奧數(shù)新定義運(yùn)算

1、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四奧數(shù)定義新運(yùn)算同學(xué)們熟運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號及運(yùn)算律已被知。除此之外，還會有什么別的運(yùn)算嗎？現(xiàn)在我們就來研（j究 這個問題。這些新的運(yùn)算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí) 都大有益處。定義1、定義新運(yùn)算是指運(yùn)用某種特殊的符號表示的一種特定運(yùn)算形式。注意：（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴(yán)格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn) 算，然后進(jìn)行計算（2）我們還要知道，這是一種人為的運(yùn)算形式。它是使用特殊的運(yùn)算符號，如：*

2、、_、？、等來表示的一種運(yùn)算C（3）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的。2、一般的解題步驟是：一是認(rèn)真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；二是排除干擾，按新定義關(guān)系去掉新運(yùn)算符號；三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運(yùn)算。二、初步例題詮釋例1、 對于任意數(shù)a， b，定義運(yùn)算“ * ”：a*b=a x b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32例 2、假設(shè) a b = ( a + b ) 寧 b。求 8 5分析與解：該題的新運(yùn)算被定義為：a b等于兩數(shù)之和除以后一個數(shù)的商。這里要先算括號里面的和，再算

3、后面的商。這里a代表數(shù)字8，b代表數(shù)字58 5 =(8 + 5 ) - 5 = 2.6例 3、如果 a©b=ax b-(a+b)。求 6©( 9©2)。分析與解：根據(jù)定義，要先算括號里面的。這里的符號“”就是一種新的運(yùn)算符 號。6©( 9©2)=6© 9 x 2- (9+2)=6© 7=6x 7- (6+7)=42-13=29例 4、如果 1 A 3=1+11+111; 2A 5=2+22+222+2222+22222 8A 2=8+8&求 6A 5。分析與解：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)“ A ”前面的數(shù)字是加數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字，

4、而加數(shù)分別 是一位數(shù)，二位數(shù)，三位數(shù)，,“ A ”后面的數(shù)字是幾，就有幾個加 數(shù)。因此可以按照這個規(guī)律進(jìn)行解答。6A 5=6+66+666+6666+66666=74070例 5、女口果規(guī)定：2=1 x 2X 3，： 3=2X 3X 4，： 4=3X 4X 5,計算(分析與解：該題看上去比較復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，該題被定義為:X=（X-1）X XX（X+1）。由于把數(shù)代入算式中計算比較麻煩， 我們可以先化簡算式后，再計算。(丄-丄)X J：.'： 2:3:31 X ®21 X 空工3 W; 3 工31 X ： 2：3- 3x( 1-1®3 )2342341

5、X( 1)2344321例 6、規(guī)定 ab=5a+-ab-3b。求2（80 5） X=264中的未知數(shù)。分析與解：根據(jù)新定義，應(yīng)該先計算括號里面的，再計算括號外面的，然后解方程即可。(8 5) X=2641(5X 8 +X 8X 5-3 X 5)X=264245 X=26415X45+ X 45XX-3X=2642456 X225+X- =2642 239225+X=264239 X=392X=2三、邊學(xué)邊試【例11 A , B表示兩個數(shù)，定義A B表示(A+B)寧2,求(1)(3 17) 29;(2) (仏9) 9 6?！痉治雠c解】定義新運(yùn)算符號“”表示 A B=(A+B)寧2,即兩個數(shù)做“

6、”運(yùn)算就是求這兩個數(shù)的平均值如17=(3+17)十2=10，再用10與29做運(yùn)算，10A 29=(10+29)十 2=19.5(1)原式=(3+17) - 2 29(2)原式=(1+9) - 2 9 6=20 - 2 29=$ 9 6=10 29=(5+9) - 2 6=(10+29)十 2=7 6=39-2=(7+6)十 2=19.5【 試一試 1=6.51、A, B表示兩個數(shù)，定義 A*B=2 X A-B.試求：(1)(8.5X 6.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、設(shè) a b=aX b+a-2b,按此規(guī)定計算:(1) 8 1.25(2)(4 2.5)

7、7例 2】已知 2*3=2+22+222=246， 3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3 ; (2)4*5 ; (3)若 1*x=123，求 x.分析與解 】觀察兩個已知等式可以發(fā)現(xiàn)， “* ”定義的是連加運(yùn)算，第一個加數(shù)是 “ * ”前邊的數(shù)，且后一個加數(shù)都比前一個加數(shù)多一位，但數(shù)字相同， 而“ * ”后邊的數(shù)恰好是加數(shù)的個數(shù)。1 ) 3*3=3+33+333=3692) 4*5=4+44+444+4444+44444=493803) 提示：因為 1* x=1+11+111+, =123所以倒著算： 123-1=122122-11=111 111-111=0即： 1

8、+11+111=1*3=123從而可知 x=3試一試 】已知 53=5X 6X 7, 36=3X 4X 5X 6X 7X 8,按此規(guī)定計算:(1) (43) + (6A2)(2) (3 2)X( 43)【例 3】設(shè) A ® B=2X( A+B ) -2X( A十 B),計算：(1) (12® 4)® 13;(2) 70®( 18® 4)?！痉治雠c解】觀察已知等式可知：“® ”定義表示的是兩個數(shù)和的 2倍與商的2倍的差。如：12® 4=2X( 12+4) -2 X( 12-4) =26(1)原式=2 X( 12+4) -2 X

9、( 12 -4) ® 13=2X16-2X3 ® 13=26® 13=2X( 26+13) -2 X( 26- 13)=2X 39-2X 2=78-4 =74(2)原式=70® 2 X( 18+4) -2 X( 18-4)=70® 2 X 22-2X 4.5=70® 35=2X (70+35)-2 X (70 - 35)=206【 試一試 】1、規(guī)定a© b=(a+b)* (a-b),按此規(guī)定計算：(1)210 5(2)(18 © 9) © 22、設(shè) a#b=5a-2b,計算：(12.5#8) #19.7

10、2【例 4】小輝用電腦設(shè)計了 A， B， C， D 四種裝置，將一個數(shù)輸入一種裝置后，會 輸出另一個數(shù).裝置A:將輸入的數(shù)加上5;裝置B:將輸入的數(shù)除以2;裝置C:將輸入 的數(shù)減去4；裝置D:將輸入的數(shù)乘3.這些裝置可以連接，如果裝置A后面連接裝置B,就寫成A B,輸入1后，經(jīng)過A B輸出了 3.那么，輸入9,經(jīng)過A B C D 輸出幾 ?【分析與解】A B C D=(9+5) - 2-4 X 3=9所以輸出的是 9試一試 】同學(xué)們在做這樣一個數(shù)字游戲 :一張帶有數(shù)字的卡片在 A，B，C， D 四位同學(xué) 間傳遞，當(dāng)傳遞給A時，A將該數(shù)字乘5傳出，當(dāng)傳遞給B時，B將該數(shù)字除以2 傳出，當(dāng)傳遞給C

11、時，C將該數(shù)字加18傳出，當(dāng)傳遞給D時，D將該數(shù)字減去9 后交給主持人，如果一張卡片經(jīng)過 A傳遞給B記為A - B,那么一張帶有18的數(shù) 字卡片，經(jīng)過A - B-C-D的傳遞后交給主持人時卡片上的數(shù)字是多少 ？【理一理】新定義運(yùn)算注意的問題 :(1)新定義運(yùn)算一般不滿足運(yùn)算定律女口 £ bM aa (» c)工(aA b) c(a*b) cm (aA c)*(bA c)“+” “-” “x” J”仍然是通常的運(yùn)算符號，完全符合四則運(yùn)算順序四、練一練1、規(guī)定 a*b=4a-3b，計算：(1.5*0.8) *0.52、設(shè)a, b都表示自然數(shù)，規(guī)定a b=3a+b* 2，計算:(1) 56(2) 65(3) ?( ?> 5)(4) (! 3)53、規(guī)定 3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，, 按此規(guī)定計算： 11*54、如果 仁 1! , 1 X 2=2! , 1 X 2X 3=3! , , 1 X 2 X 3X 4X , X 99X 100=100!那么 1! +2！ +3！ +4！ +, +100！的個位數(shù)字是幾？5、狼和羊在一起時，狼要吃掉羊，所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號“” 表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼狼=狼。以上運(yùn)算的意思是羊與羊在一起還是羊， 狼與狼在一起還是狼， 但是狼與羊在一 起便只剩下狼了，小