133球的表面積與體積

1、第三課時 球的表面積與體積（一）教學(xué)目標1知識與技能（1）了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.（2）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.2過程與方法通過作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系.3情感、態(tài)度與價值讓學(xué)生更好地認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.（二）教學(xué)重點、難點重點：球的表面積與體積的計算難點：簡單組合體的體積計算（三）教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖新課引入復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺體的表面積和體積，點出主題.師生共同復(fù)習(xí)，教師點出點題（板書）復(fù)習(xí)鞏固探索新知1球的體積：2球的表面積：師：設(shè)球的半徑為R，那么它的體積：，它的面積現(xiàn)在請大家觀察這兩

2、個公式，思考它們都有什么特點？生：這兩個公式說明球的體積和表面積都由球的半徑R惟一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函數(shù).師 (肯定) ：球的體積公式和球的表面積公式以后可以證明.這節(jié)課主要學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.加強對公式的認識培養(yǎng)學(xué)生理解能力典例分析例1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.證明：（1）設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.因為，所以，.（2）因為，所以，S球 = S圓柱側(cè).例2 球與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺的側(cè)面積之比為3:4，則球的體積與圓臺的體

3、積之比為（ ）A6:13 B5:14C3:4 D7:15【解析】如圖所示，作圓臺的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內(nèi)切于梯形ABCD.設(shè)球的半徑為R，圓臺的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識知，圓臺的高為2R，母線長為r1 + r2.AOB = 90°，OEAB (E為切點)，R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.由已知S球S圓臺側(cè)= 4R2(r1+r2)2 = 34(r1 + r2)2 =V球V圓臺 =故選A.例3 在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA = PB = PC = a，求這個球的體積.解：PA、

4、PB、PC兩兩垂直，PA = PB = PC = a.以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.又P、A、B、C四點是球面上四點，球是正方體的外接球 ，正方體的對角線是球的直徑.教師投影例1并讀題，學(xué)生先獨立完成.教師投影答案并點評（本題聯(lián)系各有關(guān)量的關(guān)鍵性要素是球的半徑）教師投影例2并讀題，師：請大家思考一下這道題中組合體的結(jié)構(gòu)特征.生：球內(nèi)切于圓臺.師：你準備怎樣研究這個組合體？生：畫出球和圓臺的軸截面.師：圓臺的高與球的哪一個量相等？生：球的直徑.師：根據(jù)球和圓臺的體積公式，你認為本題解題關(guān)鍵是什么？生：求出球的半徑與圓臺的上、下底面半徑間的關(guān)系.師投影軸截面圖，邊分析邊板書有關(guān)過程

5、.師：簡單幾何體的切接問題，包括簡單幾何體的內(nèi)外切和內(nèi)外接，在解決這類問題時要準確地畫出它們的圖形，一般要通過一些特殊點，如切點，某些頂點，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運用平面幾何的知識，研究有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進而把問題解決.教師投影例3并讀題，學(xué)生先思考、討論，教師視情況控制時間，給予引導(dǎo)，最后由學(xué)生分析，教師板書有關(guān)過程.師：計算球的體積，首先必須先求出球的半徑.由于PA、PB、PC是兩兩垂直的而且相等的三條棱，所以P ABC可以看成一個正方體的一角，四點P、A、B、C在球上，所以此球可視為PA、PB、PC為相鄰三條棱的正方體的外接球，其直徑為正方體

6、的對角線.本題較易，學(xué)生獨立完成，有利于培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力.通過師生討論，突破問題解決的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和問題解決的能力.本題有兩種解題方法，此處采用構(gòu)造法解題，目標培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想，轉(zhuǎn)化化歸的能力.另一種方法，因要應(yīng)用球的性質(zhì)，可在以后討論.隨堂練習(xí)1（1）將一個氣球的半徑擴大1倍，它的體積擴大到原來的幾倍？（2）一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是a cm，求球的體積.（3）一個球的體積是100 cm2，試計算它的表面積(取3.14，結(jié)果精確到1cm2，可用計算器). 參考答案：1（1）8倍；（2）（3）104.學(xué)生獨立完成鞏固所學(xué)知識歸納總結(jié)1球的體積和表面積2等積變換3軸截

7、面的應(yīng)用學(xué)生獨立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識，提高學(xué)生自我整合知識的能力.課后作業(yè)1.3 第三課時 習(xí)案學(xué)生獨立完成固化練習(xí)提升能力備用例題例1已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面積與球的體積 【分析】 可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直于截面小圓平面 【解析】 如圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，則O1是ABC的外心 設(shè)M是AB的中點，由于AC = BC，則O1CM設(shè)O1M = x，易知O1MAB，則O1A = ，O1C = CM

8、 O1M = x 又O1A = O1C 解得則O1A = O1B = O1C = 在RtOO1A中，O1O = ，OO1A = 90°，OA = R，由勾股定理得解得故圖439例2如圖所示棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱錐的高（1）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；（2）求四棱錐外接球的半徑【分析】（1）當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可球心O在過底面中心E且垂直于底面的垂線上【解析】（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設(shè)它們的高均為R，SABCD = a2VP ABCD = VS PDA + VS PDC + V S ABCD + VS PAB + Vs PBC ，BACDPF圖4310，所以，即球的最大半徑為（2）法一：設(shè)PB的中點為F因為在RtPDB中，F(xiàn)P = FB = FD，在RtPAB中，F(xiàn)A = FP = FB，在RtPBC中，F(xiàn)P = FB = FC