導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(含標準答案)

1、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用導數(shù)在研究函數(shù)中的應用【自主歸納，自我查驗】一、自主歸納1 .利用導函數(shù)判斷函數(shù)單調性問題函數(shù)f(x)在某個區(qū)間(a,b)內的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系若,則f(x)在這個區(qū)間上是增加的.(2)若,則f(x)在這個區(qū)間上是減少的.若_,則f(x)在這個區(qū)間內是常數(shù).2 .利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的一般步驟求f'x).(2)在定義域內解不等式f'x)>0或f'x)<0.(3)根據(jù)結果確定f(x)的單調區(qū)間.3 .函數(shù)的極大值在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內，函數(shù)y=f(x)在任何一點白函數(shù)值都x0點的函數(shù)值,稱點xO為函數(shù)y=f(x)的

2、極大值點，其函數(shù)值f(xO)為函數(shù)的極大值.4 .函數(shù)的極小值在包含xo的一個區(qū)間(a,b)內，函數(shù)y=f(x)在任何一點白函數(shù)值都x0點的函數(shù)值,稱點x0xo為函數(shù)y=f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.5 .函數(shù)的最值與導數(shù)1 .函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都f(xo).2 .函數(shù)y=f(x)在a,b上的最小值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都f(xo).二、自我查驗1 .函數(shù)f(x)=x+elnx的單調遞增區(qū)間為()A.(0,+8)B.(8,0)C.(&q

3、uot;0)和(0,+8)d.R2 .若函數(shù)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的單調增函數(shù)，則m的取值范圍是.3 .函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f'(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點()A.1個B.2個C.3個D.4個4.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9在x=3時取得極值，則a等于()A.2B.3D. 55.函數(shù)yln x的最大值為(B- e【典型例題】考點一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【例1】(2015高考全國卷n )已知函數(shù)f(x)= ln x+ a(1 x).討論f(x)的單調性;(2)當f(x)有最大值，且最

4、大值大于2a 2時，求a的取值范圍.【變式訓練1 已知f x x3 ax2 a2x 2.(1)若a 1時，求曲線y f x在點1,f 1處的切線方程;(2)若a 0,求函數(shù)f x的單調區(qū)間.C.4考點二利用導函數(shù)研究函數(shù)極值問題【例2】已知函數(shù)fxlnxax3,aR.(1)當a1時，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間.【變式訓練2】(2011安徽段忖:三卡，其中a為正實數(shù).當a=4時，求f(x)的極值點;1十a(chǎn)x3考點三利用導函數(shù)求函數(shù)最值問題2【例3】已知a為實數(shù)，fx(x4)(xa).(1)求導數(shù)fx；(2)若f10,求fx在2,2上的最大值和最小值【應用體驗】1.函數(shù)yxlnx的單調遞

5、減區(qū)間為()A.1,1B,0,C. 1,D.0,12 .函數(shù)fxxex的單調遞減區(qū)間是（）A.(1,)B.(,1)C.(,1)D.(1,)3 .函數(shù)fxx3ex的單調遞增區(qū)間是()A.0,3B.1,4C.2,D.,2、一，一24 .設函數(shù)fxlnx,則()x.1A-x一為fx的極大值點2r1，,，一，B.x一為fx的極小值點2C.x2為fx的極大值點D.x2為fx的極小值點325 .函數(shù)f（x）2x3xa的極大值為6,那么a的值是（）A.0B.1C.5D.6【復習與鞏固】A組夯實基礎一、選擇題1.已知定義在 R上的函數(shù)f x ,其導函數(shù)x的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）19B.fbf

6、afeD. fcfefd2.函數(shù)f xx2 aln x在x 1處取得極值，則a等于（A.2B.2C.4D.43 .函數(shù)fxexx(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間1,1上的最大值是()A.1+-B.1eC.e+1D.e-1二、填空題4 .若函數(shù)fxx3xc 2 3x ax .5.右函數(shù)f x x 在x 0處取得極值，則 a的值為.e6.函數(shù)f(x) ex x在1,1上的最小值是 . 三、解答題 2，一.7.已知函數(shù)f x x In x,求函數(shù)f x的單倜區(qū)間x8.已知函數(shù)f x ax,x 1 .In x(1)若f x在1,上單調遞減，求實數(shù) a的取值范圍;若a 2,求函數(shù)f x的極小值.mx1是R上

7、的單調增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是B組能力提升、選擇題21n數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是3在其定義域內的一個子區(qū)間a 1,a 1內不是單調函2)B.5141,2D.1,22 .若函數(shù)y2ax0,1內無極值，則實數(shù) a的取值范圍是(B.,0,0D.3 .若函數(shù)f1,1上有最大值3,則該函數(shù)在 1,1上的最小值是()1212二、填空題4 .已知函數(shù)1 f(x)=2x2 + 2ax ln x,1若f(x)在區(qū)間32上是增函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍為5 .設x1,x2是函數(shù)f(x)=x32ax2+a2x的兩個極值點，若x1<2<x2,則實數(shù)a的取值范圍是6 .若函數(shù)f(x)=x2-ex-ax在

8、R上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是三、解答題7 .已知函數(shù)f(x)=x21nx-x+1,g(x)=ex(21nx-x).(1)若函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求g(x)的最大值.8 .設函數(shù)f(x)=(x1)exkx2(其中kCR).(1)當k=1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)當kC0,+8)時，證明函數(shù)f(x)在R上有且只有一個零點.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用標準答案一.自主歸納1.(1)f'(x)>0(2)f'(x)<0(3)f'(x)=03.小于4 .大于極值5 .不超過不小于二.自我查驗1 .解析：函數(shù)定義域為

9、(0,+00),f'(x)=1+e>0,故單調增區(qū)間是(0,+00).x答案：A2 .解析：=f(x)=x3+x2+mx+1,f'(x)=3x2+2x+m又f(x)在R上是單調增函數(shù)，f'(x)>0包成立，.A=412m<0,即m>；3答案：1,+0033 .解析：導函數(shù)f'(x)的圖象與x軸的交點中，左側圖象在x軸下方，右側圖象在x軸上方的只有一個，故選A.答案：A4 .解析：f'(x)=3x2+2ax+3,由題意知f'(3)=0,即3X(3)2+2X(-3)a+3=0,解得a=5.答案：D5.A【解析】ylnxy1_n

10、x,令y1ln-x0xe,當x(0,e)時函xxx數(shù)單調遞增，當x(e,)時函數(shù)單調遞減，ymax-e1故選Ae'三.典型例題1_一,【例題1】(1)f(x)的止義域為(0,+oo),f(x)=-a.右a<0,則f(x)>0,x所以f(x)在(0,+8)單調遞增.若a>0,則當xC0,1時，f'(x)>0；a當xe1,+8時，f'(x)<0.所以f(x)在0,1單調遞增，aa，1、，、在+00單調遞減.a1一(2)由(1)知，當a00時，乂)在(0,+8)無最大值；當a>0時，£")在乂=-處a取得最大值，最大值為

11、f1=ln1+a11=lna+a-1.aaa1一一因止匕f二>2a2等價于Ina+a1<0.a令g(a)=lna+a1,則g(a)在(0,+00)單調遞增，g(1)=0.于是，當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1).【變式訓練1(1)當a1時，fxx3x2x2,fx3x22x1,切線斜率為k f 14 ,又f 13, 切點坐標為1,3 , 所求切線方程為y 3 4 x 1 ,即 4x y 1 0.f xQ a 0, 33x2 2ax a2x a 3x a ,由 f xa.由f x 0,得x a或x a,由

12、f30 ,得 x a 或 x -.3x 0,得 a x -.3函數(shù)f x的單調遞減區(qū)間為a, a ,單調遞增區(qū)間為311x【例題2(1)當a1時，fxlnxx3,fx-1x0,xx令fx0,解得0x1,所以函數(shù)fx在(0,1)上單調遞增；令f x 0,解得x 1 ,所以函數(shù)f x在1,上單調遞減;f x - a. x上包成立，所以函數(shù)f x在0, 上單調1一 1x 1 ,所以函數(shù)f x在0,；上單調遞增;所以當x1時取極大值，極大值為f12,無極小值.(2)函數(shù)fx的定義域為0,1當a0時，f(x)-a0在0,x遞增；當a0時，令fx0,解得01一.1令fx0,解得x二所以函數(shù)fx在，上單調遞

13、減.綜上所述，當a0時，函數(shù)fx的單調增區(qū)間為0,;當20時，函數(shù)fx1、一，、,的單調增區(qū)間為0,-,單調減區(qū)間為a【變式訓練2】解對f(x)求導得貝U 4x28x + 3 = 0,一x1+ax22axr4rt一f(x)=e'1+ax22.當a=3時，右f(x)=0,【例題3】1)f' x 2x(xa) (x24)3x22ax(2)由 f 1f(x)(x24)(x2)12，3x1x2 4x2f( 2)fmax(x)3x2f(2)f( 1)16920 5509 62750fmin (x) 27i31一一解得x1=2,x2=2.結合，可知x(一°°,12)12

14、13(2,2)323(1+OO)f'(x)十0一0十f(x)極大值極小值1J31所以x1=2是極小值點，x2=2是極大值點f(x)在R上單調遞增,所以當 x ( ,ln( 2a)【變式訓練3】1)當a0時，函數(shù)f(x)ex2a0當a0時，f(x)ex2a,令ex2a0,得xln(2a)時，f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞減；當x(ln(2a),)時，f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞增.(2)由(1)可知，當a0時，函數(shù)f(x)ex2ax0,不符合題意.當a0時，”乂)在(，ln(2a)上單調遞減，在(ln(2a),)上單調遞增.當ln(2a)1,IP|a0時，f(x)最小值為f(1)2ae

15、.e.解2ae0,得a符合題意.2e當ln(2a)1,即a萬時，f(x)最小值為f(ln(2a)2a2aln(2a),解2a2aln(2a)0,得ae,不符合題意.應用體驗：1 .D【解析】函數(shù)的定義域為0,，令y所以x 0,1 ,故選D.考點：求函數(shù)的單調區(qū)間.2 .A【解析】導數(shù)為f x ex x ex區(qū)間為1,.考點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間.3 .C【解析】f x ex x 3 ex ex x所以函數(shù)f x的單調增區(qū)間為2,4 .【解析】f x 今注，由f x x x當0 x 2時，f x 0, f x遞減,1 x 11 0,解得x 0,1 ,又x 0, x x1 xex,令f x 0

16、,得x 1 ,所以減2 ,令 f x ex x 20,解得 x 2,.故選C.x 0得x 2,又函數(shù)定義域為0,當x 2時，f x 0, f x遞增，因此x2是函數(shù)fx的極小值點.故選D.考點：函數(shù)的極值點.5.D【解析】Qf(x)2x33x2a,fx6x26x6xx1,令fx0,可得x0,1,容易判斷極大值為f0a6.考點：函數(shù)的導數(shù)與極值.復習與鞏固A組1.C【解析】由fx圖象可知函數(shù)fx在，c上單調遞增，在c,e上單調遞減，在e,上單調遞增，又a,b,c,c，且abc,故fcfbfa.考點：利用導數(shù)求函數(shù)單調性并比較大小.2.B【解析】fx2xa,由題意可得f121a2a0,a2.故選B

17、.x1考點：極值點問題.3.D【解析】fxex1,令fx0,得x0.1.11又f0e001,f1e11,f111，且e11-e2=e 2e e0,所以f1,故選D.考點：利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值4.一,3【解析】由題意得f(x)0在R上恒成立，則fx3x22xm0,即m3x22x包成立.令gx3x22x,則mgxmax,因為gx3x22x為R上的二次函所以gxmax5.0【解析】x26xae3xx2eaxe2c3x6axxe由題意得0.考點：導數(shù)與極值.6.1【解析】因為f（x）e0,f(x)0x0,所以f(x)在1,0單調遞減，在0,1單調遞增，從而函數(shù)f(x)ex*在1,1上的最小值

18、是f(0)e001.考點：函數(shù)的最值與導數(shù).7.【解析】1x2lnx的定義域為0,21-，令fx0,貝Ux1或1（舍去）.當01時，fx0,fx遞減，當x1時,fx0,fx遞增,的遞減區(qū)間是0,1,遞增區(qū)間是1,考點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間.,、18.(1)a1(2)44、e【解析】（1）函數(shù)fxax,xlnxlnx1lna,由題意可得0在x1,上包成立，1ln2x1lnx1lnx1,lnx0,1.一一10時，函數(shù)t2lnx2(2)當 a 2時，f xxlnx121nx2x,fx2lnxInx1 （舍去），即x ee.令fx0,得21n2xInx10,解彳#1nx2或Inx2當ixve時，f

19、xo,當xve時，fxo,fx的極小值為fee4n.B組1.D13【解析】因為函數(shù)fxx211nx3在區(qū)間a1,a1上不單調，所以22,fx2x4x1在區(qū)間a1,a1上有零點，2x2x,，i1.由f x 0,得x ,則2a10,31 得1a3,故選D.a1a1,22考點：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.0 ,所以y x3 2ax a在0,1上單調2.C【解析】y3x22a,當a0時，y遞增，在0,1內無極值，所以a0符合題意；當a0時，令y0,即02c八右刀/曰6a.6a也6a6a3x2a0,解得x1,x2，當x,U,時，3 333y0,當x強，恒時，y0,所以yx32axa的單調遞增區(qū)間為33限等

20、，單調遞減區(qū)間為手手，當x好時原函數(shù)取得極大值，當x退時，原函數(shù)取得極小值，要滿足原函數(shù)在0,1內無極3值，需滿足年1,3U -2,解得ae.綜合得，a的取值范圍為,02故選C.考點：導函數(shù)，分類討論思想3.C【解析】fx3x23x3xx1,當fx0時，x1或x0,當fx0時，0x1,所以fx在區(qū)間1,0上函數(shù)遞增，在區(qū)間0,1上函數(shù)遞減，所以當x0時，函數(shù)取得最大值f0a3,則fxx33x23,所以21 5一，一一1f11,f15,所以最小值是f11.2 22考點：利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.一一一1,11,4.解析：由題意知f(x)=x+2a->0在4，2上恒成立，即2a>

21、x+-在x3x2 上恒成立，=一x+max="|,.2a"|,即a1*3 x333答案：4,+0035.解析：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及不等式的解法.由f'(x)=3x2a>2,4ax+a2=0得x1=二，x2=a.又x<2<x2,a2<a<6.3<232答案：(2,6)6 .解析：=f(x)=x2exax,f'(x)=2xexa,.函數(shù)f(x)=x2exax在R上存在單調遞增區(qū)間，.f'(x)=2x-ex-a>0,即a02xex有解，設g(x)=2xex,則g'(x)=2ex,令g'(

22、x)=0,解得x=ln2,則當x<ln2時，g'(x)>0,g(x)單調遞增,當x>ln2時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，.當x=ln2時，g(x)取得最大值，且g(x)max=g(ln2)=2ln22,aw2ln2-2.答案：(8,2in2-2)7 .解：(1)由題意得x>0,f'(x)=12+4xx由函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，得f'(x)>0,即a>2x-x2=-(x-1)2+1(x>0).因為一(x1)2+1&1(當x=1時，取等號),所以a的取值范圍是1,+OO).2 2)g'(x)=ex21+2lnxx,由(1)得a=2時，f(x)=x2lnx-2+1,xx且f(x)在定義域上是增函數(shù)，又f(1)=0,所以，當x(0,1)時，f(x)<0,當xC(1,+8)時，f(x)>0.所以，當x(0,1)時，g'(x)>0,當x(1,+8)時,g'(x)<0.故當x=1時，g(x)取得最大值一e.8 .解：(1)當k=1時，f(x)=(x-1)ex-x