切線長(zhǎng)定理弦切角和圓有關(guān)的比例線段

1、切線長(zhǎng)定理、弦切角、和圓有關(guān)地比例線段九年級(jí)數(shù)學(xué)同步輔 2009-06-29 23:12:37閱讀105評(píng)論0字號(hào)：大中小 訂閱切線長(zhǎng)定理、弦切角、和圓有關(guān)地比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)地圓地切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間地線段地長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段地長(zhǎng)，具有數(shù)量地特征，而“切線”是一條直線,它不可以度量長(zhǎng)度2. 切線長(zhǎng)定理對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確1）若已知圓地兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)地連線為直徑；3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓地兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；4 ）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓地兩條切線，切線地夾角與過(guò)切點(diǎn)地兩個(gè)半徑

2、地夾角互補(bǔ)；5 ）圓外一點(diǎn)與圓心地連線，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引地兩條切線所夾地角3. 弦切角、頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切地角直線AB切O O于P,PC、PD為弦,圖中幾個(gè)弦切角呢？四個(gè)）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾地弧所對(duì)地圓周角5. 弄清和圓有關(guān)地角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角6. 遇到圓地切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線地性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理7. 與圓有關(guān)地比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交 弦定 理O O 中，AB、CD 為弦，交于PPA PB = PC PD連結(jié)AC、BD，證： APCDPB相交 弦定 理地 推論O O中，AB為直 徑，CD丄AB于PPC2=

3、 PA PB用相交弦定理切割 線定 理八O 0 中,PT 切 O 0 于T,割線PB交O0于APT2= PA PB連結(jié)TA、TB,證： PTBPAT切割 線定 理推 論BPB、PD 為O 0 地兩條割線，交O 0于A、CPA PB = PC PD過(guò)P作PT BO 0于T,用兩次切割線定 理圓幕 定理¥O 0中，割線PB 交O 0于A,CD 為弦P'C P'D = r2 0P'2PA PB = 0P2 r2r為O 0地半徑延長(zhǎng)P'0交O 0于M,延長(zhǎng)0P'交O 0 于N,用相交弦定理 證；過(guò)P作切線用 切割線定理勾股定 理證8.圓幕定理：過(guò)一定點(diǎn)

4、 P向O O作任一直線，交O O于兩點(diǎn),則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)地兩條線段之積為常數(shù)| - - ' |<R為圓半徑），因?yàn)? - 叫做點(diǎn)對(duì)于O O地幕，所以將上述 定理統(tǒng)稱為圓冪定理.【典型例題】例1.如圖1,正方形ABCD地邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑.在正方形內(nèi)作半圓 0,過(guò)A作半圓切線 切點(diǎn)為F交CD于E,求DE : AE地值.圖1解：由切線長(zhǎng)定理知：AF = AB = 1,EF= CE設(shè)CE為X,在Rt ADE中，由勾股定理(1+M二(1k + F, X = 141 31 5DE = - = - j4£ = 1 + - = -4 44 4 55=3t 5例2. OO中地兩條

5、弦 AB與 CD相交于 E,若AE = 6cm,BE = 2cm,CD = 7cm,那么 CE =cm.圖2解：由相交弦定理，得AE BE = CE DE/ AE = 6cm,BE = 2cm,CD = 7cm,. ,.6X2 二 CE(7 - CE),即二二.2-:. CE= 3cm 或 CE= 4cm.故應(yīng)填3或4.點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況地取舍例3.已知PA是圓地切線,PCB是圓地割線，則AB AC?二肌解：/ P=Z P/ PAC=Z B, PACs PBA,AB_PB- 一二，AB2 _ PB25J .又 PA是圓地切線,PCB是圓地割線，由切割線定理，得加二

6、 P0PCAB2 _ 阿 _ PB麗一 PL PC 一祝5一丄'故應(yīng)填PC.點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論例4.如圖3,P是O O外一點(diǎn),PC切O O于點(diǎn)C,PAB是O O地割線，交O O于A、B兩點(diǎn)，如果PA: PB= 1 : 4,PC= 12cm, O O地半徑為10cm，則圓心 O到AB地距離是 cm.圖3解： PC是O O地切線,PAB是O O地割線，且PA: PB= 1: 4 pb= 4PA又 PC= 12cm由切割線定理,得二上.1?二刊 /.二-:',/ .<1.PB= 4X 6= 24<cm). AB = 24 6= 18&l

7、t;cm )設(shè)圓心O到AB距離為d cm, 由勾股定理，得d =血-9'=那(瀾故應(yīng)填例5.如圖4,AB為O O地直徑，過(guò)B點(diǎn)作O O地切線BC,OC交O O于點(diǎn)E,AE地延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,<1 ）求證：<2)若 AB = BC = 2 厘 M,求 CE、CD 地長(zhǎng).B點(diǎn)悟：要證 c滬二 cues ,即要證 CEDCBE.證明：<1)連結(jié)BEBCO 0 的切線=厶4 = ZCBE' oa = oezLa = Zoea Zoea = Adec*> n AC ED = Ac BEZc公用角AC£DoACB£ => = =>

8、Cff3 = C8 CDCD CE駅是G> Ol?線"朋為直徑<2)卜=> 乙ABD = 90°AB = 2 => OB = EC =2n OC =+1 =-込”O(jiān)E= 1又肋= CPCB, C8 = 2, (£-1)2=2CD=>CD = (3-厲)厘 m.點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角地關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件例6.如圖5,AB為O O地直徑，弦CD / AB,AE切O O于A,交CD地延長(zhǎng)線于 E.圖5求證：丄一二 證明：連結(jié)BD,/ AE 切O O 于 A,/ EAD = Z ABD/ AE 丄 AB,又 AB /

9、 CD, AE 丄 CD AB為O O地直徑/ ADB = 90°/ E=Z ADB = 90° ADEBADAD _ DE.二亠/ CD / ABn qA AD = SC AD = BC, 丄AD BC = CD ABAD_CD點(diǎn)悟：由結(jié)論 AD BC = CD AB得-'丄 -/，顯然要證 PADPBA和厶PCDsPBC證明： PA切O O于A, / PAD = Z PBA又/ APD = Z BPA, PAD PBAAD_PD 一'二同理可證厶PCDPBCCD_PDbc7c/ PA、PC分別切O O于A、C PA= PCAD _ CDAB = 1C A

10、D BC = DC AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/ A = 90°，以AB邊為直徑作O O,交斜邊BC于點(diǎn)D,過(guò) D點(diǎn)作O O地切線交 AC于E.圖7求證：BC = 20E.點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證0E是厶ABC地中位線而0A = 0B,只須證AE = CE.證明：連結(jié)0D./ AC丄AB,AB為直徑 AC為O 0地切線，又DE切O 0于D EA = ED,0D 丄 DE/ 0B = 0D,B=Z 0DB在 Rt ABC 中，/C= 90°/ B/ 0DE = 90°/ C=/ EDC ED = EC AE = EC 0E是厶ABC地中位線 BC

11、= 20Eo例9.如圖8,在正方形ABCD中,AB = 1是以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑地圓地一段弧點(diǎn)DE是邊AD上地任意一點(diǎn) < 點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作所在圓地切線，交邊DC于 點(diǎn)F,G為切點(diǎn)當(dāng)/ DEF = 45。時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF地中點(diǎn)；圖8解：由/ DEF = 45°，得伽二則即二45° / DFE = / DEF DE = DF又 AD = DC AE = FC因?yàn)锳B是圓B地半徑，AD丄AB,所以AD切圓B于點(diǎn)A ;同理，CD切圓B于點(diǎn)C. 又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G,所以AE = EG,FC= FG.因此EG = FG即點(diǎn)G為線段EF地中點(diǎn).【模擬

12、試卷】 答題時(shí)間：40分鐘)-、選擇題1.已知：PA、PB切O O于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB=8,弦AB地弦心距 3,則PA = )2025A. 一B.二C. 5D. 82.下列圖形一定有內(nèi)切圓地是< )A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如圖1直線MN與O O相切于C,AB為直徑，/ CAB = 40°，則/ MCA 地度數(shù)圖1A. 50 °B.40 °C.60 °D. 55 °4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1： 4,則另一弦長(zhǎng)為 )A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.

13、 在厶ABC中,D是BC邊上地點(diǎn)，AD - - ,BD = 3cm,DC = 4cm,如果 E是AD地延長(zhǎng)線與 ABC地外接圓地交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于)C.6. PT切O O于T,CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交O O于B和A,B在線段PD上,若CD = 2,AD = 3,BD = 4,則 PB 等于 )A. 20B. 10C. 5D. : ?1、填空題7. AB、CD是O O切線,AB / CD,EF是O O地切線，它和AB、CD分別交于 E、F,則/ EOF :度.8. 已知：O O和不在O O上地一點(diǎn)P過(guò)P地直線交O O于A、B兩點(diǎn)若PA PB = 24,OP =5,則O O 地半徑

14、長(zhǎng)為 .,則PC9. 若PA為O O地切線,A為切點(diǎn),PBC割線交O O于B、C,若 BC = 20,地長(zhǎng)為.10. 正厶ABC內(nèi)接于O O,M、N分別為 AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng) MN交O O于點(diǎn)D,連結(jié)BD交PC =AC 于 P 則 PM .三、解答題11. 如圖2厶ABC中,AC = 2cm,周長(zhǎng)為8cm,F、K、N是厶ABC與內(nèi)切圓地切點(diǎn)，DE切O O 于點(diǎn) M,且DE / AC,求DE地長(zhǎng).圖212. 如圖3,已知P為O O地直徑 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC切O O于C,CD丄AB于D,求證：CB 平分/ DCP.圖313. 如圖4,已知AD為O O地直徑,AB是O O地切線，過(guò)B地割線BMN交AD地延長(zhǎng)線于 C,且BM = MN = NC,若AB - -匸，求O O地半徑.A圖4【試卷答案】一、選擇題1. A2. C3. A4. B5. B6. A二、填空題7. 908. 19. 3010.-三、解答題：11. 由切線長(zhǎng)定理得厶 BDE周長(zhǎng)為4,由厶BDE s bac,得DE = 1cm12. 證明：連結(jié)AC,則AC丄CB/ CD 丄 AB, ACBCDB, / A = Z