2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷5

1、2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷(8)第一試(考試時間：80分鐘 滿分：120分)一、 填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分，直接將答案寫在橫線上。1. 已知集合，,，且，則整數(shù)對的個數(shù)為_2. 若，則_3. 四面體中，平面與平面成的二面角，則點到平面的距離為 4. 設(shè)直線與曲線有三個不同的交點,則的方程為_5. 已知數(shù)列a0，a1，a2，an，滿足關(guān)系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，則的值是 6. 若則_7. 平面直角坐標系中，M(1，2)，N(1，4)，P在x軸上移動，當MPN最大時,P坐標為_ 8. 九個連續(xù)正整數(shù)自小到大排成一個數(shù)列，若的值為一平方數(shù)，的值為一立

2、方數(shù)，則這九個正整數(shù)之和的最小值是 二、 解答題（本大題共3小題，共56分,解答應寫出文字說明，演算過程或證明步驟）9（本題滿分16分）數(shù)列滿足：；令；求 10.（本題滿分20分）已知拋物線的頂點在原點，焦點為，.（1）過點斜率為1的直線交于兩點，若關(guān)于原點對稱點為.求的最大值.（2）過點斜率為的直線交于兩點，若軸上是否存在一點，使與軸所成的銳角相等，求坐標.11.（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)，其中，b為任意常數(shù)。證明：當時，有1.30解：；。要使，則，即。所以數(shù)對共有2. 解：由，所以。3. 解：，作平面，垂足為，連，由三垂線逆定理，所以，故，又因為正方形，則，因此正三角形的面積為，設(shè)到平面的距

3、離為，由，得4. 解：曲線關(guān)于（0,1）點對稱，設(shè)直線方程為，則。所求直線方程為。5. (2n+2n3)解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)6. 解;，所以。7.(1,0) 解：當MPN最大時，MNP與x軸相切于點P(否則MNP與x軸交于PQ，則線段PQ上的點P使MPN更大)于是，延長NM交x軸于K(3，0)，有KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)處MNP的半徑小，從而點P(1,0)8. 解：設(shè)這九數(shù)為 ，則有，則，得 令，得，所以 ，再取，化為 ，取，可使左式成立，這時，9.解：改寫條件式為，則，所以，；10. 解：（

4、1）由條件知，拋物線C的方程為，直線的方程為，點Q的坐標為由得， 由，得設(shè), 則,又因為點到直線的距離，所以QAB的面積，其中. 記，則所以，當時，, 當時，所以，在區(qū)間 上為減函數(shù)所以時，取最大值因此，QAB面積的最大值為 (2) 方程為,由得，設(shè), 則設(shè)點T存在，其坐標為由TM、TN與軸所成的銳角相等知，即，即，所以因此，符合條件的點T存在，其坐標為11.證： 已知，所以為其極小值點，此時，而. （5分）1）；此時有. (i) 當時，； （此不等式顯然成立） 于是有。 (ii) 當時，；此時同樣有。 于是有。 (iii) 當時，此時考慮 于是有。 （10分）2) ；此時有。由于，所以。于是有。3）；此時有。由于，所以。于是有