江蘇南師附中等五校2013高三下期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研-數(shù)學(xué)

1、江蘇南師附中等五校2013高三下期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研- 數(shù)學(xué)試卷201302注意事項(xiàng)：1本試卷共4頁，包括填空題(第1題第14題)、解答題(第15題第20題)兩部分本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題卡的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上 1已知集合A=1,0,1, 2，B=x|x2x0，則AB= 2設(shè)a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù) (12i)(1ai) 是純虛數(shù)，則a的值是 3某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單

2、位：g）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知產(chǎn)品凈重的范圍是區(qū)間96，106，樣本中凈重在區(qū)間96，100)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)是24，則樣本中凈重在區(qū)間98，104)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)是 4如圖所示的流程圖的輸出S的值是 （第3題） （第4題）5若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具），先后拋擲兩次，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是 6 設(shè)k為實(shí)數(shù)，已知向量(1，2)，(3，2)，且(k)(3)，則k的值是 7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊在射線yx（x0）上，則sin5 8. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件， 則z2xy的最小值是 9已知雙曲

3、線1 (a0，b0) 的焦點(diǎn)到漸近線的距離是a，則雙曲線的離心率的值是 10在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c已知a2，3bsinC5csinBcosA0，則ABC面積的最大值是 11已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)增函數(shù)若f(1)f(lnx)，則x的取值范圍是 12若點(diǎn)P、Q分別在函數(shù)yex和函數(shù) ylnx的圖象上，則P、Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是 13已知一個(gè)數(shù)列只有21項(xiàng)，首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，其中任意連續(xù)三項(xiàng)a，b，c滿足b，則此數(shù)列的第15項(xiàng)是 14設(shè)a1，a2，an為正整數(shù)，其中至少有五個(gè)不同值. 若對(duì)于任意的i，j(1ijn)，存在k，l（kl，且異于

4、i與j）使得aiajakal，則n的最小值是 二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（本小題滿分14分）如圖，摩天輪的半徑為50 m，點(diǎn)O距地面的高度為60 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時(shí)刻t（min）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過85 m? (第15題) 16（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐PABCD中，PD面ABCD，ADBC，CD=13，AB=12，BC=10，AD BC. 點(diǎn)E、F分別是棱PB、邊CD的中點(diǎn)

5、. （1）求證：AB面PAD；（2）求證：EF面PAD. （ （第16題）17（本小題滿分14分）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售價(jià)格 (單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克（1）求a的值；（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價(jià)格x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：y1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、PB與直線l：y2分別交于點(diǎn)M、N.（1）設(shè)直線AP、PB

6、的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；（2）求線段MN長的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論（第18題） 19. （本小題滿分16分） 設(shè)非常數(shù)數(shù)列an滿足an+2，nN*，其中常數(shù)，均為非零實(shí)數(shù)，且 0.（1）證明：數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是20；（2）已知1， a11，a2，求證：數(shù)列| an1an1| (nN*，n2)與數(shù)列n (nN*)中沒有相同數(shù)值的項(xiàng).20. （本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镸，具有性質(zhì)P：對(duì)任意xM，都有f (x)f (x2)2f (x1).（1）若M為實(shí)數(shù)集R，是否存在函數(shù)f (x)a

7、x (a0且a1，xR) 具有性質(zhì)P，并說明理由；（2）若M為自然數(shù)集N，并滿足對(duì)任意xM，都有f (x)N. 記d(x)f (x1)f (x).() 求證：對(duì)任意xM，都有d(x1)d(x)且d(x)0；() 求證：存在整數(shù)0cd(1)及無窮多個(gè)正整數(shù)n，滿足d(n)c.20122013學(xué)年第二學(xué)期期初高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研 數(shù) 學(xué)（附加題） 2013.0221、【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A、（幾何證明選講選做題） 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點(diǎn)B，AC交圓O于點(diǎn)P，E為線段

8、BC的中點(diǎn)求證：OPPEB、（矩陣與變換選做題）已知M，N，設(shè)曲線ysinx在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程C、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線m的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；在以O(shè)為極點(diǎn)、射線Ox為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin8cos若直線m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長D、（不等式選做題）設(shè)x，y均為正數(shù)，且xy，求證：2x2y322、【必做題】 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，AB=AC=2，AA1=6，點(diǎn)E、F分別在棱BB1、CC1上，且BEBB1，C1FCC1.（1）求異面直線AE與A1 F所

9、成角的大??；（2）求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值. 23、【必做題】在數(shù)列an（nN*）中，已知a11，a2kak，a2k1(1)k+1ak，kN*. 記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.（1）求S5，S7的值；（2）求證：對(duì)任意nN*，Sn0.20122013學(xué)年第二學(xué)期期初高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研 數(shù)學(xué)參考答案一、 填空題：·1. 0, 1 2. 3. 60 4. 20 5. 6. 19 7. 8. 29. 10. 2 11. (0, )(e, ) 12. 13. 14. 13二、解答題：15. （1）解：設(shè)點(diǎn)P離地面的距離為y，則可令 yAsin(t)b. 由題設(shè)可知A50，b60.

10、2分又T3，所以，從而y50sin(t)60. 4分再由題設(shè)知t0時(shí)y10，代入y50sin(t)60，得sin1，從而. 6分因此，y6050cost (t0). 8分（2）要使點(diǎn)P距離地面超過85 m，則有y6050cost85，即cost. 10分于是由三角函數(shù)基本性質(zhì)推得t，即1t2. 12分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過85 m的時(shí)間有1分鐘. 14分16. 證明：（1）因?yàn)镻D面ABCD，所以PDAB. 2分在平面ABCD中，D作DM/AB，則由AB=12得DM=12.又BC=10，ADBC，則AD=5，從而CM=5.于是在CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，

11、則由及勾股定理逆定理得DMBC . 又DM/AB，BC/AD，所以ADAB.又PDADD，所以AB面PAD. 6分（2）證法一 取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)EN、FN.因?yàn)辄c(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，所以在ABP中，EN/PA. 又PAÌ面PAD，所以EN/面PAD. 8分因?yàn)辄c(diǎn)F分別是邊CD的中點(diǎn)，所以在梯形ABCD中，F(xiàn)N/AD. 又ADÌ面PAD，所以FN/面PAD. 10分又ENFNN，PADAA，所以面EFN/面PAD. 12分又EFÌ面EFN，則EF/面PAD. 14分 證法二 延長CD，BA交于點(diǎn)G. 連接PG，EG，EG與PA交于點(diǎn)Q. 由題設(shè)ADBC，且AD B

12、C，所以CDDG，BAAG，即點(diǎn)A為BG的中點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，所以EA為BPG的中位線，即EAPG，且EA:PG1:2，故有EA:PGEQ:QG1:2. 10分又F是邊CD的中點(diǎn)，并由CDDG，則有FD:DG1:2. 12分在GFE中，由于EQ:QG1:2，F(xiàn)D:DG1:2，所以EFDQ. 又EFË面PAD，而DQÌ面PAD，所以EF面PAD. 14分17. 解：（1）由題設(shè)知x5時(shí)y11，則1110(56)，解得a2. 3分（2）由（1）知該商品每日的銷售量y10(x6)，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3) 10(x6)210(x3) (x6

13、)，3x6. 6分對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f (x)10(x6)2(x3)(x6)30(x4)(x6)令f (x)0及3x6，解得x4 10分當(dāng)3x4時(shí)，f (x)0，當(dāng)4x6時(shí)，f (x)0，于是有函數(shù)f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當(dāng)x4時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值f(4)42. 13分答：當(dāng)銷售價(jià)格x4時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.14分18. 解：（1）由題設(shè)y1可知，點(diǎn)A(0，1)，B(0，1).令P(x0，y0)，則由題設(shè)可知x00. 所以，直線AP的斜率k1，PB的斜率為k2. 2分又點(diǎn)P在橢圓上，所以（x00），從而有k1·k2.

14、 4分（2）由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y1k1(x0)，直線PB的方程為y(1)k2(x0).由，解得；由，解得. 所以，直線AP與直線l的交點(diǎn)，直線PB與直線l的交點(diǎn). 7分 于是，又k1·k2，所以24， 等號(hào)成立的條件是，解得.故線段MN長的最小值是4. 10分（3）設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則·0，故有. 又，所以以MN為直徑的圓的方程為. 13分令，解得或.所以，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)（或點(diǎn)）16分注：寫出一點(diǎn)的坐標(biāo)即可得分.19. （1）解：已知數(shù)列，.充分性：若，則有，得，所以為等差數(shù)列. 4分必要性：若為非常數(shù)等差數(shù)列，可令(k0).

15、 代入，得.化簡得，即. 因此，數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是20. 8分（2）由已知得. 10分又因?yàn)椋芍獢?shù)列(nN*)為等比數(shù)列，所以 (nN*).從而有n2時(shí)， ，.于是由上述兩式，得 （）. 12分由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，對(duì)于任意n2，| an1an1|··.所以，數(shù)列中項(xiàng)均小于等于.而對(duì)于任意的n1時(shí)，n1，所以數(shù)列n(nN*)中項(xiàng)均大于.因此，數(shù)列與數(shù)列n(nN*)中沒有相同數(shù)值的項(xiàng).16分20證明：（1）因f (x)ax (a0且a1)，所以ax ax+2，即f (x)f (x2). 2分由題設(shè)以及算術(shù)平均與幾何平均不等式，得f (x)f (x2)axax+

16、222 ax+12 f (x1)，這與f (x)f (x2)2f (x1)矛盾.故不存在函數(shù)f (x)ax(a0且a1)滿足性質(zhì)P. 4分（2）()由題設(shè)對(duì)任意，f (x)f (x2)2f (x1)，所以f(x2)f(x1)f(x1)f(x). 于是對(duì)任意xN，d(x1)d(x). 6分下面用反證法證明：對(duì)任意xN，d(x)0.假設(shè)存在某個(gè)非負(fù)整數(shù)k使d(k)0，則由題設(shè)對(duì)任意xN，f(x)N，得d(x)Z，于是有d(k)1. 8分由任意xN，d(x1)d(x)，所以1d(k)d(k1)d(k2)d(kn).，這里n是自然數(shù). 于是有d(kn)d(k(n1)d(k(n2)d(k)(n1) d(

17、k)(n1)×(1).而d(kn)d(k(n1)d(k(n2)d(k)f (kn1)f (k)，所以f (kn1)f (k)(n1).取nf (k)，得f (kf (k)1)f (k)1f (k)1，這與f (kf (k)1)N矛盾.因此，必有對(duì)任意xN，d(x)0. 12分()由()可知 d(1)d(2)d(3)d(n)0.當(dāng)d(1)0時(shí)，則有d(1)d(2)d(3)d(n)0，結(jié)論成立.當(dāng)d(1)0時(shí)，對(duì)任意nN，有d(n) N，且d(n) 0, d(1). 因?yàn)樵趨^(qū)間0, d(1)上的自然數(shù)只有有限個(gè)，而落在此區(qū)間上的自然數(shù)d(n)有無數(shù)多個(gè)，所以，必存在自然數(shù)c0, d(1)

18、和無窮多個(gè)正整數(shù)n，滿足d (n)c. 16分【附加題答案】21.A. 解：因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以APB90°，從而BPC90° 2分在BPC中，因?yàn)镋是邊BC的中點(diǎn)，所以BEEC，從而BEEP，因此13 5分 又因?yàn)锽、P為圓O上的點(diǎn)，所以O(shè)BOP，從而2 4 7分因?yàn)锽C切圓O于點(diǎn)B，所以ABC90°，即1+2=90°，從而3+4=90°，于是OPE90° 9分 所以O(shè)PPE 10分B. 解：由題設(shè)得. 4分設(shè)所求曲線F上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則MN，解得 . 7分把代入，化簡得.所以，曲線F的方程為. 10分C. 解：直線m的普通方程為. 2分曲線C的普通方程為. 4分由題設(shè)直線m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，可令,.聯(lián)立方程，解得，則有，. 7分于是.故 . 10分D 證明：由題設(shè)x0，y0，xy，可得xy0. 2