第18章一元二次方程及其解法

1、第18章 一元二次方程及其解法回顧與思考1一元二次方程的定義及其一般形式(1)定義：只含有 未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，且系數(shù)不為 0的 方程叫一元二次方程(2)一般形式： (3)若x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1x2，則x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根2一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化成一次方程，即降次(2)解一元二次方程的方法： 、 、 、 直接開(kāi)平方法：適合于解形如x2=p(p0)或(mx+n

2、)2=p(p0)得方程，根據(jù)平方根的意義，開(kāi)平方得x= 或mx+n= 配方法：配方法是一種以配方為手段，以開(kāi)平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程ax2bx+c=0(a0)的一般步驟是：一化：化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；二移：使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；三配：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值一半的平方；四變：化原方程為(x+m)2=n的形式；五開(kāi)：如果n0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果n0，則原方程無(wú)解公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過(guò)配方推導(dǎo)出來(lái)的一元二次方程ax2bx+c=0(a0)的求根公式是x= 公

3、式法的步驟是：一化：化原方程為一般形式；二算：確定a、b、c的值，并計(jì)算b24ac的值；三代：在b24ac0的情況下，把a(bǔ)、b、c的值代入求根公式求解因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法它的理論根據(jù)是兩個(gè)因式中至少要有一個(gè)等于0，因式分解法的步驟是：一移：將方程右邊化為0；二分：將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三化：令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，四解：解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解(3)選擇合適的方法解一元二次方程一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，即ax2+c=0，應(yīng)選用 法；若常數(shù)項(xiàng)為0，即ax2+bx=0，應(yīng)選用 法；

4、若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0 ，即ax2+bx+c=0，先化為一般形式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用 法，不然選用 法；不過(guò)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用 法也較簡(jiǎn)單公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的，因此在解方程時(shí)我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開(kāi)平方法”、“因式分解法”等簡(jiǎn)單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）方程中有括號(hào)時(shí)，應(yīng)先用整體思想考慮有沒(méi)有簡(jiǎn)單方法，若看不出合適的方法時(shí)，則把它去括號(hào)并整理為一般形式再選取合理的方法。3換元法”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它可以把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題去解決。在解高次方程、分式方程、

5、無(wú)理方程的過(guò)程中都可以應(yīng)用換元方法，其要點(diǎn)是把方程中的一些表達(dá)形式相同的部分看成一個(gè)整體并設(shè)新的字母表示，從而達(dá)到化簡(jiǎn)方程并把原方程化歸為已經(jīng)會(huì)解的一元一次或一元二次方程的目的。方法與技能【例1】(1)方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值(2)關(guān)于x的一元二次方程(a1) x2+x+a 21=0的一個(gè)根為0,則求a的值【例2】(1)用直接開(kāi)平方法解下列方程：(2x1)2=9 9(6x4)296=0(2)用配方法解下列方程：2x24x+5=0 3x25x2=0(3)用公式法解下列方程：2x2=3x+2 3x(3x2)+1=0(4)用因式分解法解下列方程：(x+1

6、)(x3)=5 (2x+3)22(2x+3)=8【例3】(1)你能用配方法求代數(shù)式3x2+6x5的最小值嗎？(2)求證：無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式3x25x+4的值恒大于x2+2x3的值【例4】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(x3)2+2x(x3)=0 (2)4(x1)2=9(2x+3)2 (3)(2x1)29=2(x+1)2【例5】閱讀材料，解答問(wèn)題： 為解方程(x21)25(x21)+4=0，我們可以將x2l看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2l=y，那么原方程可化為y25y4=0，解得y1 =1，y2=4當(dāng)y1=l時(shí)， x2l=1所以x2 =2所以x=±；當(dāng)y=4時(shí)，x21=4所以x2 =5

7、所以x=±,故原方程的解為x1=，x2= ，x3=，x4=；上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：(1)(x2+1)2=x2+3 (2) ()23()10=0 (3) x4x26 0演練與反饋一、慎重抉擇(每小題3分，共30分)1方程2x2=3(x6)化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ） A2，3，6 B2，3，18 C2，3，6 D2，3，62已知關(guān)于x的方程(a21)x2+(1a)x+a2=0，下列結(jié)論正確的是（ ）A當(dāng)a±1時(shí)，原方程是一元二次方程 B當(dāng)a1時(shí)，原方程是一元二

8、次方程C當(dāng)a 1時(shí)，原方程是一元二次方程 D原方程是一元二次方程3解方程(x+a)2=b得（ ） Ax=±a Bx=±a+ C當(dāng)b0時(shí)，x=a± D當(dāng)a0時(shí)，x=a±4將二次三項(xiàng)式x24x+1配方后得（ ） A(x2)2+3 B(x2)23 C(x+2)2+3 D(x+2)235若x24x+p=(x+q)2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q= 2 Cp= 4，q=2 Dp= 4，q= 26解方程(x+5)23(x+5)=0較簡(jiǎn)便的方法是（ ）A直接開(kāi)平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法7如果分式的值為0,則x值為（ ）A3或

9、1 B3 C1 D1或38三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x212x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為（ ）A14B12C12或14D以上都不對(duì)9如果關(guān)于x的方程x2k2+16=0和x23k12=0有相同的實(shí)數(shù)根,那么k的值是( )A. 7 B7或4 C4 D410方程x24x+3=0的解是( )Ax=±1或x=±3 B.x=1和x=3 C.x= 1或x=-3 D.無(wú)實(shí)數(shù)根二、仔細(xì)填空(每小題4分，共20分)11關(guān)于x的方程(mn)x2+mx+m=0，當(dāng)m、n滿足_時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)m、n滿足_時(shí)，是一元二次方程12(1)x2+3x+ =(x+ )2； (2)x

10、2x+ =(x )2.13已知y1=x29,y2=3x,當(dāng)x= 時(shí)，y1=y214若(x+y)(x+y+2)=8，則x+y= 15一個(gè)小球垂直向上拋的過(guò)程中，它離上拋點(diǎn)的距離h（m）與拋出后小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)有如下關(guān)系：h=24t5t2。經(jīng)過(guò) 秒后，小球離上拋點(diǎn)的高度是16m三、知識(shí)理解(每小題6分，共12分)16用配方法解下列方程：(1)x2+15=10x (2) 2x25x2=0 (3)3x2+4x+1=017用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(3x)2+x2=9 (2) 2(x5)2=x(x5) (3)(2x3)2=9(2x+3)2四、技能掌握(每小題6分，共12分)18解關(guān)于x的方程：(1)mnx2(m2+n2)x+mn=0(mn0,m2>n2) (2)()2+5()+6=019已知: (a2+b2)(a2+b23)=10 ，求a2+b2 的值五、問(wèn)題解決(每小題8分，共16分)20若規(guī)定兩數(shù)a、b通過(guò)運(yùn)算得4ab，即ab=4ab。如26=4×2×6=48(1)求35的值；(2)若xx+2x24=0，求x的值；(3)若無(wú)論x 是什么數(shù), 總有a x = x , 求a 的值.21.閱讀下列材料：關(guān)于x的方程：x+=c+的解為x1=c，x2=；x+=c+的解為x1=c，x2=；x+=c+的解為x1=c，x2=；(1)