知識點拉格朗日中值定理與柯西中值定理(MC20302)

1、知識點：拉格朗日中值定理與柯西中值定理(MC20302)拉格朗日中值定理1 本知識點引入方法，背景知識1797年，拉格朗日給出微分中值定理，但未證明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，首先在分析中是許多定理賴以證明的工具，是導(dǎo)數(shù)若干個應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，其有限增量公式使得有可能在導(dǎo)數(shù)的變化范圍內(nèi)把函數(shù)的增量估計出來.拉格朗日中值定理是洛爾定理的一種推廣，同時又是柯西定理的特例.該定理可以從洛爾定理幾何圖形的改變圖引入，也可以從導(dǎo)數(shù)的物理意義：變速直線運動的平均速度及瞬時速度的關(guān)聯(lián)性引入.2 多種講解方法拉格朗日中值定理的證明是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，使之滿足羅爾定理的條件，最后由羅爾定理的結(jié)論推出所要的

2、結(jié)果.雖然輔助函數(shù)的構(gòu)造多種多樣，但大致可以歸類于兩種，一種是利用幾何直觀，構(gòu)造輔助函數(shù)；一種是從結(jié)論分析，采用反推法即求原函數(shù)的方法構(gòu)造輔助函數(shù). 圖1 2.1 羅爾定理的推廣 若取消羅爾定理中這個特殊條件，如圖1所示.此時，連續(xù)曲線的上除端點外處處有不垂直于軸的切線，那么弧上至少有一點，使曲線在點處的切線平行于弦. 2.2 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點，使等式 (i) 成立.2.3 輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一： 原函數(shù)法 拉氏定理變形為 ，設(shè)，上式為.經(jīng)逆推，上式為.所以輔助函數(shù).方法二（直觀幾何法）：從圖形的上、下移動中尋找輔助

3、函數(shù)圖2由于弦的斜率是，將曲線上的點沿鉛直方向逐個地向下移動一個的線性量,即點的縱坐標(biāo)變成，這時端點保持不動，而端點被移至，于是，曲線就變形為曲線.由圖中可見，變形后的曲線的兩個端點在同一水平線上，事實上有，于是羅爾定理的條件得到滿足.方法三（直觀幾何法）：從直線族的集合中尋找輔助函數(shù)(i) 式表明，屬于既平行于弦又與曲線相交的直線族內(nèi).即=直線|， .是中距弦最遠的直線，所以選與的距離為輔助函數(shù). (為常值)所以與同時取最 值.故可以取為輔助函數(shù).有向線段的函數(shù) ， 圖3其中為弦的方程.就是引進的輔助函數(shù).2.4 定理的證明 引進輔助函數(shù).方法一的證明：引進輔助函數(shù)，其中易驗證，且，在內(nèi)可導(dǎo)

4、，由羅爾定理，至少有一點，使成立，即成立.于是有.方法三的證明：.容易驗證函數(shù)適合羅爾定理的條件：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且.根據(jù)羅爾定理，可知在內(nèi)至少有一點，使，即，由此得，即 （i）定理證畢.顯然，公式（i）對于也成立，（i）式叫做拉格朗日中值公式.2.5 中值公式的另一表示形式設(shè)為內(nèi)兩點，則等式（i）在區(qū)間或區(qū)間成為 ()（）式稱為有限增量公式.2.6 推論如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值為零，那么在區(qū)間上是一個常數(shù).證 在區(qū)間上任取兩點，應(yīng)用(i)式就得 由假定，所以，即因為是上任意兩點，所以上面的等式表明：在上的函數(shù)值總是相等的，這就是說，在區(qū)間上是一個常數(shù).柯西中值定理1 本知識

5、點的引入方法柯西中值定理是廣義的微分中值定理，所以可通過拉氏定理中的曲線取參數(shù)的形式引入.柯西中值定理是微分中值定理的推廣，這種推廣常常遵循將常量換成變量，將變量換成函數(shù)，將特殊函數(shù)換成一般函數(shù)等法則.1.1 引入方法一：1.1.1 廣義微分中值定理設(shè)由參數(shù)方程 ()表示(右圖)，其中為參數(shù)，那么曲線上點處的切線的斜率為，弦的斜率為，假定點對應(yīng)于參數(shù) ，那么曲線上點處的切線平行于弦可表示為 圖4 ，與這一事實相應(yīng)的是 1.1.2 柯西中值定理 如果函數(shù)及滿足(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)對任一，那么在內(nèi)至少有一點，使等式成立.1.2 引入方法二： 1.2.1 微分中值定理的

6、推廣(羅爾定理的進一步推廣)微分中值定理的結(jié)論： （）我們引入2個(積分學(xué))記號：利用以上記號，式（i）可以改寫成： （）推廣常常遵循將常數(shù)換成變量，將變量換成函數(shù)，將特殊函數(shù)換成一般函數(shù)等法則，考察式(ii)，它的分子是一個一般函數(shù)，而分母是一個特殊函數(shù)，因此，我們可以將它一般化，得到(iii)式.1.2.2 Cauchy(柯西，17891857年)中值定理條件：(1)在上連續(xù)；(2)在上可導(dǎo)；(3).結(jié)論：使 （）將式(iii)恢復(fù)成習(xí)慣寫法(式(iii)原地改寫為式(iv) （）其中條件保證了式(iv)兩邊的分母都不為零.1.3 柯西中值定理的證明證 首先注意到，這是由于，其中，根據(jù)假定

7、，又，所以.類似拉格朗日中值定理的證明，我們?nèi)匀灰员硎居邢蚓€段的值的函數(shù)(見圖4)作為輔助函數(shù)，這里，點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，于是容易驗證，這個輔助函數(shù)適合羅爾定理的條件：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且.根據(jù)羅爾定理，可知在內(nèi)必定有一點使得，即，由此得成立.2 例題 證明：在內(nèi)至少存在，使其滿足某種關(guān)系式.例1 證明當(dāng)時，證 設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理應(yīng)有由于，因此上式即為又由，有，即.例2 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，.試證：存在，使得成立.證：) 令，當(dāng)時，因，故，對和在上使用Cauchy中值定理，則存在，使成立，即 （）成立.) 再對在上應(yīng)用Lagrange中

8、值定理，則存在，使. （）成立.由() ( )兩式則有. .3 學(xué)生常見錯誤對Cauchy中值定理做出如下的證明：兩次應(yīng)用Lagrange中值定理：，將兩式相除，不就是我們所要的結(jié)論嗎？然而錯在哪里？因為，兩次應(yīng)用Lagrange中值定理，沒有理由認為兩個恰好相同，這是初學(xué)中值定理的人最容易產(chǎn)生的典型錯誤，應(yīng)該是：，.4 擴展知識一般的拉格朗日中值定理 如在上連續(xù)在內(nèi)處處有廣義導(dǎo)數(shù)（包括有限，和），則必存在，使得.如圖5所示，在內(nèi)處處有廣義導(dǎo)數(shù)（包括，上述定理 圖5中的仍存在.這樣，例如對于函數(shù)， 無論在什么閉區(qū)間上，可放心地應(yīng)用拉格朗日中值公式了. 首先來看一般羅爾定理.仍設(shè)，使達到的最大值

9、.對于廣義左導(dǎo)數(shù)，應(yīng)有；對于廣義右導(dǎo)數(shù)，應(yīng)有.由于已設(shè)廣義導(dǎo)數(shù)存在，故.由此即知一般羅爾定理得證. 由此便可證明一般拉格朗日中值定理.作輔助函數(shù)于是當(dāng)然在上連續(xù).由于廣義導(dǎo)數(shù)在內(nèi)處處存在，而和它只相差一常數(shù)，所以廣義導(dǎo)數(shù)在內(nèi)也處處存在.因此可以應(yīng)用一般羅爾定理，從而一般拉格朗日中值定理得證.一般的柯西中值定理 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)，廣義導(dǎo)數(shù)處處存在，且它們不同時為0，也不同時為無窮大，則必存在，使得 （*）成立.證明 先設(shè)由一般羅爾定理，存在，使得由假設(shè)，必有（不論有限或無窮大），因此（*）式成立. 先設(shè)作輔助函數(shù)于是在均為有限的點處，也存在、有限.如果在某點處，則由假設(shè)條件知必有限，于是廣義導(dǎo)數(shù)存在，分別為；如果在某點處，則由假設(shè)條件知必有限，于是廣義導(dǎo)數(shù)也存在，分別為視為負或正而定.總之，廣義導(dǎo)數(shù)在內(nèi)處處存在.因此可以應(yīng)用一般羅爾定理，即存在，使得.這里不可能，因為否則的話，由此式知，也有，與假設(shè)矛盾.也不可能，否則由假設(shè)必有限，上式不可能成立.因此上式可以用相除而得（*）式，定理得證. 例如，