【原創(chuàng)】廣東省中山市2020屆高三上學(xué)期期末試題（數(shù)學(xué)文）及答案

1、絕密啟用前2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一、單選題1集合，則（ ）ABCD2已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD53計(jì)算的結(jié)果為（ ）ABCD4“”是直線與圓相切的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)是（ ）ABCD6若,則( )ABCD

2、7下圖是某公司2018年1月至12月空調(diào)銷售任務(wù)及完成情況的氣泡圖，氣泡的大小表示完成率的高低，如10月份銷售任務(wù)是400臺(tái)，完成率為90%，則下列敘述不正確的是（ ）A2018年3月的銷售任務(wù)是400臺(tái)B2018年月銷售任務(wù)的平均值不超過600臺(tái)C2018年第一季度總銷售量為830臺(tái)D2018年月銷售量最大的是6月份8已知滿足不等式組則的最小值為（ ）A2BCD19已知函數(shù)的最小正周期是，若，則（ ）ABC1D-110我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵

3、，若，當(dāng)陽馬體積最大時(shí)，則塹堵的外接球體積為（ ）ABCD11已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最小值為（ ）A9B12C16D1812已知函數(shù)（其中無理數(shù)），關(guān)于的方程有四個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD第II卷（非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分二、填空題13等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，是方程的兩根，則：_.14如圖所示，已知正方形，以對(duì)角線為一邊作正，現(xiàn)向四邊形區(qū)域內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率為_15已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_.16已知函數(shù)，若有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_評(píng)卷人得分三、解答題17設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1

4、）證明為等比數(shù)列；（2）判斷，是否成等差數(shù)列？并說明理由.18為檢查某工廠所生產(chǎn)的8萬臺(tái)電風(fēng)扇的質(zhì)量，抽查了其中20臺(tái)的無故障連續(xù)使用時(shí)限（單位：小時(shí)） 如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283分組頻數(shù)頻率頻率/組距總計(jì)0.05（1）完成頻率分布表，并作出頻率分布直方圖；（2）估計(jì)8萬臺(tái)電風(fēng)扇中有多少臺(tái)無故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280小時(shí)；（3）用組中值（同一組中的數(shù)據(jù)在該組區(qū)間的中點(diǎn)值）估計(jì)樣本的平均無故障連續(xù)使用時(shí)限.19已知的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，.（1）若，求；（

5、2）若，試判斷的形狀.20如圖1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由21已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若都有，求證：.22在直角坐標(biāo)系中,曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程;(2)若分別是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.23已知函數(shù).（1）若不等

6、式的解集，求實(shí)數(shù)的值.（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.試卷第5頁，總6頁參考答案1D【解析】由題意得，選D2A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得的模.【詳解】依題意，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)值；再根據(jù)正弦的差角公式合并即可得到解?！驹斀狻克赃xB【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、正弦差角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。4C【解析】【分析】由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，使得圓心到直線的距離等于圓的半徑，得到的值，即可得到結(jié)論.【詳解】由圓，可得

7、圓心為，半徑直線與圓相切，“”是直線與圓相切的充要條件，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了充要條件的判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，以及充要條件的判定，其中熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.5C【解析】【分析】用面面平行的性質(zhì)判斷的正確性.利用線面相交來判斷的正確性，利用線線平行來判斷的正確性.【詳解】對(duì)于，連接如圖所示，由于，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知平面平面，所以平面.對(duì)于，連接交于，由于是的中點(diǎn)，不是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)與相交，所以直線與平面相交.對(duì)于，連接，則，而與相交，即與平面相交，所以與平面相交.對(duì)于，連接，則，

8、由線面平行的判定定理可知平面.綜上所述，能得出平面的圖形的序號(hào)是.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】分析：三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的比值都是，因此三者可化為的形式，該函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到三個(gè)對(duì)數(shù)的大小關(guān)系.詳解：，令，則在上是單調(diào)增函數(shù).又，所以即.故選D.點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)的大小比較，要觀察不同對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系，還要關(guān)注對(duì)數(shù)本身的底數(shù)與真數(shù)的關(guān)系，從而找到合適的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小.7D【解析】【分析】根據(jù)圖形中給出的數(shù)據(jù)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析判斷后可得錯(cuò)誤的結(jié)論【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖可得3月份的銷

9、售任務(wù)是400臺(tái)，所以A正確對(duì)于選項(xiàng)B，由圖形得2018年月銷售任務(wù)的平均值為，所以B正確對(duì)于選項(xiàng)C，由圖形得第一季度的總銷售量為臺(tái)，所以C正確對(duì)于選項(xiàng)D，由圖形得銷售量最大的月份是5月份，為800臺(tái)，所以D不正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中的識(shí)圖、用圖和計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從圖中得到相關(guān)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)要求進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題8D【解析】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，因?yàn)樗詚表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到直線x+y-1=0距離的倍，由可行域可知點(diǎn)A（2,0）到直線x+y-1=0的距離最短，故故選D.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到的幾何意義，要找到的幾何意義，必須變形，所以z表示可行域內(nèi)一點(diǎn)到直線x+y-1=0距

10、離的倍.突破了這一點(diǎn)，后面的解答就迎刃而解了.9D【解析】【分析】根據(jù)的最小正周期求得，由列方程，利用誘導(dǎo)公式求得.【詳解】由于的最小正周期為，所以，所以.所以.由得.所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的周期求參數(shù)，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】【分析】根據(jù)體積的最大值求得此時(shí)的長，判斷出球心的位置，求得的外接球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】依題意可知平面.設(shè)，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.依題意可知是以為斜邊的直角三角形，所以塹堵外接球的直徑為，故半徑.所以外接球的體積為.特別說明：由于平面，是以為斜邊的直角三角形，所以塹堵外接球的直徑為為定值，即無論陽馬體積是否取

11、得最大值，塹堵外接球保持不變，所以可以直接由直徑的長，計(jì)算出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的體積.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的體積的求法，考查四棱錐體積最大值的計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由得，所以.所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法屬于中檔題.12C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，由此畫出的圖像.令，將方程有四個(gè)不等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為在上各有一實(shí)根來

12、求解，結(jié)合二次函數(shù)的根的分布列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?且.所以在上遞增，在上遞減，且，由此畫出的圖像如下圖所示.令，則的單調(diào)性與相同，且.關(guān)于的方程有四個(gè)不等的實(shí)根，所以，即在上各有一實(shí)根.令，所以，即，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查根據(jù)方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.1352【解析】【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系，等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，求得的值.【詳解】由于，是方程的兩根，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系

13、，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14【解析】分析：設(shè)正方形的邊長為2，則，根據(jù)為正三角形，分別求出和陰影部分面積，利用面積比即可求得概率.詳解：設(shè)正方形的邊長為2，則.為正三角形陰影部分面積為向四邊形區(qū)域內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率為故答案為.點(diǎn)睛：（1）當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，要考慮使用幾何概型求解；（2）利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域；（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性，基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的的區(qū)域是

14、有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.15【解析】【分析】首先根據(jù)，求得，由此利用夾角公式計(jì)算出向量與的夾角的余弦值，由此求得向量與的夾角.【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，即，即.所以，由于，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模、數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量夾角公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.16【解析】，函數(shù)在R上為增函數(shù)，由題意得，。，解得。實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案：點(diǎn)睛：本題考查了用函數(shù)單調(diào)性解不等式的問題，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察問題分析問題的能力，由題意得到是解題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上將不等式化為的形式，下一步需要由函數(shù)的單調(diào)性求解，在分析可得函數(shù)為增函數(shù)，所以根據(jù)單調(diào)性的定義將函

15、數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式求解。17（1）證明見解析 （2）成等差數(shù)列，理由見解析【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系求得，通過計(jì)算，證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由分組求和法求得，證得，所以，成等差數(shù)列.【詳解】（1）證明：，由題意得，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1），.，即，成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，考查分組求和法，考查等差數(shù)列的證明，屬于基礎(chǔ)題.18（1）見解析 （2）3.6萬臺(tái) （3）269小時(shí)【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得頻數(shù)、頻率以及頻率/組距，填寫好表格并畫出頻率分布直方圖.（2）計(jì)算出無故障連續(xù)使用時(shí)

16、限不低于280小時(shí)的頻率，再乘以萬，求得估計(jì)8萬臺(tái)電扇中有3.6萬臺(tái)無故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280小時(shí).（3）利用每組中點(diǎn)值成立對(duì)應(yīng)的頻率，然后相加，求得樣本的平均無故障連續(xù)使用時(shí)限的估計(jì)值.【詳解】（1）頻率分布表及頻率分布直方圖如下所示：分組頻數(shù)頻率頻率/組距10.050.002510.050.002520.100.005030.150.007540.200.010060.300.015020.100.005010.050.0025總計(jì)201.000.05（2）（萬）.答：估計(jì)8萬臺(tái)電扇中有3.6萬臺(tái)無故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280小時(shí).（3）（小時(shí)）.答：樣本的平均無故障連續(xù)使用時(shí)限為26

17、9小時(shí).【點(diǎn)睛】本小題主要考查繪制頻率分布直方圖，考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻率、頻數(shù)，平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19（1） （2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值.（2）結(jié)合已知條件得到， 結(jié)合為銳角，求得，由此證得三角形是直角三角形.【詳解】（1），或（舍去），.（2），或，為銳角.（舍去），為直角三角形.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20（1）證明見解析（2）線段AB上存在滿足題意的點(diǎn)M，且【

18、解析】【分析】（1）先計(jì)算得BEAE，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得結(jié)果，（2）先分析確定點(diǎn)M位置，再取D1E的中點(diǎn)L，根據(jù)平幾知識(shí)得AMFL為平行四邊形，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果.【詳解】(1)證明連接BE，ABCD為矩形且ADDEECBC2，AEB90°，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)解AMAB，取D1E的中點(diǎn)L，連接AL，F(xiàn)L，F(xiàn)LEC，ECAB，F(xiàn)LAB且FLAB，F(xiàn)LAM，F(xiàn)L=AMAMFL為平行四邊形，MFAL，因?yàn)镸F不在平面AD1E上， AL平面AD1E，所以MF平面AD1E.故線段AB上存在滿足題意的點(diǎn)M，且.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及面面垂直性質(zhì)定理，考查基本分