概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題詳解

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題集及解答第一章隨機(jī)事件和概率一.填空題1 .設(shè)A, B, C 為三個(gè)事件，且 P(A B) 09 P(入 B C) 0.97，則P(AB C)解.P(AB C) P(AB ABC) P(AB) P(ABC) 1 P(AB) 1 P(ABC)=P(A B C)- P(A B)2 .設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品 另一件也是不合格品的概率為 .解.A 二件產(chǎn)品中有一件是不 合格品, B 二件都是不合格品2P(B|A)P(AB)P(A)C4P(B)COP(A) 1 屬2c10注意：二件產(chǎn)品中有一件是不合格品 =二件產(chǎn)品中恰有一件

2、是不合格品+ 二件都是不合格品所以A B, AB B； A 二件都是合格品3 .隨機(jī)地向半圓0 y %；2ax x2 (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率 與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 x軸的夾角小于 的概率為 .解.假設(shè)落點(diǎn)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，D為半圓.則122P(X,Y) D) k- a21 , k為比例系數(shù).所以k 2假設(shè)Di = D中落點(diǎn)和原點(diǎn)連線與 x軸夾角小于-的區(qū)域2 1cle 11P(X,Y) Di) k Di的面積 -(- a2 -a2)- .4 .設(shè)隨機(jī)事件A, B及其和事件A B的概率分別是0.4, 0.3, 0.6,若B表示B的對(duì)立事件

3、，則 積事件aB的概率p(aB)=.解.P(AB) P(A) P(B) P(A B)P(AB) P(A) P(AB) 0.4 0.1 0.3.5 .某市有50住戶訂日?qǐng)?bào)，有65住戶訂晚報(bào)，有85住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種，則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比是 .解.假設(shè)A = 訂日?qǐng)?bào), B = 訂晚報(bào), C = A + B.由已知P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以P(AB) = P(A) + P(B) P(A + B) = 0.5 + 0.65 0.85 = 0.3.6 .三臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，設(shè)第一，第二，第三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為0.9,

4、0.8, 0.7,則這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障的概率 .解.設(shè)Ai事件表示第i臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)不發(fā)生故障(i = 1,2, 3).則 P(Ai) = 0.9, P(A 2) = 0.8,P(A 3) = 0.7,P(由 A2 A3) P(AA2 A3) 1 P(AA2A3) 1 P(A)P(A2)P(A3)x x 0.7=0.496.7 .電路由元件A與兩個(gè)并聯(lián)元件B, C串聯(lián)而成，若A, B, C損壞與否相互獨(dú)立，且它們損壞 的概率依次為0.3, 0.2, 0.1,則電路斷路的概率是 .解.假設(shè)事件A, B, C表示元件A, B, C完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C

5、) = 0.9.事件線路完好 =A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC) P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) XX XX 0.9 = 0.686.所以P(電路斷路)=1-0.686 = 0.314.8 .甲乙兩人投籃，命中率分別為0.7, 0.6,每人投三次，則甲比乙進(jìn)球多的概率 .解.設(shè)X表示甲進(jìn)球數(shù)，Y表示乙進(jìn)球數(shù).P(甲比乙進(jìn)球多)=P(X = 3, Y =2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0)+P(X = 2, Y =1) +P

6、(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0)=P(X = 3)P(Y =2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y =0)+P(X = 2)P(Y= 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y= 0)= 0.73 c； 0.4 0.620.73 c2 0.42 0.60.73 0.431212123123+ c3 0.3 0.7c3 0.6 0.4 c3 0.3 0.7 0.4c3 0.7 0.3 0.4=0.43624.一 ，一1 1 19.三人獨(dú)立破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為 -，-，一，則此密碼被譯出的概率

7、5 3 4111解.設(shè)A, B, C表小事件甲，乙，丙單獨(dú)譯出密碼.，則P(A) ，P(B) 1 , P(C)-534P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)=P(A) + P(B) + P(C) P(A)P(B) P(A)P(C) P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)1111111111113534535434534 5二.單項(xiàng)選擇題.1 .以A表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則對(duì)立事件A為(A) “甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”(B) “甲、乙產(chǎn)品均暢銷”(C) “甲種產(chǎn)品滯銷”(D) “甲產(chǎn)品滯銷

8、或乙產(chǎn)品暢銷”解.(D)是答案.2 .設(shè)A, B, C是三個(gè)事件，與事件A互斥的事件是(A) AB AC (B) A(B C) (C) ABC(D) ABC解.A(AB C) AA B C ,所以(D)是答案.3 .設(shè)A, B是任意二個(gè)事件，則(A) P(A B)P(AB) P(A)P(B)(B) P(A B)P(AB) P(A)P(B)1(C) P(A B)P(BA) P(A)P(B) P(AB) (D) P(A B)P(B A) -.4解.P(A + B)P(AB) P(A)P(B) = (P(A) + P(B) P(AB)P(AB) P(A)P(B)=P(A)(P(B) P(AB) +

9、P(AB)(P(B) P(AB)= -(P(B) P(AB)(P(A) P(AB)= -P(B-A)P(A - B) 0所以(B)是答案.4 .事彳A與B相互獨(dú)立的充要條件為(A) A + B =(B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB =(D) P(A + B) = P(A) + P(B)解.(B)是答案.5 .設(shè)A, B為二個(gè)事件，且P(AB) = 0,則(A) A, B 互斥 (B) AB是不可能事件(C) AB未必是不可能事件(D) P(A) = 0或P(B) = 0.解.概率理論中P(A) = 0不能推出A為不可能事件(證明超出大綱要求).所以(C)是答案.6 .設(shè)A,

10、 B為任意二個(gè)事件，且A B, P(B) > 0,則下列選項(xiàng)必然成立的是(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) P(A|B)解.P(A|B)迪 噠 P(A) (當(dāng)B =時(shí)等式成立).(B)是答案.P(B) P(B)7 .已知0 < P(B) < 1,且P(A1 + A2)|B = P(A1|B) + P(A2|B),則下列選項(xiàng)必然成立的是(A) P(A 1 A2)|B P(A1 |B) P(A2 |B)(B) P(A iB +A 2B) = P(A iB) +P(A 2B)(C) P

11、(Ai +A2) = P(Ai|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A i)P(B|Ai) + P(A 2)P(B|A2)解.由 P(A 1 + A2)|B = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到P(Ai A2)BP(B)P(AB) PCB)P(B) P(B),所以 P(AiB +A2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三.計(jì)算題1 .某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為 0.05,每100個(gè)產(chǎn)品為一批，抽查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，在每批中任取一 半來(lái)檢查，如果發(fā)現(xiàn)次品不多于 1個(gè)，則這批產(chǎn)品可以認(rèn)為合格的，求一批產(chǎn)品被認(rèn)為是合 格的I率.解.P（該批產(chǎn)品合格）=P（全部正

12、品）+ P（恰有1個(gè)次品）50_ C9550 c10049 1 c95 c5 -50- C1000.27942 .書架上按任意次序擺著15本教科書，其中有5本是數(shù)學(xué)書，從中隨機(jī)地抽取3本，至少有一本是數(shù)學(xué)書的概率.解.假設(shè)A=至少有一本數(shù)學(xué)書. R=沒有數(shù)學(xué)書3p(A)= c0 c152491P(A) = 1 P( A)=6791解.男生女生北京128免修英語(yǔ)328總數(shù)80205學(xué)生情況：i.ii.iii.iv.v.口G 68P（不是北京|男生）二一8012p（男生北京學(xué)生）=2012P（北與男生）=10012P（女生|非北與學(xué)生）二一80舊 32P（免修英語(yǔ)男生）=10017203520名中

13、有男生12名.免修英語(yǔ)的40名學(xué)3 .全年級(jí)100名學(xué)生中有男生 80名，來(lái)自北京的 生中有男生32名，求出下列概率： i.碰到男生情況不是北京男生的概率 ii.碰到北京來(lái)的學(xué)生情況下是一名男生的概率iii.碰到北京男生的概率；iv.碰到非北京學(xué)生情況下是一名女生的概率v.碰到免修英語(yǔ)的男生的概率 .4.袋中有12個(gè)球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)從中取 3個(gè)，比賽后任放回袋中，第二 次比賽再?gòu)拇腥稳?3個(gè)球，求:i.第二次取出的球都是新球的概率；ii.又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率.解.i.設(shè)Bi表示第一次比賽抽到i個(gè)新球（i = 0, 1,2, 3）. A表示第

14、二次比賽都是新球.于是P(Bi)C9c33-C123P(A|Bi) 上C123P(A) P(B)P(A|Bi)i 03 i 3 i 3C9c3 C9 i(Cl1, 0 3 31 2 32 1 330 3、-2(C9C3C9 C9c3c8 C9c3c7 C9c3c6) (C12)12(1 1 84 (220)29 3 56 36 3 35 84 120)7056484000.146ii. P(B3 |A)P(AB)P(B3)PA)84 1 20(220)25705621484005.設(shè)甲、乙兩袋，甲袋中有n個(gè)白球，m個(gè)紅球乙袋中有N個(gè)白球，M個(gè)紅球，今從甲袋中任取一只放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?/p>

15、，問(wèn)取到白球的概率解.球的情況：白球甲袋n乙袋N假設(shè) A = 先從甲袋中任取一球?yàn)榘浊蚣t球mM B = 先從甲袋中任取一球?yàn)榧t球C = 再?gòu)囊掖腥稳∫磺驗(yàn)榘浊騈 1 n N mP(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)NM1nmNM1mnn(N 1) Nm(N M 1)( m n)第二章隨機(jī)變量及其分布.填空題1 .設(shè)隨機(jī)變量 XB(2, p), YB(3, p),若 P(X 1) = 5,則 P(Y 1)=9解.P(X0)P(X1)(1p)2P(Y1)P(Y0)3 19272 .已知隨機(jī)變量X只能取一1,0, 1,2四個(gè)數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為13 5 2，,2c 4c

16、8c 16c135232,2c 4c 8c 16c 16c3 .用隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)表示下述概率：P(X a) =. P(X = a) =.P(X > a) =. P(xi < X X2)=.解.P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)P(X < a) = F(a) -F(a-0)P(X > a) = 1 F(a)P(X1 < XX2) = F(X2) F(xi)20有實(shí)根的概率為4 .設(shè)k在(0, 5)上服從均勻分布，則4x 4kx k 2解.k的分布密度為f(k)其它.22P4x2 4kx k 2 0 有實(shí)根 = P 16k2

17、16k 32 0-513=Pk 1 或 k 2 =- dk 一255ab5.已知 PX k ,PY k (k = 1,2, 3), X 與 Y 獨(dú)立，則2 = kk2合概率分布解.a a a2 3Z =:X + Y的概率分布為_.1,61bba. b114 91, b3649(X, Y)的聯(lián)合分布為-1-2-31ababab492ababab28183ababab31227Z = X + Y-21012P246625112672ab=216 ,1539P(Z2) P(X1,Y3)P(X1)P(Yab3) 24P(Z 1) P(X 2,Y3) P(X 1,Y2) 66P(Z 0) P(X 3,Y

18、3) P(X 2,Y2) P(X 1,Y1) 251P(Z 1) P(X 2,YP(Z 2) P(X 3丫1) P(X 3,Y2) 1261) P(X3)P(Y1) ab 7236.已知（X, Y）聯(lián)合密度為（x,y）csin(x y) 00x，y 7,則。=其它, Y的邊緣概率密度Y(y) ./4 /4解. csin(x y)dxdy 1, c . 2 100所以（x,y）(.2 1)sin(x y) 00 x, y其它x(x)0當(dāng)1 x e2時(shí)(2 1)sin(x y)dx ( . 21)(cos y cos(-y)4當(dāng)0 y 時(shí) 4Y(y)(x, y)dx(.2 1 )(cos y co

19、s(7y)0 y -所以 Y(y)440其它 1 一7.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y 及直線y 0,x 1,x e圍成，二維隨機(jī)變量（X, Y）在D上 x服從均勻分布，則（X, Y）關(guān)于X的邊緣密度在x = 2處的值為 .e2 1解.D的面積=-dx 2.所以二維隨機(jī)變量（X, Y）的密度為：1 x(x, y)(x, y) D其它下面求X的邊沿密度當(dāng)x < 1或x > e2時(shí)8.解.X (x)若 X1, X2,1一(Xi X2：11寸(x，y)dyo-dy m 所以,Xn是正態(tài)總體 N(Xn)服從n獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布1 nE - Xin i 11 nE(Xi)n i

20、 1d1n9.如果(X, Y)的聯(lián)合分布用下列表格給出(X, Y)P且X與丫相互獨(dú)立 解.P(X2)(1, 1) (1,2) (1,3)XiP(Y1)P(YP(XP(X兩式相除得(2, 1)1(2, 2)9183x(2)142)的一組簡(jiǎn)單nD(Xi) i 1(2, 3)2)P(Y3)1)2,Y 2)2,Y3)-,解得1810.設(shè)(X, Y)的聯(lián)合分布律為丫P(XP(X-22)P(Y2)P(Y2)3)-1)(9XI113一 I12121212102丘1222301212ii. V = X Y的分布律則i. Z = X + Y的分布律 iii. U= X 2 + Y-2的分布律 解.二.單項(xiàng)選擇題

21、1.如下四個(gè)函數(shù)哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)1(A) F(x) 220,(B) F(x)sin x(C) F(x) sin x1/2, (D) F(x)/21x 21解.(A)不滿足F(+ )= 排除(D); (C)是答案.1,排除(A)；(B)不滿足單增，排除(B)； (D)不滿足F(1/2 + 0) = F(1/2),2. P(X k)/ k! (k 0,2,4,)是隨機(jī)變量X的概率分布，則，c 一定滿足(A) > 0(B) c > 0(C) c > 0(D) c > 0,且 > 0解.因?yàn)镻(Xk) c ke/k! (k0,2,4,),所以c > 0.而k

22、為偶數(shù)，所以 可以為負(fù).所以(B)是答案3. X N(1, 1),概率密度為(x),則(A) p(X 0) P(X 0)0.5(B) (x)( x), x (C) p(X 1) P(X 1)0.5(D) F(x) 1 F( x), x (X + Y-3一 21 3/2 1/213P1/121/123/122/121/122/122/12X-Y1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2 + Y-215/4-3一11/4-2-157P2/121/121/121/123/122/122/12解.因?yàn)?E(X)= 1,所以 p(X 1) P(X 1) 0.5.

23、 (C)是答案.4. X, Y相互獨(dú)立,且都服從區(qū)間0, 1上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機(jī)變量是(A) (X, Y)(B) X + Y(C) X2(D) X -Y解.X(x)10x10其它丫(y)0 y其它1.所以(X, Y)(x, y)0 x, y 1其它.所以(A)是答案.0x5.設(shè)函數(shù)F (x)21(B)不是分布函數(shù)(D)連續(xù)型分布函數(shù)(A) F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù) (C)離散型分布函數(shù).解.因?yàn)椴粷M足F(1 + 0) = F(1),所以F(x)不是分布函數(shù)，(B)是答案.6.設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)為 Fx (x), Fy (y),則

24、Z = max(X, Y)的分布函數(shù)是(A) Fz(z) = max Fx(z), Fy(z)(B) Fz(z) = max |Fx(z) |,| Fy(z)|(C) Fz(z)= Fx(z)Fy(z)(D)都不是解.FZ(z) P(Z z) Pmax( X,Y) z P X z且Y z因?yàn)楠?dú)立 P(X z)P(Y z) Fx(z)Fy(z).(C)是答案.7.設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是(A) Fz(z)= Fx(z)(C) Fz (z) = min Fx(z), Fy(z)解.Fz(z) P(Z z) 1 P(Z其分布函數(shù)分別為 Fx (x), Fy (y),則Z = m

25、in(X, Y)(B) Fz(z)= Fy(z)(D) FZ (z)= 1 1 FX (z) 1 FY (z)z) 1 Pmin( X,Y) z1 PX z且 Y z因?yàn)楠?dú)立 1 1 P(X z)1 P(Y z) 1 1Fx(z)1Fy(z)(D)是答案.8.設(shè)X的密度函數(shù)為，、 ，、1(x),而(x)(1,則 Y = 2X x )的概率密度是1(A)2(1 4y )2(B)(4 y2)(C)一(1 y )(D)larctany解.FY(y)p(yy) P2X yY(y)Fy(Y)'Fx©X(2) 2(B)是答案.9.設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為(x,y)e (xy

26、)的分布密度是(A)z(Z)1 (xe20y)x 0, y其它(C)z(Z)4ze2z解.注:(鏟2(4 y2)(B)z(Z)(D)維隨機(jī)變量，密度函數(shù)是一元函數(shù)1 ,10 -e zdz -,所以(D)不是答案.(C)是答案.排除法做單項(xiàng)選擇題是經(jīng)常使用而且很有效的方法Fz(z) 0Fz(z)P(Zz)z) P(Xz(Z)2ze02ze ydydx2ze2z2zeFz(z)4ze2z0,(C)是答案.0x 0, y其它10.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 確的是x 0, y其它1 ez(Z)20,排除(A), (B).該題也可直接計(jì)算的密度:2z) (x,y)dxdyx y 2z和Y分別服從正態(tài)分布

27、N(0, 1)和N(1, 1),則下列結(jié)論正(A) PX + 丫 0 = 1/2(B) PX + 丫 1 = 1/2(C) PX Y 0 = 1/2(D) PX Y 1 = 1/2解.因?yàn)閄和Y分別服從正態(tài)分布 N(0, 1)和N(1, 1),且X和Y相互獨(dú)立，所以X + Y N(1,2), X-Y N(- 1,2)于是 PX + Y 1 = 1/2, (B)是答案.11.設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，則Y = minX, 2的分布函數(shù)是(A)是連續(xù)函數(shù)(B)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)(C)是階梯函數(shù) (D)恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)解.分布函數(shù)：F“y) P(Y y) P(min( X,2) y) 1 P(min(

28、X,2) y)當(dāng)y 2時(shí)FY(y) 1 P(min(X,2) y) 1 0 1當(dāng)0 y < 2時(shí)%(y) 1 P(min(X,2) y) 1 (Xy,2 y)1 P(X y) P(X y) 1 e y當(dāng)y < 0時(shí)FY(y) 1 P(min( X,2) y) 1 (X y,2 y)1 P(X y) P(X y) 01y 2于是 FY(y)1 e y 0 y 2 只有y = 2一個(gè)間斷點(diǎn),(D)是答案.0y 0三.計(jì)算題1 .某射手有5發(fā)子彈，射擊一次的命中率為0.9,如果他命中目標(biāo)就停止射擊，不命中就直到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù) X的分布密度.解.假設(shè)X表示所用子彈數(shù).X = 1

29、,2, 3, 4, 5.i 1P(X = i) = P(前 i 1 次不中，第 i 次命中)=(0.1)0,9, i = 1,2, 3, 4.當(dāng)i = 5時(shí)，只要前四次不中，無(wú)論第五次中與不中，都要結(jié)束射擊(因?yàn)橹挥形灏l(fā)子彈),所以 P(X = 5) = (0.1)4,于是分布律為X 12345P2 .設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品，3件次品，現(xiàn)一件一件地隨機(jī)取出，分別求出在下列各情形中 直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布密度.i,每次取出的產(chǎn)品不放回；ii,每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)后放回，再抽??；iii,每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回，再抽取.解.假設(shè)Ai表示第i次取出正品（i = 1,2, 3,）

30、i.每次取出的產(chǎn)品不放回X1234p10103102312313121311121311121310P(X 1) P(A)10 3P(X 2) P(A2A1) P(4|A)P(A1)12 1310 2 3P(X 3) P(A1A2A3) P(A3 1A2)P(A2 |A1)P(A1)11 12 1312 3P(X 4) P(A4 1A3)P(A3 1A2)P(A2 |A)P(A) 1 -11 12 13iii.P(X k) p(AAk1 Ak)P(A) P(A1)P(A)31310,(k = 1,2,)13每次抽取后總以一個(gè)正品放回X123ii.每次抽取后將原產(chǎn)品放回X12kP103 10k

31、1331313 1313132p 103 113 2 12 d 12 31313 1313 13 1313 13 1310P(X 1) P(A)11 3P(X 2) P(A2A1) P(A2 | A1)P(A1)13 1312 2 3P(X 3) P(A1 A2A3) P(A3 1A2 A)P(A2|A1)P(A1)13 13 13旦1312P(X 4) P(A41A3 A2 A)P(A3 1A2 A)P(A2 |A)P(A) 1 -13 13c| x | 1113 .隨機(jī)變量X的密度為（x） J1 x2 ;二,求：i.常數(shù)c; ii. X落在（一，一）內(nèi) 其匕2 20的概率.1(x)dxc

32、.dx1/21 x2carcsin x |02c c21/2 11/2 -163P(X(1/2,1/2)dx22 arcsin x |0/24.隨機(jī)變量X分布密度為i. (x)2 ix10|x| 1其它,ii.x0 x12 x1 x20其它(x)求i., ii的分布函數(shù)解.i.當(dāng)x 1時(shí)F(x).F(x)dtx0dt當(dāng)一1< x < 1F(x)dtx 2 22 1 t2dt1larcsinxF(x)(t)dt1 2 2.1 t2dt1所以 F(x)ii.所以F(x)F(x)F(x)F(x)F(x)1 arcsin xdt(t)dt(t)dt(t)dtx0dtxtdt01tdt01t

33、dt0x1(2t)dt2x(2t)dt2x11x 2415.設(shè)測(cè)量從某地到某一目標(biāo)的距離時(shí)帶有的隨機(jī)誤差X具有分布密度函數(shù)2/、1(x 20)2(x) exp 40 23200試求：i.測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30的概率；30的概率.ii.接連獨(dú)立測(cè)量三次，至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一一1斛.因?yàn)?x) .exp40.22(x 20)23200,所以 X N(20, 402).i. P(| X | 30) P 30 X30 P 1.25X 20400.25(0.25)(1.25)(0.25)(1(1.25)(0.25)(1.25) 10.5987 0.8944（其中（x）為N（0, 1）的分布

34、函數(shù)）ii. P（至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)1 = 0.4931.30） = 1 - P（三次誤差的絕對(duì)值都超過(guò)30）一 一一 3_ 一一一=1 (0.4931)3 1 0.12 0.886.設(shè)電子元件的壽命 X具有密度為100(x)x20100x 100問(wèn)在150小時(shí)內(nèi),i.三只元件中沒有一只損壞的概率是多少 是多少？ iii.只有一個(gè)電子元件損壞的概率是多少？? ii.三只電子元件全損壞的概率100解.X的密度 （x）X20100 x.所以x 100P(X 150)150100100人 _1令 p = P(X 150) = 1 -32x2.3dxi. P（150小時(shí)內(nèi)三只元件沒有一只損壞

35、ii. P（150小時(shí)內(nèi)三只元彳全部損壞）=（1p)38271271=C3求圓片面積的概率分布.iii. P（150小時(shí)內(nèi)三只元件只有一只損壞） 7.對(duì)圓片直徑進(jìn)行測(cè)量，其值在5, 6上服從均勻分布1解.直徑D的分布密度為（d）05 d 6其它假設(shè) X , X的分布函數(shù)為4F(x) P(X x) P( D2當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn)(x) = 0當(dāng)x > 0時(shí)F(x) P(X x) P( D當(dāng)匡5, Wx也時(shí)4F(x) = 0W 4x25當(dāng)5 J 6,即 xF(x) P(X x) P(F(x).x)9時(shí)D2 x) P 4xD 14x5當(dāng)x > 9時(shí)xF(x) (t)dt0所以 F(x) .

36、 4x 511密度(x) F'(x). x06dt 1525 x44其它8.已知X服從參數(shù)表2所示表1Y 1p = 0.6的01分布在X = 0, X = 1下，關(guān)于Y的條件分布分別為表1、13,以及在Y 1時(shí)，關(guān)于X的條件分布.11P(Y|X = 0)42求(X, Y)的聯(lián)合概率分布解.X的分布律為X11P(Y|X = 1)26P(X, Y)的聯(lián)合分布為P(XP(XP(XP(XP(XP(X1)1,Y2)P(Y2 |X1)P(X1,Y0,Y0,Y0,Y1)3)1)2)3)P(YP(YP(YP(Y3|X1|X2| X3|X1)P(X0)P(X0)P(X0)P(X1)353530.30.1

37、0)0)314152520.20.10.20)0.1所以Y的分布律為P(X0 |Y1)P(X 0,Y 1)P(Y 1)0.3 0.50.6P(X1 |Y1)P(X 1,Y 1)P(Y 1)0.3 0.50.6所以X|Y9.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，并在區(qū)間0, 9上服從均勻分布的分布 X,求隨機(jī)變量Z Y密度.解.Xx(x)900x9其它丫Y (X)900 y 9其它因?yàn)閄, Y相互獨(dú)立，所以(X, Y)聯(lián)合密度為所以(X, Y)Fz(z)FzFz(z)z(z)1(x, y) 810P(ZP(Z181z)z)(81Fz(z)10.設(shè)(X, Y)的密度為/、24y(1(X,y) 0求:i. x(

38、x),解.i. x(X)0 x, 其它P(X z)YP( z)X19 9z) 2x y)1、(y |x), (y |x 2),(x, y)dyP(YP(Y12zx I其它0,yii. Y(y),0,xx(x)(x, y)dy所以所以x(x)x(x)4(1 0(y |x)(x,y)dyx)3其它x24y(1(x,y) x(x)6y(1(1 x) 0y)3Xz)Fz1Xz)(x|y),y)dyx 0, y其它(x|y 2)4(1 x)30, x y 1所以1 (y|x 2)24 y(1 2y) 0其它解.X B(2, p)ii. Y(y)(x, y)dx當(dāng)y 0或y 1時(shí)Y(y)(x,y)dx 0

39、Y(y),、,1 y2(x, y)dx 0 24y(1 x y)dx 12y(1 y)所以Y(y)12y(1 y)2 00 :其它所以(x|y)(x,y)Y(y)2(1 x y)(1 y)20x 0, y 0, x y 1其它所以(x|y2)4(12x)其它第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征.填空題1 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X Y) =.解.D(2X Y) = 4D(X) + D(Y) = 122 .已知隨機(jī)變量 XN( 3, 1), YN(2, 1 ),且X與Y相互獨(dú)立，Z = X - 2Y + 7,則Z 解.因?yàn)閆 = X -2Y + 7,所以Z

40、服從正態(tài)分布.E(Z) = E(X) 2E(Y) + 7 = 0.D(Z) = D(X -2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以 Z N(0, 5)3 .投擲n枚骰子，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望 解.假設(shè)Xi表示第i顆骰子的點(diǎn)數(shù)(i = 1,2,，n).則d 1E(Xi) = 1 一62666(i = 1,2,，n)n又設(shè)X Xi ,則E(X)i 1nE( Xi)i 1E(Xi) i 17n24.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值是在兩次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果在這些試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率相同，并且已知E(X) = 0.9,則D(X)=D(X) = 2Pq = 2

41、XX 0.55 = 0.495.5.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間 1, 2上服從均勻分布，隨機(jī)變量0 ,則方差0D(Y)=解.X(x)1 x 2其它Y的分布律為因?yàn)镻(Y1)P(X0)21一 dx0 3P(Y0)P(X0)P(Y1)P(X0)E(Y)_ 2E(Y )1dx32331-1, D(Y)3_2_2E(Y ) E(Y)6.若隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，且服從相同的兩點(diǎn)分布01,則X0.8 0.23Xii 1,分布,E(X)=，D(X)=Y101P2/301/3(y5)(y)y 5其它貝U E(XY)=2x 0 x 1(X)0 具匕解.X 服從 B(3, 0.2).所以 E(X) = 3p

42、= 3 X 0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3 XX7 .設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XN(0, 1), Y在1, 1上服從均勻分布，cov( X ,Y) = 解.因?yàn)閄和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以cov(X,Y)= 0.8 .設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為12解.E(X) x (x)dx x 2xdx 一 03E(Y) y (y)dy 5 y e(y 5)dy 6因?yàn)閄和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49 .若隨機(jī)變量X1, X2, X3相互獨(dú)立，其中X1在0, 6服從均勻分布，X2服從正態(tài)分布N(0,

43、22), X3服從參數(shù)=3的泊松分布，記Y = X 1 2X2 + 3X 3,則D(Y) =.解.D(Y) D(X1 2X2 3X3) D(X1) 4d(X2) 9d(X3)4662 12二.單項(xiàng)選擇題1 .設(shè)隨機(jī)變量 X和Y獨(dú)立同分布，記U = X Y, V = X + Y ,則U和V必然(A)不獨(dú)立 (B)獨(dú)立 (C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零解.因?yàn)?X 和 Y 同分布，所以 E(U) = E(X) E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0.E(UV)E(X2)E(Y2) 0.所以 cov(X,Y) = E(UV) E(U)E(V) = 0. (D)是答案.2 .已知X和Y的聯(lián)

44、合分布如下表所示，則有0120120.20.10(D) X與Y彼此獨(dú)立且相關(guān)(A) X與Y不獨(dú)立 (B) X與Y獨(dú)立 (C) X與Y不相關(guān) 解.P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) P(X = 0) X P(Y = 0). (A)是答案.3 .設(shè)離散型隨機(jī)變量 X可能取值為：xi = 1, X2 = 2, x3 = 3,且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9,則xi, x2,X3所對(duì)應(yīng)的概率為(A) p 1 = 0.1, P2 = 0.2, P3 = 0.7(B) P1 = 0.2, p 2 = 0.3, P3(C)

45、 p1 = 0.3, p2 = 0.5, p3 = 0.2(D) p i = 0.2, p2 = 0.5, p3解.E(X)X1P1X2P2X3P3P12 P23(1Pip2)32PiP22.32PiP20.72、222E(X ) X1 Pi X2 P2 X3 P3R 4 P29(1PiP2)5.98P1 5P23.1解得 P1 = 0.2,p2 = 0.3, p3 = 0.5.(B)是答案.4.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，今每人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張，則此人抽得獎(jiǎng)券的金額的數(shù)學(xué)期望(A) 6(B) 12(C) 7.8(D) 9解.假設(shè)X表示隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張，抽得獎(jiǎng)券的金額.X的分布律為X6912P7/157/151/15P(X6)P（三張都是二元）3 C8