高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用知識精講

1、高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用【本講主要內(nèi)容】數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納原理的科學(xué)性，數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用舉例【知識掌握】【知識點精析】1. 歸納法：對特殊情況加以研究而得出一般規(guī)律的方法叫歸納法它分為不完全歸納法和完全歸納法由部分特殊情況而得出的一般規(guī)律的方法叫不完全歸納法，對全部（有限的）特殊情況加以研究而得出的一般規(guī)律的方法叫完全歸納法例如：觀察下列式子：633，835，103755，1257，1431177，20317713歸納：每個大于或等于6且小于或等于20的偶數(shù)可表示為兩個奇素數(shù)的和 這里采用的是完全歸納法結(jié)論正確在等差數(shù)列an中，已知首項為a1，公差為d，那么a1

2、al0d，a2a11d，a3al2d，a4a13d， an?歸納：an a1（n1）d這里采用的是不完全歸納法結(jié)論正確（這個結(jié)論的正確性，后面我們將給出證明）由數(shù)列的通項公式得歸納：，但，這里采用的是不完全歸納法，結(jié)論不正確說明：完全歸納法得出的結(jié)論是正確的，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，但通過對問題進(jìn)行探索而提高數(shù)學(xué)能力十分重要2. 數(shù)學(xué)歸納法：是證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法它的奇妙之處在于能夠歸納出無窮多個特殊情況，從而得出一般結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟如下：證明當(dāng)取第一個時結(jié)論正確；（歸納基礎(chǔ)）假設(shè)當(dāng)（）時，結(jié)論正確，證明當(dāng)時，結(jié)論成立（遞推依據(jù)）根據(jù)、可知對于任意命題正確（下

3、結(jié)論） 例如，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果數(shù)列an是一個等差數(shù)列，那么an a1（n1）d對一切都成立證明：（1）當(dāng)n1時，左邊a1，右邊a10da1，等式成立（2）假設(shè)nk時等式成立，即ak a1（k1）d 那么 ak1ak d a1（k1）dd a1（k1）1d這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對一切都成立說明：數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)命題的一種方法，它是一種完全歸納法，是對不完全歸納法的完善證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”；第二步解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性）運用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題需注意以下幾點：（1）兩個步驟缺一不可：例如，

4、若對等差數(shù)列an的通項錯誤地歸納為an （n1）d，則第二步的證明如下： 假設(shè)nk時等式成立，即ak （k1）d，那么 ak1ak d （k1）dd （k1）1d 這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立但當(dāng)n1時，a10，顯然，并非所有等差數(shù)列an的首項都為0，推理就失去了基礎(chǔ)，不能證明結(jié)論的正確性（2）在第一步中，n的初始值不一定從1取起，也不一定只取一個數(shù)，證明應(yīng)視具體情況而定；（3）第二步證明時，必須使用歸納假設(shè)，否則就會打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，造成推理無效；（4）證明成立時，要明確求證的目標(biāo)形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便使用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng)時的結(jié)論，這樣就能有

5、效減少論證的盲目性我們可用數(shù)學(xué)歸納法來證明與正整數(shù)有關(guān)的等式及不等式問題，尤其是用其他方法難以下手時才用數(shù)學(xué)歸納法往往有效【解題方法指導(dǎo)】例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：135（2n1） n2分析135（2n1）n是由無數(shù)命題組成：1號命題：112號命題：132k號命題：135（2k1）k k1號命題：135（2k1）（2k1）（k1）怎樣驗算n1時，等式成立?如何實現(xiàn)nk到nk1的過渡?得到什么式子才能稱nk1時等式成立?書寫要體現(xiàn)“兩個步驟，一個結(jié)論”的模式證明：（1）當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，等式成立 （2）假設(shè)nk時等式成立，即135（2k1） k2那么 135（2k1）2（k1）1 k22（

6、k1）1 k22k1（k1）2這就是說，當(dāng)nk1時，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對任何都成立例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被14整除分析，而9514 ，將其一般化，即：能被xy整除下面我們先證能被xy整除證明：（）當(dāng)n1時，能被xy整除；（2）設(shè)nk（k1，k）時，能被xy整除那么當(dāng)nk1時（想一想，為什么這樣變形？）與都能被xy整除能被xy整除，即nk1時，命題成立根據(jù)（1），（2）可知，能被xy整除 當(dāng)取x9，y5時，有能被95整除，即能被14整除評述：此例的證法體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)方法，避免了較大數(shù)的運算【考點突破】【考點指要】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)n的命題的一種方法，在高等

7、數(shù)學(xué)中有重要的用途，因而成為高考的熱點之一歷年高考中所占的分值為510分，多以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題、填空題形式出現(xiàn)高考試題，不但要求用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求善于歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要【典型例題分析】例1. （2006重慶卷理22題）數(shù)列an滿足（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不等式，其中無理數(shù)e2.71828（）證明：（1）當(dāng)n2時，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即那么 這就是說，當(dāng)時不等式成立根據(jù)（1）、（2）可知：成立（）證略例2. （2005

8、江西卷理21題）已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，且滿足。（1）證明；（2）求數(shù)列的通項公式an解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n1時， ，命題正確2假設(shè)nk時有則時， 而，又時命題正確由1和2知，對一切nN時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n1時，； 2假設(shè)nk時有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有 即也即當(dāng)nk1時 成立，所以對一切。 （2）下面來求數(shù)列的通項：，又，所以歸納小結(jié) 歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法； 數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個步驟，一個結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸

9、納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無限【綜合測試】一、選擇題：1. 數(shù)列1，13，135，1357，的一個通項公式為（ ）（A）（B）（C）（D）2. 設(shè)凸n邊形有f（n）條對角線，則凸n1邊形的對角線的條數(shù)f（n1）為（ ）（A）f（n）n1 （B）f（n）n （C）f（n）n1 （D）f（n）n23. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為條時，第一步驗證n等于（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）04. 某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk時，該命題成立，那么可推得nk1時命題也成立，現(xiàn)在當(dāng)n5時，該命題不成立，那么可推得（ ）（A）當(dāng)n

10、6時該命題不成立 （B）當(dāng)n6時該命題成立（C）當(dāng)n4時該命題不成立 （D）當(dāng)n4時該命題成立二、填空題：5. 已知求出，并猜想6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，從k到k1時，不等式左端增加的項是_三、解答題7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被133整除9.（2005湖南卷理20題） 自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*，且x10不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c （）求xn1與

11、xn的關(guān)系式； （）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（）設(shè)a2，b1，為保證對任意x1（0，2），都有xn0，nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論綜合測試答案一、選擇題：1. D 提示：2. C 提示：凸n1邊形的對角線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向其它點引得對角線的條數(shù)（n2）條，再加上原來有一邊成為對角線，共有f（n）n1條對角線3. C4. C 提示：依題意當(dāng)n4時該命題成立，則當(dāng)n5時，該命題成立而當(dāng)n5時，該命題不成立卻無法判斷n6時該命題成立不成立二、填空題：5. 提示： 猜想6. 三、解答題7. 證明：（1）當(dāng)n1時，左邊右邊，等式成立（2）假設(shè)nk時等式成立，即則當(dāng)nk1時，左邊右邊由（1）和（2）可知，等式對任何都成立8. 證明：（1）當(dāng)n1時原式133能被133整除（2）假設(shè)當(dāng)nk時命題成立即能被133整除，則nk1時，有由歸納假設(shè)，能被133整除，而也能被133整除，所以能被133整除即命題nk1時命題成立由（1）（2）得命題成立9. 解（I）從第n年初到第n1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為， （II）若每年