排列組合中涂色問(wèn)題常見(jiàn)方法及策略

1、排列組合中涂色問(wèn)題的常見(jiàn)方法及策略與涂色問(wèn)題有關(guān)的試題新穎有趣 , 其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問(wèn)題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，故這類(lèi)問(wèn)題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問(wèn)題與觀(guān)察問(wèn)題的能力，有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力。本專(zhuān)題總結(jié)涂色問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解方法。一、區(qū)域涂色問(wèn)題1、 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問(wèn)題的基本方法。例 1、 用 5 種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號(hào)區(qū)域涂色有5 種方法，再給號(hào)涂色有4 種方法，接著給號(hào)涂色方法有 3 種，由于號(hào)與、不相鄰，因此號(hào)有4 種涂法，根據(jù)分步計(jì)

2、數(shù)原理，不同的涂色方法有 5 43 42402、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例 2、（ 2003 江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的6 個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色。分析：依題意只能選用4 種顏色，要分四類(lèi)：（ 1）與同色、與同色，則有A44；4（ 2）與同色、與同色，則有A4 ；（ 3）與同色、與同色，則有A44 ；（ 4）與同色、與同色，則有A44 ；（ 5）與同色、與同色，則有A44 ；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5 A44=120例 3、（2003年全國(guó)高考題）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要

3、求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3 種顏色1)當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2 與 4 必須同色，22)區(qū)域 3 與 5 必須同色，故有A43 種；153.43)當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域2 與 4同色，4)則區(qū)域 3 與 5 不同色，有 A44種；若區(qū)域3 與 5 同色，則區(qū)域2與 4不同色，有 A44種，故用四種顏色時(shí)共有2 A44種。由加法原理可知滿(mǎn)足題意的著色方法共有 A43+2 A44=24+224=723、 根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類(lèi)討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂

4、色方法總數(shù)。例 4 用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問(wèn)題分為三類(lèi)：21A54（ 1）四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為；（ 2）有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，即只34有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為2C51 A42 ；5) 兩組對(duì)角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A52 ，因此，所求的涂法種數(shù)為A522C51 A42A522604、根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類(lèi)分類(lèi)例 5 如圖， 6 個(gè)扇形區(qū)域 A、 B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6 個(gè)區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的

5、兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇C解（ 1）當(dāng)相間區(qū)域 A、 C、 E 著同一種顏色時(shí)，BD有 4 種著色方法，此時(shí)， B、 D、 F 各有 3 種著色方法，A此時(shí)， B、 D、 F 各有 3 種著色方法故有 4 333108E種方法。F（ 2）當(dāng)相間區(qū)域 A、 C、E 著色兩不同的顏色時(shí)，有C32 A42 種著色方法，此時(shí)B、D、F有32 2 種著色方法，故共有C32 A42322432種著色方法。（ 3）當(dāng)相間區(qū)域 A、 C、 E 著三種不同的顏色時(shí)有A43種著色方法，此時(shí)B、D、F 各有 2 種著色方法。此時(shí)共有 A43222 192 種方法。.故總計(jì)有108+43

6、2+192=732 種方法。說(shuō)明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問(wèn)題還可以用數(shù)列中的遞推公來(lái)解決。二、點(diǎn)的涂色問(wèn)題方法有：（ 1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類(lèi)討論（ 2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類(lèi)討論，（ 3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。例 6、將一個(gè)四棱錐 S ABCD 的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有 5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一 ：滿(mǎn)足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（ 1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn) S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂 A、B、C、D 四點(diǎn)，此時(shí)只能 A 與 C、B 與 D分別同色，故有 C51A4

7、260種方法。（ 2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A 與 B，由于 A、 B 顏色可以交換，故有 A42 種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染D或 C，而 D與 C，而 D 與 C 中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有C51 A42 C21C21240 種方法。（ 3）若恰用五種顏色染色，有A55120種染色法綜上所知，滿(mǎn)足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420 種。解法二 ：設(shè)想染色按SA B CD 的順序進(jìn)行，對(duì) S、 A、B 染色，有 5 4 3 60 種染色方法。由于 C 點(diǎn)的顏色可能與A 同色或不同色， 這影

8、響到 D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類(lèi)討論：C 與 A 同色時(shí)（此時(shí) C對(duì)顏色的選取方法唯一） ， D 應(yīng)與 A（ C）、 S 不同色，有 3 種選擇； C 與 A 不同色時(shí)， C 有 2 種選擇的顏色， D 也有 2 種顏色可供選擇，從而對(duì)C、D 染色有 13227 種染色方法。D由乘法原理，總的染色方法是 60 7 420A解法三 ：可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問(wèn)題：如圖，S對(duì)這五個(gè)區(qū)域用5 種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？BC解答略。三、線(xiàn)段涂色問(wèn)題對(duì)線(xiàn)段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線(xiàn)段依次涂色，.主要方法有：（ 1）根據(jù)共用了多少顏色分類(lèi)討論（ 2）根據(jù)相對(duì)線(xiàn)段是否同色分類(lèi)討論。例 7、

9、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一 ：（ 1）使用四顏色共有 A44 種（ 2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對(duì)邊染成同色，故有C41C21 A32種，（ 3）使用二種顏色時(shí)，則兩組對(duì)邊必須分別同色，有A42種因此，所求的染色方法數(shù)為A44C41C21 A32A4284 種解法二 ：涂色按 AB BCCD DA的順序進(jìn)行，對(duì)AB、 BC涂色有 4 3 12 種涂色方法。由于 CD的顏色可能與 AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類(lèi)討論：當(dāng) CD與 AB同色時(shí)，這時(shí)C

10、D對(duì)顏色的選取方法唯一，則DA有 3 種顏色可供選當(dāng) CD與 AB不同色時(shí)， CD有兩種可供選擇的顏色， DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對(duì) CD、 DA涂色有 1 3 2 2 7 種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為12784種例 8、用六種顏色給正四面體ABCD 的每條棱染色， 要求每條棱只染一種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問(wèn)有多少種不同的涂色方法？解：（ 1）若恰用三種顏色涂色，則每組對(duì)棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有 A63 種方法。（ 2）若恰用四種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有二組對(duì)棱的組內(nèi)對(duì)棱涂同色，但組與組之間不同色，故有 C63 A64 種方法。（ 3）若恰用五種

11、顏色涂色，則三組對(duì)棱中有一組對(duì)棱涂同一種顏色，故有C31 A65 種方法。（ 4）若恰用六種顏色涂色，則有A66 種不同的方法。綜上，滿(mǎn)足題意的總的染色方法數(shù)為A3C 2 A4C1 A5A64080 種。636366四、面涂色問(wèn)題對(duì)線(xiàn)段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線(xiàn)段依次涂色，主要方法有：按色數(shù)來(lái)分例 9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的6 個(gè)面涂色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？.分析：顯然，至少需要3 三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類(lèi)、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類(lèi)討論（ 1）用了六種顏色，確定某種

12、顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5 種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4 種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余3 個(gè)面有 3！種涂色方案，根據(jù)乘法原理n153!30（ 2）共用五種顏色， 選定五種顏色有C 656 種方法， 必有兩面同色 （必為相對(duì)面） ，確定為上、下底面，其顏色可有5 種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時(shí)的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3 種選擇（前后面可通過(guò)翻轉(zhuǎn)交換）n2C 655390(3) 共用四種顏色 , 仿上分析可得n3C 64 C4290(4) 共用三種顏色 , n4 C 63 20例 10、四棱錐 P ABCD ，用 4 種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，

13、要求相鄰不同色，有多少種涂法？P125D34CAB解：這種面的涂色問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問(wèn)題，如右圖，區(qū)域1、2、3、 4 相當(dāng)于四個(gè)側(cè)面，區(qū)域5 相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類(lèi)：（ 1）最少要用3 種顏色，即1 與 3 同色、 2 與 4 同色，此時(shí)有A43 種；（ 2）當(dāng)用 4 種顏色時(shí)，1 與 3 同色、2 與 4 兩組中只能有一組同色，此時(shí)有 C 12 A44 ；故滿(mǎn)足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為A43C12 A4472環(huán)形問(wèn)題的解決.如：如圖，把一個(gè)圓分成n(n 2) 個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、白、藍(lán)、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？A1A2解：設(shè)分成n 個(gè)扇形時(shí)染色方法為 an 種A3AnA3（ 1）2A4當(dāng) n=2 時(shí) A1 、 A2 有 A4 =12 種，即 a2 =12（ 2）當(dāng)分成 n 個(gè)扇形，如圖， A1 與 A2 不同色， A2與 A3不同色，An 1與 An 不同色，共有 43n 1 種染色方法， 但由于 An