拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現(xiàn)實應用當中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。 拉格朗日中值定理是所有的微分中值定 理當中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過程都顯示出了數(shù)學當中的一個定理的發(fā) 展是一個推翻陳舊，出現(xiàn)創(chuàng)新的一個進程。發(fā)現(xiàn)一些新的簡單的定理去替代舊的 復雜的定理，就是由初級走向高級。用現(xiàn)代的語言來描述，在一個自變量 x從X變?yōu)閄+1的過程中，如果函數(shù) f(x)本身就是一個極限值，那么函數(shù) f(x+1)的值也應該是一個極限值，其值就 應該和f(x)的值近似相等，即-"

2、;這就是非常著名的費馬定律，當一個函數(shù)在x=a處可以取得極值，并且函數(shù)是可導函數(shù)，貝U |f' (x)二0。著名學者費馬再給出上述定理時，此時的微積分研究理論正處于初始階段，并沒有很成熟的概念，沒有對函數(shù)是否連續(xù)或者可 導作出限制，因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。 最初的拉 格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的， 最初的定理是函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)任取兩點ko和劇，并且函數(shù)f(x)在此閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，的最大值為A, fX)最小值為B,貝U1的值必須是A和B之間的一個值。這是拉格朗日定

3、理最初的證明。下述就是拉格朗日中值定理所要求滿足的條件。如果存在一個函數(shù)滿足下面兩個條件，(1)函數(shù)f在閉區(qū)間a，b上連續(xù);(2)函數(shù)f在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導；那么這個函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少存在著使得拉格朗日中值定理是導數(shù)的一個延伸概念，在導數(shù)運算中是的很基本概念。f(x) = 2x2 - 8,即 f (x)二 4恥當x在幵區(qū)間0, + 8時，有fix)> 0. f(x)在開區(qū)間(0. +8單調(diào)遞增二當疋在開區(qū)間(-吟0)時，Wf 00 < 0.f(x)在開區(qū)間(-,0)單調(diào)遞減。在X = 0* flf (0)二 Os f(0) =- &由上述例子說明，想要確定一個函數(shù)的單

4、調(diào)性可以通過求得這個函數(shù)的一階 導數(shù)來求得判斷單調(diào)區(qū)間。當一個函數(shù)在某個確定的區(qū)間內(nèi)，存在著f (x) >f(x)在這個確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；0(x) < 0, f(x)在這個確定的區(qū)間內(nèi)址單調(diào)遞減的。在F(0)二0時，那么這一 點就是這個函數(shù)的極值點。在例1中，當1<x<3，罵；二8二，這就 是拉格朗日中值定理最簡單的形式。在拉格朗日中值定理中，有兩個要求條件，一個是在一個閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，一 個是在相同期間開區(qū)間可導，不滿足這兩個條件，拉格朗日中值定理在此種情況 下是沒有意義的。例2:函數(shù)f(對二 占，這個函數(shù)的區(qū)間0,2?？梢钥闯鲞@個函數(shù)在區(qū)間0,2上是不連續(xù)的，丨這

5、個值是不存在的，因 此這個函數(shù)在此區(qū)間上面是不連續(xù)的這個函數(shù)在此閉區(qū)間0,2上是不可導的，根據(jù)可導函數(shù)的計算方法可以得到1f-f(0)5= 2-0 = 1又 內(nèi)是不可導的。，這種情況下x的值是不存在的，所以這個函數(shù)在此區(qū)間二拉格朗日中值定理的證明在微積分相關(guān)知識的教材上面，一般情況下在證明拉格朗日中值定理時， 經(jīng) 常采用羅爾定理來證明，證明過程中根據(jù)題意構(gòu)建出一個輔助函數(shù)來證明定理。在歷史長河中，學者們在對拉格朗日中值定理進行證明的時候最主要的的有 四種方法。最開始的一種證明方法出現(xiàn)在著作名為解析函數(shù)論一書中。這個 證明相對來說是比較直觀的，它是以這樣一個概念為基礎證明的：當導數(shù)0(X)>

6、;0時，在一個固定區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增的；反之，貝U單調(diào)遞減。禾I用微積分中 的求導方法去確定一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法。并且，此時對拉格朗日定理應用要求在一個閉區(qū)間中是連續(xù)的，也要求在此相同閉區(qū)間可導。假設一個變量在區(qū) 間內(nèi)連續(xù)的變化，那么這個變量相應的函數(shù)也會隨著變化的變化而發(fā)生變化，有無數(shù)的中間值在兩個值之間。在19世紀初時，微積分發(fā)生了很大的變化，柯西等數(shù)學家在此做出了很大 的貢獻，人們對函數(shù)進行了很嚴格的定義，極限、連續(xù)和導數(shù)。在此基礎上又給 拉格朗日中值定理提出了新的嚴謹?shù)淖C明。在19世紀初，學者們對于微分學的系統(tǒng)性定理的詳細研究就拉開了序幕。因為拉格朗日中值定理在微分學中有著相 當重

7、要的地位，所以，歷來學者們都對拉格朗日中值定理的研究十分重視，學者們對拉格朗日中值定理的相關(guān)研究也是非常多的。比如在歷史上，許多學者都提出了對于拉格朗日中值定理的證明的方法。在歷史長河中，學者們提出的關(guān)于拉格朗日中值定理的證明方式主要有四種方式。 第一種方式，通過利用羅爾定理去 構(gòu)建一個中間函數(shù)去證明。第二種方式，根據(jù)先決條件，去建立一個相對更加廣 泛的中值定理，然后在縮小范圍去證明。第三種形式，是充分利用積分和在證明 過程中不會導致循環(huán)去證明一個知識點的其他的微積分定理去證明拉格朗日中 值定理。第四種形式時，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的區(qū)間，然后采用屬于實數(shù)方面的區(qū)間套理論去證明。在柯

8、西的著名著作無窮小計算概論中這樣對拉格朗日中值定理進行了證 明：如果一個導數(shù)卜譏'；|在閉區(qū)間a,b內(nèi)是連續(xù)的，則在這個閉區(qū)間a,b內(nèi)至 少存在著一點g ,使得F (1)二黑譽，使f( g)=0。然后在羅爾定理基礎上 對拉格朗日中值定理進行重新的證明?？挛鞫ɡ硎侵福杭僭O 爐歡m與函數(shù)時厠在閉區(qū)間a,b內(nèi)都是連續(xù)的，在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)都是可導的，并且|小幻在區(qū)間® b)內(nèi)不等于0,這是對于在區(qū) 間(a,b)內(nèi)的一點I-.-., |使得f(b)-f (a)F(b)-F(a)一 F( g )對柯西定理的證明和對拉格朗日中值定理的證明兩種方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微積

9、分中都占到了非常重要的位置。 利用拉格朗日中值定理 在求解函數(shù)時，給洛必達法則的運用給以嚴格的證明， 是研究函數(shù)中最重要的數(shù) 學工具之一。我們知道羅爾定理：存在著一個函數(shù)在閉區(qū)間a,b上是連續(xù)的，在開區(qū)間(a,b )上是可導的，并且這個函數(shù)在此開區(qū)間(a,b )內(nèi)的兩個端點值是相等的，即代且)二f(W，那么在這個開區(qū)間(a,b )內(nèi)至少存在著一點|g，使得f(g )=0比較拉格朗日中值定理和羅爾定理，可以看出羅爾定理條件中要求兩個端點 值相等，但是拉格朗日中值定理不要求兩個端點值相等。因此，如果想要用羅爾定理還證明，那么就應該構(gòu)建一個端點函數(shù)值相等的函數(shù)。證明一：利用羅爾中值定理，構(gòu)建出一個中

10、間的輔助函數(shù)做出一個輔助函數(shù)，F(xiàn)O)二fd) - fJ -瞥乎仗呂)從上式容易看出，函數(shù).在閉區(qū)間a,b上面顯然是連續(xù)函數(shù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是可導函數(shù)，且F(a)二F(b) = 0,此時，根據(jù)羅爾定理可以得到，在此函數(shù)上面至少在區(qū)間(a,b)上存在一點g ,使得)=0,貝蹴可以得到f(b)o在對拉格朗日中值定理的進行證明的過程中， 一般都采用構(gòu)建中間的輔助函 數(shù)來證明，充分利用羅爾定理。還可以構(gòu)建下面這種形式的輔助函數(shù)來充分證明。首先，令黑丫 二t,證明：在開區(qū)間(a,b )范圍內(nèi)至少存在著一個點|g， 使.=t。證明：由于代：曲二上，可以求得|f- lb 1(a)-詒觀察式，可以看出等式

11、兩邊的形式都是FGO - f(x) - tx假設遞數(shù)F(衛(wèi)在閉區(qū)間爲b上廷續(xù)并且在開區(qū)間& b)內(nèi)可導夬在卩=l?(b)時。根據(jù)羅爾定理可以得到，該函數(shù)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少存在著 一點.，使得， I ''|I:|式，就能夠得到結(jié)論廠(0二曙:叫證明二：利用微積分中的基本定理來證明先構(gòu)建一個積分上限函數(shù)，(X)二(b - a) - f(b) - f(Q池， 此時x存在于閉區(qū)間a,b內(nèi)。根據(jù)微積分的基本定理可得知，lx)二F(tJ(b - a) f(b) - ffe)J顯然，|E(k)在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)1 巴-=0，此時利用羅爾定理可以得到，

12、在(也b)內(nèi)至少存在著點便得曲代)=0，那 么可以 得到， f(n(b - a) - i(b)- f(a)i二o,所以得到結(jié)論fm =畀匚嚴。三拉格朗日中值定理在極限中的應用在學者們對微分中值定理的研究當中，經(jīng)歷了前后幾百年的時間，由費馬提出費馬定理開始，經(jīng)歷了從簡單到復雜，從特殊情況到一般情況，從簡單的概念 到復雜的概念這樣的發(fā)展階段。在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的 延伸又銜接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函數(shù)的進 程中有著非常重要的作用。在數(shù)學知識應用當中，拉格朗日中值定理是對函數(shù)研 究的一個重要工具，并且有著十分廣泛的應用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾種情

13、況，比如在求導極限定理、求函數(shù)極限、證明不等式、說明函數(shù)單調(diào)性、討論方 程的根是否存在的情況和對導數(shù)估值等，它在解決數(shù)學問題時通常將問題從難化 簡，對解決難題起到很好的作用。本文著重講述的是拉格朗日中值定理在極限當 中的應用。例3:求極限解：觀察上式可以看出，先令f二這個函數(shù)在閉區(qū)間cosx,x或者x,cosx 上根據(jù)拉格朗日中值定理可以得到二廠。X 二 CCSX在兀-*0時，芒皿藍一1，可以得到此時I V 4U . _由式可以得到X i 二，有此式子推出£ - X二譽幅X _ C0SA，那盜-cqsx么這個式子就能讓我們聯(lián)想到在上文證明拉格朗日中值定理時候出現(xiàn)的式子，然后根據(jù)上文中

14、的步驟求證明該函數(shù)。令1,可以把這個式子COSX看作是函數(shù).在點x和點cosx這兩點，即F( g )F&) - FUasx)x - GOBA例4:求解此題和例3的情況是類似的，我們先將此式子的分子加上一個 護，然后再減丟一個寸。如,Xa -ax-卍-aa +au -att - ax寸-十a(chǎn)Xa -xaXti - Xa - x此時，容易看出應該構(gòu)建的函數(shù)的形式，令 f(t) = g(r) - ta，假設這 兩個函數(shù)都在閉區(qū)間a,t或者t,a上連續(xù)并且在相同開區(qū)間上面可導的， 并且 這兩個函數(shù)的兩個端點值都分別相等， 就是滿足拉格朗日中值定理的條件， 這是 就分別存在著兩個點u，g在x和a

15、之間，當x-a時，有P 創(chuàng)g n得aA(lna - 1)例5：sin (sinx) tHti11 ： taJix 1 出皿-'此例題與例4是非常類似的題目，根據(jù)例4的解題方法，先將分子加一項再 減一項。sin (sinx) - tail (tarix)十 tan (sinx) 一 tad.r'J(siiix)S111X - Xsin(sinx) - tdik 'Ksinx Lail (sinx) - tmi .(tanx)二:+ :Sinn - x3IA5 - x此時，令：|' I |- - - I . |，假設函數(shù)f(t)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，在這種

16、情況下求解這個題目，,.> sinx - t«uix * sin t - tauLJt原式 二 JSecU sinx -f -上式接著推算，根據(jù)洛必達法則計算如下llJlsinx - tarixsinx - k1 imlQsoc t - cost11=6在此題這種情況下，首先就要想到構(gòu)建一個中間函數(shù)去簡化題目。 先構(gòu)造一 個中間的輔助函數(shù)，然后再根據(jù)拉格朗日中值定理的一般形式去求解題目。在解決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因， 在現(xiàn)目前大多數(shù)微積分的相 關(guān)教材中，在解決類型問題時多采用構(gòu)建中間函數(shù)運用羅爾定理解決問題。在面對一些題目時，這些函數(shù)有可能并不滿足拉格朗日中值定理的

17、條件， 需要去構(gòu)建 一個中間函數(shù)，去滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 然后將構(gòu)建的這一函數(shù)與 原函數(shù)緊密聯(lián)系起來，再將構(gòu)建的函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)，從而根據(jù)拉格朗日中值定 理的原理去求解題目。0例題3和例題4、例5是一種類型的題目，都是極限形式為£的未定式，就可 以想到需要構(gòu)建一個中間函數(shù)，此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 然后 對函數(shù)采用拉格朗日中值定理的方法去解決問題。例6:存在函數(shù)f (幻是連續(xù)的并且有j '滿足下列式子解：根據(jù)拉格朗日中值定理可以由式子可以計算出函數(shù) f (耳)在閉區(qū)間b,b+x 或者b+x,b的拉格朗日中值定理的形式二mx),繼上式可以推得 f(b

18、UX)= f +H 1 U X)(0 < 口 D。將這個結(jié)果帶入式子可以計算得出二 _.：: .：' 一: ./ :. .! ./ 根據(jù)泰勒展開公式把這個函數(shù)卜嚇譏展開，可以得到f(h 十 x)二 f(b) + xfh (b十護f (b 勺 Uqx)由式子可以綜合計算得到，U f八(b 十 U M IX)= -f (b + M 2X) £然后求極限，所以岀訃=:例6這種題目沒有給出函數(shù)的具體形式，這種時候應該想到首先一個函數(shù)滿 足拉格朗日中值定理的需求條件，去簡化題目，在不用函數(shù)具體形式時仍然可以 求解題目，利用構(gòu)建的中間函數(shù)，運用泰勒展開公式得到函數(shù)的展開式， 然后綜

19、 合計算得到答案。例7:求解函數(shù)二Bx-0 c， 1(c >且(c云0)1,求解!吧話解：這個例題中有多種形式的函數(shù)，求解這種題目應該想到將函數(shù)形式統(tǒng)一將題 目簡化求解。令g(t)二芒，當t工0時，可以明顯看出這個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日 中值定理的需求條件，因此在這個區(qū)間內(nèi)至少存在一個值 g使得,1 二 cfln c)x->xlnc可以得到處-l->xlnc然后再令： I ,顯然這個函數(shù)在閉區(qū)間0,'或者閉區(qū)間sinx熙:內(nèi)是滿足拉格朗日中值定理需求條件，因此在這個區(qū)間內(nèi)至少存在著一個值ill(0 If(x)si Iix,f r(K)Ya? 又+巫就可以求出1 B

20、二 liin Incx-fl w)I m-x-=Blue例7這種類型的題目，題中給出一個函數(shù)的答案，求解另外一個函數(shù)的答案, 遇到這種題目，就應該主要根據(jù)題中給出的函數(shù)， 將這個函數(shù)化解成為所求函數(shù) 相類似的形式，簡化題目求出答案。例&假設函數(shù)eosf(x) - cosh求解函數(shù)解：此題和上面的例題是類似題目，根據(jù)上題解題方法，先化解給出函數(shù)。從給 出的函數(shù)就可以知道函數(shù)的分子是在的情況下是等于0的，所以分母在這種情況下也應該為0,那么在x的情況下，.。這就說明這個函數(shù)在c這一點是連續(xù)的。令h(L)二cost，當f(x)豐呂時，這個函數(shù)在閉區(qū)間a,f(x) 或者閉區(qū)間f(x),a上已經(jīng)

21、滿足了拉格朗日中值定理的需求條件，而且在此區(qū)間內(nèi)至少著存cosfCx) 一 cos alim在一個點E，使得(f(x) - ajsin Klim - Bsinam c - x例7和例8都是根據(jù)題目給出的函數(shù)進行計算，去推導所求的的函數(shù)，在推導過程中去求解，簡化了題目，如果計算時，是根據(jù)給出題目單獨求解出fix）的取值，直接把題目復雜化。例9求出函數(shù)極限丿判白辰氓5（黑亠D - Mar亦awd。解：此題目是典型的極限形式為- 0型，在此我們應該先應用洛必達法則去求 解。但是在計算過程中會發(fā)現(xiàn)，運用洛必達法則去求解這個函數(shù)會十分復雜，因此我們會發(fā)現(xiàn)丨. 一 I I ' I -這個形式剛好可

22、以看作是函數(shù)在此閉區(qū)間x,x+1上面的兩個端點值的差值，所以我們能夠運用拉格朗日中值定理去求解這道題目。首先，我們先建立一個輔助函數(shù)（ '.匚:Taj：，然后再求解。令IrLm:，此函數(shù)在閉區(qū)間x,x+1上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點在此閉區(qū)間上面。1 1Iiiaictantx1） - Inarctaiix 二 * :arctan g斗 g 丄因為點赳杲在此閉區(qū)間x,x+1內(nèi)的一點，所以k g，蠱+ 1，可以得到_- > > J1 心 1 1 J I （1 X）2fHF那么在時，一I則出）工出訐+乳二出I I廠1，通過夾逼定理就可以知道X丄丄血;二

23、1所 以， 根 據(jù)上 面 的 計 算， 原 函 數(shù)工'11X*2-覽莎石r *-覽丘的出j十小-頁?？梢?，在遇到這種典型極限形式為衛(wèi)-o型時，如果采用洛必達法則反而更 加麻煩的時候，應該多觀察題目是否可以運用拉格朗日中值定理來求解題目，簡化題目，接下來看一個類似的例題。. ab例10:求解極限即I -時1 -點（a,b>0）。解：此題也是一種典型極限形式為8.8型，一般這種情況下，我們都會先采 用洛必達法則求解，但是這道題目和例9一樣，運用洛必達法則只會使題目更加 復雜化，此時，我們觀察題目可以看出和例9類似，可以運用拉格朗日中值定理 來求解題目。首先，我們先假設一個輔助函數(shù) f

24、（兒y） - 土。令fD =此函數(shù)在區(qū)間上面滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此 把點a,b當做是在區(qū)間里面的兩個取值，因此利用拉格朗日中值定理求解。ab”十 lnx7-7 -3 -亍，其中g(shù)這個值在a與b之間的值，.ab 、1 -+ 4AinK所以，原式出（口 - 口 =血b）（二；尸= -町& - b|2可以看出，雖然這種題目也采用了洛必達法則，但是在使用洛必達法則之前， 先采用拉格朗日中值定理將題目簡化，會讓計算過程中的復雜度減小了。因此， 在面對上面兩種情況下去求極限， 先觀察題目，如果題目中很容易就可以構(gòu)建出 一個函數(shù)，并且構(gòu)建的這個函數(shù)剛好滿足拉格朗日中值定理的需求條件，就

25、可以采用拉格朗日中值定理去求解題目， 先將極限轉(zhuǎn)化，再去求解函數(shù)。這會與直接 用洛必達法則求解有不同的效果，簡化題目。這就是平時我們做題之前要先觀察 題目的必要性。同時，這種類型的題目告訴我們，在我們面對復雜的多元函數(shù)的 題目時，可以對其中一個合適的變量采用拉格朗日中值定理，然后其他的變量就看做常數(shù)，使計算過程更為簡便。例11:求解函數(shù)1 im (.x'S解：通過觀察，很容易就發(fā)現(xiàn)這道題目應該采用拉格朗日中值定理，先構(gòu)建一個輔助函數(shù)，可以看出的是決7朕就是。所以，令 ，很明顯這個函數(shù)在閉區(qū)間 吟召內(nèi)是連續(xù)的，并且在該區(qū)間此函數(shù)滿足拉格朗日 中值定理的需求條件，利用拉格朗日中值定理可以得出，- / m -并且其中， l此時，原式lim (an -且丙)=lim Ina t - ry?)X 3X * 05lioiIna 二 Ina11 - n<n Ua上述例題就是典