《基本不等式》教案

1、基本不等式教學設計教材：人教版高中數(shù)學必修 5 5 第三章一、教學目標1 1 通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想；2 2 進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；3 3 結(jié)合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結(jié)合的思想；4 4借助例 1 1 嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2 2 及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式-的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略.

2、以上教學目標結(jié)合了教學實際，將知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度價值觀的三維目標融入各個教學環(huán)節(jié).二、教學重點和難點重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式丿的證明過程;難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教學過程：1.1.動手操作，幾何引入如圖是 20XX20XX 年在北京召開的第 2424 屆國際數(shù)學家大會會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù) 和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的.探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?在正方形-3.7S-3.7S

3、 中有 4 4 個全等的直角三角形.設直角三角形兩條直角邊長為-，4 4 個直角三角形的面積之和丄二探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構(gòu) 造出一個矩形(兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊)假設兩個正方形的面積分別 為；和 9 9 ( ( = = 3:)3:)，考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎?通過學生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：-2 2 代數(shù)證明，得出結(jié)論根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論:若乩比用，則 a a3 3十滬2ab則學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關(guān)系

4、中的相 等條件，從而進一步完善不等式結(jié)論:+a * 、価玄士(1)(1)若工廠，則工廠二山；(2 2 )若工廠，則二那么正方形的邊長為曰是,若二正方形的面積亠T 1 1請同學們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明.證法一（作差法）cP +0-L； L二衣，當二=上時取等號.（在該過程中，可發(fā)現(xiàn) 廠的取值可以是全體實數(shù)）證法二（分析法）：由于二二：，于是要證明,只要證明-： -,即證 I I - - - - - -,&十b 區(qū)即 1,該式顯然成立，所以-，當左時取等號.得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容基本不等式：若= ,貝 U U（當且僅當-時，等號成立）若則丁丨-二-工（當且僅當左八時，等號成立）深

5、化認識：稱、匚為的幾何平均數(shù)；稱 -為的算術(shù)平均數(shù)基本不等式-又可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)3 3 幾何證明，相見益彰探究三：如圖，3 3 三是圓二的直徑，點是 3 3 三上一點，上二=二，耳= 過點匸作垂直于二三的 弦連接 J J - - 根據(jù)射影定理可得：-z;由于 Rt_Rt_匚二二中直角邊 K ：斜邊応，應 V 土于是有-當且僅當點 匸與圓心二重合時，即 =-時等號成立.故而再次證明：當時，-（當且僅當二=?時，等號成立）（進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性）4 4 應用舉例，鞏固提高例 1.1. （1 1）用籬笆圍一個面積為100100 平方米的矩形菜

6、園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2 2）段長為 3636 米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最 大，最大面積是多少？（通過例 1 1 的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征，實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）（1 1）若（定值），則當且僅當h時，有最小值- -；（2 2） 若（定值），則當且僅當- =-時，刁有最大值（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神）7 7 = = 1+1+ 丄 g g 0 0）例 2.2.求.1的值域.I 1變式 1.1.若：，求的最小值.尸=X X +

7、 + 2 2（H H # # 0 0）在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示-的函數(shù)圖象，使學生再次感受 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.并通過例 2 2 及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式1 1 的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略.練一練(自主練習)：1.1. 已知廠；L L，且，求門的最小值.2.2. 設 T -:且八，求下的最小值.5.5.歸納小結(jié)，反思提高基本不等式：若-，則-八十/二亠上(當且僅當=上時，等號成立)* 個 W 竺迪若二:=-:,則-(當且僅當二=-時，等號成立)(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想)；(2)運用基

8、本不等式解決簡單最值問題的基本方法.媒體展示，滲透思想：_ _ E E 十 F F若將算術(shù)平均數(shù)記為：，幾何平均數(shù)記為 J J_ _利用電腦 3D3D 技術(shù)，在空間坐標系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面-在曲面- 的上方6.6.布置作業(yè)，課后延拓(1) 基本作業(yè)：課本 P100P100 習題二組 1 1、2 2 題(2) 拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流.(3) 探究作業(yè)：現(xiàn)有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托 盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論

9、.基本不等式教學設計說明一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版高中數(shù)學必修5 5 中第三章第 4 4 節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學習了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù) 的學習奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。 基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，因此它也是 對學生進行情感價值觀教育的優(yōu)良素材，所以基本不等式應重點研究。教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要 自主探究、動手實踐、合作交流、閱

10、讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、弓 I I 導者、合作者的作用，弓 I I 導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。就知識的應用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公 式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究 中均有著廣泛的應用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納，有助于培養(yǎng)學生 創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識和提高數(shù)學能力的良好載體。二、教學目標和目標解析教學目標：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導下

11、探究基本不等式的證明過程，理解基本 不等式的幾何解釋，并能解決簡單的最值問題；借助于信息技術(shù)強化數(shù)形結(jié)合的思想方法。在教師的逐步引導下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實現(xiàn)對基本不等式幾何背景 的初步了解。學生已經(jīng)學習了不等式的基本性質(zhì)， 可以運用作差法給出基本不等式的證明， 同時， 介紹并滲透分 析法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數(shù)證明。進一步通過探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解釋，加強學生數(shù)形結(jié)合的意識。通過應用問題的解決，明確解決應用題的一般過程。這是一個過程性目標。借助例1 1，引導學生嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與積的相互轉(zhuǎn)化，進一步通過例2 2,

12、引導學生領(lǐng)會運用基爲5玄空色本不等式J的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用， 并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓練完善對基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的 能力，體會方法與策略。三、教學問題診斷在認知上，學生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識。但是，倘若教師不加以引導， 學生并不能自覺地通過已有的知識、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導，并選用合理的手段去激活 學生的思維，增強數(shù)形結(jié)合的思想意識。另外，盡可能引領(lǐng)學生充分理解兩個基本不等式等號成立

13、的條件，為利用基本不等式解決簡單的最值問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時， 學生往往容易忽視基本不等式J使用的前提條件洽 I I，同時又要注意區(qū)別基本不等式匸二一 I I 的使用條件為 n。因此，在教學過程中，借助例題落實學生領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用。 而對于“一正二定三相等”的進一步強化和應用，將放于下一個課時的內(nèi)容。四、教學支持條件分析為了能很好地展示幾何圖形，體會基本不等式的幾何背景，教學中需要有具體的圖形來幫助學生理 解基本不等式的生成， 感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想， 所以，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要， 同時演示動畫幫助學生

14、驗證基本不等式等號取到的情況，并用電腦3D3D 技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景，加深對基本不等式的理解，增強教學效果。五、教學設計流程圖教學過程的設計從實際的問題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點，以探究活動為主線， 探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，并進一步給出幾何解釋，深化對基本不等式的理解。通過典型例題的講解, 明確利用基本不等式解決簡單最值問題的應用價值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個教學過程，并時刻體現(xiàn) 在教學活動之中。六、教法和預期效果分析本節(jié)課通過 6 6 個教學環(huán)節(jié)，強調(diào)過程教學，在教師的引導下，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究 等思維活動，從各個層面認識基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學以學生為主體，基本不等式為 主線，在學生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。同時，以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D3D 技術(shù)作為教學輔助手段，賦予學生直觀感受，便于觀察，從而把一個生疏的、內(nèi)在的知識，變