圖像變換(DCT和小波變換)

1、DCT & DWTUniversity of Science and Technology of Beijing沈政偉離散余弦變換（離散余弦變換（DCT） 離散余弦變換（Discrete Cosine Transform， DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外， 它的變換陣的基向量能很好地描述人類(lèi)語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)的相關(guān)特征。因此，在對(duì)語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都把DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。 離散余弦變換DCT（Discrete Cosine Transform）是數(shù)碼率壓縮需要

2、常用的一個(gè)變換編碼方法。任何連續(xù)的實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)的付立葉變換中只含余弦項(xiàng)，因此余弦變換與付立葉變換一樣有明確的物理意義。DCT是先將整體圖像分成N*N像素塊，然后對(duì)N*N像素塊逐一進(jìn)行DCT變換。由于大多數(shù)圖像的高頻分量較小，相應(yīng)于圖像高頻分量的系數(shù)經(jīng)常為零，加上人眼對(duì)高頻成分的失真不太敏感，所以可用更粗的量化。因此，傳送變換系數(shù)的數(shù)碼率要大大小于傳送圖像像素所用的數(shù)碼率。到達(dá)接收端后通過(guò)反離散余弦變換回到樣值，雖然會(huì)有一定的失真，但人眼是可以接受的。一維離散余弦變換一維離散余弦變換 一維DCT的變換核定義為 NuxNuCuxg2) 12(cos2)(),(式中，x, u=0, 1, 2, , N

3、1； 其他1021)(uuC 一維DCT定義如下： 設(shè)f(x)|x=0, 1, , N-1為離散的信號(hào)列。 102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF式中，u, x=0, 1, 2, , N1。將變換式展開(kāi)整理后， 可以寫(xiě)成矩陣的形式， 即 F=Gf 其中 )2/) 12)(1cos()2/3)(1cos()2/) 1cos(/2)2/) 12cos()2/6cos()2/cos(/2)2/) 12cos()2/3cos()2/cos(/2111/1NNNNNNNNNNNNNNNNNNNG N=4時(shí)時(shí)271. 0653. 0653. 0271. 05 . 05 . 05 .

4、05 . 0653. 0271. 0271. 0653. 05 . 05 . 05 . 05 . 0 一維DCT的逆變換IDCT定義為 102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxf 式中， x, u=0, 1, 2, , N1。可見(jiàn)一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。 二維離散余弦變換二維離散余弦變換 考慮到兩個(gè)變量，很容易將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為 NvyMuxvCuCMNvuyxg2) 12(cos2) 12(cos)()(2),(式中，C(u)和C(v)的定義同前面；x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。

5、二維DCT定義如下：設(shè)f(x, y)為MN的數(shù)字圖像矩陣，則 NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 二維DCT逆變換定義如下： NvyMuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 類(lèi)似一維矩陣形式的DCT，可以寫(xiě)出二維DCT的矩陣形式如下： F=GfGT 同時(shí)，由上面的兩個(gè)式子可知二維DCT的逆

6、變換核與正變換核相同，且是可分離的，即 NvyvCNMuxuCMvyguxgvuyxg2) 12(cos)(22) 12(cos)(2),(),(),(21式中：C(u)和C(v)的定義同前； x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。 通常根據(jù)可分離性， 二維DCT可用兩次一維DCT來(lái)完成， 其算法流程與DFT類(lèi)似， 即 ),(),(),(),(),(),(),(vuFvuFvxFFvxFvxFyxfFyxfTTT轉(zhuǎn)置列轉(zhuǎn)置行 其中N是像塊的水平、垂直像素?cái)?shù)，一般取N=8。N大于8時(shí)效率增加不多而復(fù)雜性大為增加。8*8的二維數(shù)據(jù)塊經(jīng)DCT后變成8*8個(gè)變換

7、系數(shù)，這些系數(shù)都有明確的物理意義。譬如當(dāng)U=0，V=0時(shí)F(0，0)是原64個(gè)樣值的平均，相當(dāng)于直流分量，隨著U，V值增加，相應(yīng)系數(shù)分別代表逐步增加的水平空間頻率和垂直空間頻率分量的大小。當(dāng)我們先只考慮水平方向上一行數(shù)據(jù)（8個(gè)像素）的情況時(shí)，如圖1所示：可見(jiàn)圖像信號(hào)被分解成為直流成分；以及從低頻到高頻的各種余弦成分；而DCT系數(shù)只是表示了該種成分所占原圖像信號(hào)的份額大小；顯然，恢復(fù)圖像信息可以表示為這樣一個(gè)矩陣形式：F(n)=C(n)*E(n)式中E(n)是一個(gè)基底 ，C(n)是DCT系數(shù)，F(xiàn)(n)則是圖像信號(hào)。如果再考慮垂直方向上的變化，那么，就需要一個(gè)二維的基底，即該基底不僅要反映水平方向

8、頻率的變化；而且要反映垂直空間頻率的變化；對(duì)應(yīng)于8*8的像素塊；其空間基底如圖2所示：它是由64個(gè)像素值所組成的圖像，通常也稱(chēng)之為基本圖像。把它們稱(chēng)為基本圖像是因?yàn)樵陔x散余弦變換的反變換式中，任何像塊都可以表示成64個(gè)系數(shù)的不同大小的組合。既然基本圖像相當(dāng)于變換域中的單一的系數(shù)，那么任何像元也可以看成由64個(gè)不同幅度的基本圖像的組合。這與任何信號(hào)可以分解成基波和不同幅度的諧波的組合具有相同的物理意義。 例：例：56606159586059625759596157586059F原圖像為：原圖像為：DCTDCT變換變換236.254.51692.47491.56361.05920.17681.17

9、130.78031.76780.43872.251.71251.00310.28030.86780.1768D小波變換簡(jiǎn)介小波變換簡(jiǎn)介 小波變換的理論基礎(chǔ)小波變換的理論基礎(chǔ) 信號(hào)分析是為了獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時(shí)間的局部化信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換是通過(guò)縮放母小波（Mother wavelet）的寬度來(lái)獲得信號(hào)的頻率特征， 通過(guò)平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息。對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號(hào)之間的相關(guān)程度。 信號(hào)時(shí)頻分析的重要性： 時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量。 信號(hào)的時(shí)域和

10、頻域之間具有緊密的聯(lián)系。 Fourier變換（變換（FT）: 離散離散Fourier變換變換: 數(shù)字信號(hào)的離散數(shù)字信號(hào)的離散Fourier變換就是以數(shù)字變換就是以數(shù)字信號(hào)為系數(shù)的信號(hào)為系數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) dtetffti ikkf kf k e有限數(shù)字信號(hào)的 FT 正變換 逆變換 102NnNmnienxmX 1021NmNmniemXNnxFT在信號(hào)處理中的局限性 用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。 傅立葉變換沒(méi)有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。 在不少實(shí)際問(wèn)題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征, 例如： 在音樂(lè)信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么

11、樣的音符； 對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波； 圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析窗函數(shù)的舉例 Gaussian 函數(shù) 1短時(shí)Fourier變換 若 都是窗函數(shù)， 則短時(shí)Fourier變換定義為 短時(shí)Fourier變換也叫窗口Fourier變換 短時(shí)FT是說(shuō)明時(shí)頻局部化分析思想的很好例子 dtbtwetffGtib)( wtw, 令 ， 則短時(shí)FT為 可以證明 和 都是窗函數(shù)，其確定的矩形窗口為 短時(shí)FT同時(shí)給出了函數(shù)時(shí)域和頻域的信息 btwetWtib, ,21,)(bbbbWfWfdttWtffG www

12、wbtbt0000,bW,bWParseval 恒等式窗函數(shù) 的特點(diǎn)： 隨著 的變換，窗口在相空間不斷平移； 短時(shí)Fourier變換就是通過(guò)這些移動(dòng)的窗口來(lái)提取被變換函數(shù)的信息； 函數(shù)族 確定的時(shí)頻窗口只是隨 發(fā)生平移，窗口的大小和形狀固定不變.,bW,b,b,bW實(shí)際中信號(hào)分析的要求： 信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等，分析時(shí)對(duì)時(shí)域分辨率要求高，對(duì)頻域分辨率要求低。 信號(hào)低頻成分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的慢變成分，分析對(duì)時(shí)域分辨率要求低，對(duì)頻域分辨率要求高。 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWT） 像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過(guò)縮放和平移之后的

13、一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過(guò)縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。 下圖表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負(fù)無(wú)窮一直延續(xù)到正無(wú)窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測(cè)的， 而小波是一類(lèi)在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平均值為0， 小波趨于不規(guī)則、不對(duì)稱(chēng)。 連續(xù)小波函數(shù)定義： 設(shè) ，則下面的函數(shù)族 叫小波分析或連續(xù)小波， 叫基本小波或 小波。若 是窗函數(shù)，就叫為窗口小波 函數(shù)，一般我們恒假定 為窗口小波函數(shù)。 0012且LLba, abtatba21, 0,RaRb連續(xù)小波函數(shù)的性質(zhì) 如果 的中心及半徑分別為 ，則

14、確定的時(shí)頻窗口為：22,ba aeaibba,、0tba,aaaaabatabat0000, 連續(xù)小波函數(shù)窗口的“變焦”特性: 當(dāng)a變小時(shí)，時(shí)域觀察范圍變窄，但頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)； 當(dāng)a變大時(shí)，時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng). t窗口中心：窗口中心：時(shí)間窗半徑：時(shí)間窗半徑：頻率窗半徑：頻率窗半徑：窗口面積：窗口面積：abat00,aa4正弦波和小波（a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 (a)(b)一維連續(xù)小波的例子：Haar小波： others 01t1/2 1,-1/2t0 1,(t),一維連續(xù)小波的例子2. Mexico草

15、帽小波：2t -2412)t-(132(t)/e3. Morlet小波：2-ttj2(t)/ee 從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號(hào)，用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信號(hào)的局部特征。 連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( 上式表示小波變換是信號(hào)f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)。 一維

16、連續(xù)小波變換 定義定義1 設(shè) 是基本小波， 是其生成的連 續(xù)小波，對(duì) ，信號(hào) 的內(nèi)積形 式連續(xù)小波變換定義為ba,2Lf f dtabttfafbafWRba 21, 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡(jiǎn)單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖所示。 小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.25 (2) 平移。簡(jiǎn)單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上， 函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖所示。 小波的平移操

17、作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) Ot(t)Ot(t k)(a)(b) CWT計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟： 第一步： 取一個(gè)小波， 將其與原始信號(hào)的開(kāi)始一節(jié)進(jìn)行比較。 第二步： 計(jì)算數(shù)值C， C表示小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀。 第三步：向右移動(dòng)小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個(gè)信號(hào)，如所示。 第四步： 伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步， 如圖所示。 計(jì)算系數(shù)值C 原 始 信 號(hào)小 波 信 號(hào)C 0.0102計(jì)算平移后系數(shù)值C 原始信號(hào)小波信號(hào)計(jì)算尺度后系數(shù)值C 原始信號(hào)小波信號(hào)C0.2247 第五步：對(duì)于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。

18、 小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化，表示信號(hào)頻率越高；縮放因子scale越大， 表示小波越寬，度量的是信號(hào)的粗糙程度，表示信號(hào)頻率越低。 2. 離散小波變換（離散小波變換（DWT） 在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無(wú)用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j0且為整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算， 就會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱(chēng)為雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Transform），它

19、是離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 該方法是Mallat于1988年提出的，稱(chēng)為Mallat算法。這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法， 在數(shù)字信號(hào)處理中常稱(chēng)為雙通道子帶編碼。 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如所示。S表示原始的輸入信號(hào)， 通過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組， 其中一個(gè)濾波器為低通濾波 器 ， 通 過(guò) 該 濾 波 器 可 得 到 信 號(hào) 的 近 似 值 A （Approximations），另一個(gè)為高通濾波器， 通過(guò)該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值D（Detai

20、l）。 小波分解示意圖SAD濾波器組低通高通 在小波分析中，近似值是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量，而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣， 把高頻分量去掉后，聽(tīng)起來(lái)聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽(tīng)出說(shuō)的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽(tīng)不出來(lái)了。 由上圖可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹(shù)。原始信號(hào)經(jīng)過(guò)一對(duì)互補(bǔ)的濾波器組進(jìn)行的分解稱(chēng)為一級(jí)分解，信號(hào)的分解過(guò)程也可以不斷進(jìn)行下去，也就是說(shuō)可以進(jìn)行多級(jí)分解。如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解，而

21、對(duì)低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解，就可以得到信號(hào)不同分辨率下的低頻分量， 這也稱(chēng)為信號(hào)的多分辨率分析。如此進(jìn)行下去， 就會(huì)形成上圖所示的一棵比較大的分解樹(shù)， 稱(chēng)其為信號(hào)的小波分解樹(shù)（Wavelet Decomposition Tree）。實(shí)際中， 分解的級(jí)數(shù)取決于要分析的信號(hào)數(shù)據(jù)特征及用戶(hù)的具體需要。 多級(jí)信號(hào)分解示意圖（a） 信號(hào)分解； (b) 小波分?jǐn)?shù)； （c）小波分解樹(shù) cA3cD3cA2cD2SLo_DHi_DA1D1Lo_DHi_DA2D2Lo_DHi_DA3D3Lo_D：低通濾波器；Hi_D：高通濾波器(a)ScA1cD1(b)(c)ScA1cD1cA2cD2cA3cD3離散小波變換在圖像處

22、理中的應(yīng)用簡(jiǎn)介離散小波變換在圖像處理中的應(yīng)用簡(jiǎn)介 1. 用小波變換進(jìn)行圖像分解用小波變換進(jìn)行圖像分解 使用小波變換完成圖像分解的方法很多，例如，均勻分解（Uniform decomposition）、非均勻分解（Non-uniform decomposition）、八帶分解（Octave-band decomposition）、小波包分解（Wavelet-packer decomposition）等。其中八帶分解是使用最廣的一種分解方法，這種分解方法把低頻部分分解成比較窄的頻帶，而對(duì)每一級(jí)分解得到的高頻部分不再進(jìn)一步進(jìn)行分解。圖為八帶分解示意圖， 用于分解的原始圖像采用Matlab提供的預(yù)存圖像文件woman2.mat，小波基函數(shù)為“haar”小波。圖（c）是用Matlab的小波工具箱編程進(jìn)行分解得到的