電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌問題11

1、電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌問題綜述：電磁感應(yīng)中有一類關(guān)于導(dǎo)軌的習(xí)題，涉及運動學(xué)、牛頓定律、動量守恒及動量定理、能量關(guān)系等相關(guān)知識，現(xiàn)按不同標(biāo)準(zhǔn)分類如下：一按運動類型分1.1利用楞次定律的“阻礙”作用，分析問題。例1：MN、PO為固定水平光滑直導(dǎo)軌，a、b為金屬棒，磁場垂直導(dǎo)軌平面， 若磁場均勻，a棒有向右初速度V0，則b如何運動？ 若a、b原先靜止，當(dāng)磁場均勻變化時，它們?nèi)绾芜\動？解析： 由楞次定律可知，b棒應(yīng)向右加速，a則減速，最后兩者達到共速；并且在達到共速前，始終有Vb<Va；因為兩者所受安培力等值反向，所以整體合力為0，動量守恒，MaV0=(Ma+Mb)V共 V共 = MaV0/(Ma+M

2、b) 若磁場均勻變小，a、b分開運動，即反向運動；若磁場變大，它們相向運動。1.2 在恒定外力作用下，做勻速運動 例2：長為L、電阻r=0.3、質(zhì)量M=0.1的金屬棒OD垂直跨在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌上，兩導(dǎo)軌的間距也為L，棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計，導(dǎo)軌左端接有R=0.5的電阻，量程03.0A的電流表串接在一條導(dǎo)軌上，量程為01.0V的電壓表接在電阻R的兩端。垂直導(dǎo)軌平面的勻強磁場向下穿過平面，現(xiàn)用向右恒定的外力F使金屬棒以V=2m/s向右勻速滑動，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，則滿偏的電表是哪個表？拉動金屬棒的外力F多大？解析： 應(yīng)是電壓表滿偏。此時U

3、=1.0V，I=U/R=2.0A<3.0A 電動勢=BLV=I(R+r)=1.6V BL=0.8又勻速 F外= FA=BIL=0.8×2=1.6N1.3 只在安培力作用下做變減速運動例3：在例2中，若撤去外力F，此后金屬棒將如何運動？從撤去外力開始，通過電阻R的電荷量Q是多少？解析：撤去外力后，金屬棒只受安培力而做加速度越來越小的變減速運動，逐漸慢下來，最后停下來。對金屬棒用動量定理， Q=mv/BL=0.25c1.4 在恒定外力下做變加速運動例4：質(zhì)量m,長度為L，電阻為R的金屬棒ab，接在豎直放置的“門”型金屬框架上組成閉合回路，框架置于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，棒ab在

4、框架上滑動始終保持水平，所受摩擦力為f，框架電阻不計，當(dāng)棒ab從靜止下滑，達到穩(wěn)定速度時，電路的電功率是多少？解析：棒ab下滑后，受到重力、摩擦力、安培力的作用做加速度減小的加速運動，直到達到穩(wěn)定速度。穩(wěn)定時，mg=f+FA, FA=BIL=B2L2V/R P= FAV=(mg-f)2R/(B2L2)例5：兩根豎直放置在絕緣地面上的金屬框架的上端接有一電容量為C的電容器，框架上有一質(zhì)量為m，長度為L的金屬棒，平行于地面放置，與框架接觸良好且無摩擦，棒離地面的高度為h,磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與框架平面垂直，開始時電容器不帶電，將棒由靜止釋放，則棒落地時速度多大？解析：對金屬棒分析：設(shè)其加速度為

5、a， ma=mgFA=mgBIL在t（t0）時間內(nèi)，電容器上的電量變化為Q=CU=CBLV=CBLat所以，I=Q/t= CBLa所以，ma= mgBIL=mgB2L2Caa=恒量，因此金屬棒作勻加速運動1.5 在變力作用下做勻加速運動例6：如圖甲，一對平行光滑導(dǎo)軌放在水平面上，兩軌道間距L=0.20m,電阻R=1；有一導(dǎo)體棒靜止放在軌道上，與兩軌道垂直，棒與軌道的電阻都忽略不計?，F(xiàn)有一外力F沿軌道方向拉棒，使之做勻加速運動，測得力F與時間t的關(guān)系如圖乙所示。求棒的質(zhì)量m和加速度a.解析：物體做勻加速運動，由牛頓第二定律可知 FFA=ma FA=BIL=B2L2V/R V=at F=ma+ B

6、2L2 at /R 從圖線乙中任取兩組坐標(biāo)如（0s，1.5N）、(30s，4.5N)代入，可求得a=10m/s2, m=0.151.6 外力以恒定功率拉動棒例7：兩光滑導(dǎo)軌水平放置在勻強磁場中。磁場垂直導(dǎo)軌所在平面，金屬棒ab可沿導(dǎo)軌自由滑動，導(dǎo)軌一端接一個定值電阻R，導(dǎo)軌電阻不計。現(xiàn)將金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止向右拉，若保持拉力恒定，經(jīng)時間t1后速度為v，加速度為a1，最終以速度2v做勻速直線運動；若保持拉力的功率恒定經(jīng)時間t2后，速度為v，加速度為a2，最終也以速度2v做勻速直線運動，則a1與a2的關(guān)系怎樣？解析：F恒定時，ma1=FFA 速度為v時，F(xiàn)A=B2L2v/(R+r) r為金屬棒ab的

7、電阻 勻速時，速度為2v, a=0, F= B2L22v/(R+r) ma1= B2L2v/(R+r) 拉力F的功率恒定時，ma2= FFA速度為v時，F(xiàn)=P/v FA=B2L2v/(R+r)勻速時，a=0,F=FA= B2L22v/(R+r)=P/2v ma2=3 B2L2v/(R+r)=3a1即 a2=3a1二、按導(dǎo)軌是否固定分2.1導(dǎo)軌固定：上述所有例題都是導(dǎo)軌固定的情況。2.2導(dǎo)軌自由 例8：矩形金屬線框abcd質(zhì)量為4m, ab邊和cd邊的電阻均為R，ad邊bc邊足夠長且電阻不計。金屬棒ef 質(zhì)量m，電阻為R，與線框的ad邊和bc邊接觸良好，且無摩擦。開始時將線框靜止放在絕緣且光滑的

8、水平面上，范圍足夠大的勻強磁場處置于線框平面，使金屬棒ef以初速度V0向右運動，求金屬棒ef最終的速度和其上產(chǎn)生的焦耳熱。 解析：運動后某時刻，設(shè)ef中的電流是I，則ab cd中的電流各為I/2，所以，ef所受的安培力FA=BIL，方向向左，ab cd所受的安培力FA1= FA2=BIL/2，方向都向右，所以矩形框架abcd和金屬棒ef的合力等于0，系統(tǒng)動量守恒 mV0=5mV, 即V= V0/5 所以ef的最終速度為V0/5，向右； 由能量關(guān)系，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)損失的動能，Q總= mV02/25mV2/2= 2mV02/5,又 QabQcdQef=114 Qef=4mV02/15 例

9、9：例8中若金屬線框固定，則ef的最終速度和其上產(chǎn)生的焦耳熱又是多少？ 解析：ef 最終停下來，V=0 Q總= mV02/2 Qef=mV02/3三、按導(dǎo)軌所處平面分3.1 導(dǎo)軌處于水平面內(nèi)，如上面例1、2、3、6、7、8、9；3.2 導(dǎo)軌處于豎直面內(nèi)，如上面例4、5；3.3 導(dǎo)軌處于斜面上 例10：MN、PQ為相距L的光滑平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面于水平方向成角，導(dǎo)軌位于方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中。在時刻t1=0時，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab由靜止下滑，在時刻t2=T，ab已在做速度為v的勻速直線，設(shè)M、P間接一阻值為R的電阻，其余電阻均不計，在時間T內(nèi)，磁場力對ab的沖量大小為多少？磁感應(yīng)強度多

10、大？ 解析：由動量定理，mgsin·TIA=mv0 IA= mgsin·Tmv勻速時 合外力為0，mgsin=FA= B2L2v/R 例11：在于水平面成角 的矩形導(dǎo)電框架范圍內(nèi)，有垂直于框架平面斜向上、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，框架ad、bc部分足夠長，且電阻不計，ab、cd部分的電阻均為R，長度均為L，有一質(zhì)量為m，電阻為2R，夾于ad、bc之間的金屬裸導(dǎo)線，從圖示位置無摩擦地平行于ab沿框架上沖，上沖初速度未知，其所能到達的離圖示位置的最大高度未h，此過程中ab上發(fā)熱Q，求ab的最大發(fā)熱功率。 解析：由動能定理，0mV02/2=mghWA=mghQ總 QabQcdQ棒

11、=（I/2）2R（I/2）2RI22R=1Q1Q8Q Q總=10Q V02=2gh+20Q/m 又 Pab=Iab2R=（0.5BLV/2.5R）2R ab棒一直做減速運動，所以速度為V0時最大，Pabmax=B2L2（20Q+2mgh）/25mR四、按導(dǎo)軌形狀分類4.1平行等距導(dǎo)軌，上述所有例題中的導(dǎo)軌都屬于此類別；4.2平行不等距導(dǎo)軌 例12：無限長的光滑平行導(dǎo)體框架MON、xoy水平放置，左右兩側(cè)的寬度分別為L1、L2，且L1=2L2=2L，勻強磁場垂直紙面向里，范圍足夠大，磁感應(yīng)強度為B兩根金屬棒a、b的質(zhì)量分別為Ma=2Mb=2m，電阻分別為Ra=2Rb=2R，導(dǎo)軌電阻不計，初始金屬

12、棒a、b離OO足夠遠。 若開始時金屬棒b靜止，而給金屬棒a一個水平向右的初速V0，求此時b棒的加速度？ 若使棒a、b同時獲得相向的速度，大小分別為Va、Vb，且Vb= 2Va=2 V0，求在以后過程中b棒的最小速度。解析； Vb=0，E=B2LV0，I=E/3R，F(xiàn)Ab=BIL a=2B2L2V0/3Mr a、b棒所受安培力大小不相等，合外力不為0，動量不守恒。a、b棒所受安培力大小之比 FAaFAb= L1L2=21 a、 b棒的加速度之比 a1a2=11，又Vb= 2Va=2 V0所以，a先減速到0后反向（向左）加速，b一直減速，最終兩者一起勻速，勻速時b的速度為其最小速度。以向左為正方向

13、，對a、b分別用動量定理 a： FAa·t=2mVa(2m V0) b： FAb·t=mVbm2 V0且勻速時應(yīng)有=BS=0，即 Va· t·2L= Vb· t·LVa Vb=12聯(lián)立上述四式，解得Va= V0/3 向左 Vb= 2V0/3 向左4.3圓形導(dǎo)軌例13：一個粗細(xì)均勻、電阻為2R的金屬圓環(huán)，放置在垂直于紙面向里的勻強磁場中，其直徑為L，將長也L、電阻為R/2的金屬棒ab放置在金屬圓環(huán)上，并以速率v勻速向右，當(dāng)ab 運動到圖示位置時，=60°，ab兩端的電勢差為多少？解析：電動勢E=BLV，圓環(huán)左右兩部分并聯(lián)與cd

14、部分串聯(lián)， Uac=Udb=BL（1sin）V/2 Ecd=BL sinV 圓環(huán)左右兩部分電阻分別為R1=4R/3，R2=2R/3，cd部分電阻為r=R sin/2 電路中電流I=Ecd/（R1/R2+r） Ucd=EIr = Uab= Uac+Udb+ Ucd= ，且b端電勢高。4.4 三角形軌道例14：三角形金屬框架MON平面與勻強磁場B垂直，導(dǎo)體ab能緊貼金屬框運動，當(dāng)導(dǎo)體從O點看勢向右勻速平動時，速率為V，則回路Obc中感應(yīng)電動勢隨時間變化的函數(shù)關(guān)系怎樣？解析；E=BLcbV=B（V·t·tg30°）V=BV2 tg30°·t4.5 正

15、弦形導(dǎo)軌例15：勻強磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度B=0.40T，OCA導(dǎo)軌與OA直導(dǎo)軌分別在O點和A點接一阻值R1=3.0和R2=6.0幾何尺寸可忽略的定值電阻，導(dǎo)軌OCA的曲線方程為y=1.0sin(x/3)(m)，金屬棒ab長1.5米，以速度v=5.0m/s水平向右勻速運動。（b點始終在x軸上），設(shè)金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好，摩擦不計，電路中除了電阻R1、R2外，其余電阻不計，曲線OCA與x軸之間所圍面積越為1.9。求：金屬棒在導(dǎo)軌上運動時R1的最大功率金屬棒在導(dǎo)軌上運動從x=0到x=3m的過程中通過金屬棒ab的電量金屬棒在導(dǎo)軌上運動從x=0到x=3m的過程中，外力必須做多少功？解析： 金屬

16、棒切割產(chǎn)生的電動勢=ByV=BV sin(x/3)R1上產(chǎn)生的功率P1=2/R1當(dāng)sin(x/3)=1，即x=1.5m時P1max=（0.4×5.0×1）2/3.0=4/3w Q=I平t=/R總=BS（R1+R2）/R1R2=0.38C 由動能定理 W外WA=00 WA=E有效2t/ R總 t=OA/v=0.6s 而金屬棒產(chǎn)生的電動勢= BV sin(x/3)是按正弦變化的 W外=0.6J補充：例16：兩根相距d=0.20m的平行光滑金屬導(dǎo)軌育水平方向成30°角固定，勻強磁場的磁感應(yīng)強度B=0.20T，方向垂直兩導(dǎo)軌組成的平面，兩根金屬棒ab、cd互相平行且始終育導(dǎo)軌垂直地放在導(dǎo)軌上，它們的質(zhì)量分別為M1=0.1kg，M2=0.02kg，兩棒電阻均為0.02，導(dǎo)軌電阻不計，當(dāng)ab棒在平行于導(dǎo)軌平面斜向上的外力作用下，以V=1.5m/s速度沿斜面勻速向上運動時，求金屬棒cd運動的最大速度若要使ab棒向上運動、cd向下運動，而磁場強度B不變，則題目中的條件應(yīng)受到哪些