第一型曲面積分ppt課件

1、1 1 第一型曲面積分第一型曲面積分 第一型曲面積分的典型物理背景是求第一型曲面積分的典型物理背景是求物物質(zhì)曲面的質(zhì)量質(zhì)曲面的質(zhì)量. 由于定積分、重積分、第由于定積分、重積分、第一型曲線積分與第一型曲面積分它們同一型曲線積分與第一型曲面積分它們同屬屬“黎曼積分黎曼積分”，因此具有相同實(shí)質(zhì)的，因此具有相同實(shí)質(zhì)的性質(zhì)性質(zhì).一、第一型曲面積分的概念一、第一型曲面積分的概念二、第一型曲面積分的計算二、第一型曲面積分的計算 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 示小曲面塊示小曲面塊iS(,)iii iS的面積，的面積，為為中任意一點(diǎn)，中任意一點(diǎn)， 12,nTSSS.,.,iS 其中其中 為曲面塊的分割，為曲面塊的分割，

2、表表 一、第一型曲面積分的概念類似第一型曲線積分類似第一型曲線積分, 當(dāng)質(zhì)量分布在某一曲面塊當(dāng)質(zhì)量分布在某一曲面塊 S， 量為極限量為極限 i| |01lim(,),niiiTiS |TTiS為分割為分割 的細(xì)度，即為諸的細(xì)度，即為諸 中的最大直徑中的最大直徑. 且密度函數(shù)且密度函數(shù) 在在 S上連續(xù)時，曲面塊上連續(xù)時，曲面塊 S 的質(zhì)的質(zhì) ( , , )x y z 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 iS(,)(1, 2,),iiiin 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)若存在極限若存在極限 | |01lim(,),niiiiTifSI 定義在定義在 S 上的函數(shù)上的函數(shù). 對曲面對曲面 S 作分割作分割 T, 它把它把

3、 S 分成分成 n 個小曲面塊個小曲面塊記小曲面塊記小曲面塊 (1, 2, ),iiSinS 以以iS1| maxiinTS 的的直直徑徑 ，的面積的面積, 分割分割 T 的細(xì)度的細(xì)度 在在 定義定義1 設(shè)設(shè) S 是空間中可求面積的曲面是空間中可求面積的曲面, 為為 ( , , )f x y z且與分割且與分割 的取法的取法 無關(guān)無關(guān), 則稱此極限為則稱此極限為 (,)iiiT 及及上的第一型曲面積分上的第一型曲面積分, , 記作記作 ( , , )f x y zS在在 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 ( , , )d.(1)SIf x y zS于是于是, 前述曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為前述曲面

4、塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為: ( , , )1f x y z dSS特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) 時時,曲面積分曲面積分 就是曲面就是曲面 塊塊 S的面積的面積. ( , , )d.Smx y zS 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 二、第一型曲面積分的計算第一型曲面積分需要化為二重積分來計算第一型曲面積分需要化為二重積分來計算. 定理定理 22.1 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面:( , ) ,( , ),S zz x yx yD為為 S 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 那么那么 ( , , )f x y z22( , , )d( , , ( , ) 1d d .xySDf x y zSf x y z x yzzx

5、y(2)( ( 定理證明與曲線積分的定理定理證明與曲線積分的定理20.120.1相仿相仿, , 不再詳不再詳述述. ). ) 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 1d,SSzS其其中中例例1 計算計算 2222xyza是是球球面面被被 平面平面 (0)zhha所截所截 得的頂部得的頂部 ( (圖圖22-1). 22-1). xyhOza221 圖圖為為 定義域定義域 S222,zaxyD解解 曲面曲面 的方程為的方程為 圓域圓域 2222.xyah由于由于 222221,xyazzaxy 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 222dd dSDSax yzaxy因此由公式因此由公式 (2) 求得求得 222202dahra

6、rar 2 ln.aah2222200ddahar rar 22220 ln()ahaar 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 例例2 計算計算 ()d ,SxyzxyzSS22zxy其中其中 為圓錐面為圓錐面 被圓柱面被圓柱面 222xyax 所割所割 下的部分下的部分 (圖圖22-2). 解解 對于圓錐面對于圓錐面 22,zxy 有有 222 圖圖yxO22zxy 222xyax z2222,xyxyzzxyxy 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 ()222()d d .xyDxyxyxyx y()dSIxyzxyzS2212;xyzz因而因而用二重積分的極坐標(biāo)變換用二重積分的極坐標(biāo)變換, ,Sxy222():()

7、.xyDxaya 在在平面上的投影為平面上的投影為而而 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 2 cos32022(sin cossincos )ddatItttttrr44224 2(sin cossincos )cosdattttt t45420648 2cos2.15atdta對于由參量形式表示的光滑曲面對于由參量形式表示的光滑曲面 ( , ),:( , ), ( , ),( , ),xx u vSyy u vu vDzz u v 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 在在S上第一型曲面積分的計算公式則為上第一型曲面積分的計算公式則為 2( ( , ), ( , ), ( , )d d ,(3)Df x u vy u

8、v z u vEGFu v( , , )dSf x y zS其中其中 222222,.uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 螺旋面螺旋面(圖圖22-3)的一部分的一部分: 0,:02.uaDv例例2 計算計算d,SIz S其中其中 S 為為 cos ,:sin , ( , ),xuvSyuvu vDzv解解 先求出先求出 223 圖圖Ozy( ,0,0)ax2 S 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 22222cossin1,uuuExyzvvsin cossin cos0,uvuvu vFx xy yz zuvvuvv 22222222sincos11;vvv

9、Gxyzuvuvu 然后由公式然后由公式 (3) 求得求得: 221.EGFu 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 22()d ,SJyzSS例例3 計算曲面積分計算曲面積分其中其中是球面是球面 2222.xyza解解 ( 解法一解法一) 記記 222001d dd1daDIvuu vv vuu2220121ln122auuuu 2221ln1.aaaa 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 22222222()2d dxyaa axx yaxy22220022cos2ddaararrar 2222222:,.Szaxyxya 122222()d()dSSJyzSyzS根據(jù)計算公式根據(jù)計算公式 (2), (2), 并使用極

10、坐標(biāo)變換并使用極坐標(biāo)變換, , 可得可得 2222221:,;Szaxyxya 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 222222222coscoscossinsin,Eaaaa sincos ,sinsin ,cos,xayaz ( , )0, 0,2. S( (解法二解法二 ) ) 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為按按 (3) 式計算如下式計算如下: 2202222daarar rar2224028d.3aaaattaat 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 222222(sinsincos)sin d dDJaaa 22sin cos sin cossin cos sin cos0,Faa 22222222sinsinsin

11、cossin,Gaaa 2422sinsin ;EGFaa 2422200d(sincoscos)sinda 242240182sincosd.33aa 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 22( , , ),( , , ), ( , , ).f x y zxg x y zyx y zS ( (解法三解法三 ) ) 令令 由于由于 關(guān)于平面關(guān)于平面 Sxy ( , , )x y z對稱對稱, 且在對稱點(diǎn)且在對稱點(diǎn) 與與 ( , , )y x zS ( , , )( , , ),f x y zg y x z 處有處有 因而因而 ( , , )d( , , )d ,SSf x y zSg x y zS22dd .SSxSyS即即 類似地類似地, 有有22dd .SSxSzS由此得到由此得到 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 222222()d()d3SSyzSxyzS224228d.333SaSaSa 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 質(zhì)量分布的密度函數(shù)為質(zhì)量分布的密度函數(shù)為 ( , , ).x y z 試導(dǎo)出曲面塊試導(dǎo)出曲面塊 S復(fù)習(xí)思考題 ( , ), ( , ),zz x yx