性性，如如果果收收斂斂，則則計(jì)計(jì)算算廣廣義義積積分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（為為自自然然數(shù)數(shù)n） ；4 4、 202)1(xdx；5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求當(dāng)求當(dāng)為為何何值值時(shí)時(shí)k，廣義積分，廣義積分)()(abaxdxbak 收斂？又收斂？又為為何何值值時(shí)時(shí)k，這廣義積分發(fā)散？，這廣義積分發(fā)散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，試用分段函數(shù)表示，試用分段函數(shù)表示 xdttf)(. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5