圓心角定理講解

1、圓心角定理（弧、弦、圓心角關系定理 ）基本內容:1、在同圓或等圓中,相等的圓心角 所對的弧相等，所對的弦也相等。2、在同圓或等圓中,3、在同圓或等圓中,如果兩條弧相等，則它們所對的 圓心角相等，所對的弦相等。如果兩條弦相等，則它們所對的 圓心角相等，所對的弧相等。在理解時要注意:前提：在同圓或等圓中；條件與結論：在 兩條弧相等；兩條弦相等；兩個圓心角相等中，只要有一個成立, 則有另外兩個成立?；靖拍罾斫?1在同圓或等圓中，若的長度=的長度，則下列說法正確的個數是（）f 的度數等于門；山所對的圓心角等于門所對的圓心角；和是等弧;；所對的弦心距等于匸口所對的弦心距。A . 1個 B. 2個 C

2、. 3個 D . 4個2.如圖，在兩半徑不同的同心圓中,.AOB 二.A OB =60 ，則()（2題圖）C.D. V的長度：的長度3. 下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等弧；（4）經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸.(C) 3 個 (D) 4 個4. 已知弦AB把圓周分成1: 5的兩部分，這弦 AB所對應的圓心角的度數為5.在O O中，上的度數240，則的長是圓周的份.概念的延伸及其基本應用：1. 在同圓或等圓中，如果圓心角 BOA等于另一圓心角 COD的2倍，則下列式子中能 成立的是（）A. AB = 2CD B.

3、Sb C A<2D*XS = CD2. 在同圓或等圓中，如果 川：門，貝U AB與CD的關系是（）A . AB 2CD B . AB=2CD C . AB ： 2CD D . AB = CD3.在O O中，圓心角.AOB=90，點0到弦AB的距離為4,則O O的直徑的長為（）A. 4 ._2 B. 8.2 C. 24 D. 164.在O 0 中,兩弦 AB : CD，0M，ON分別為這兩條弦的弦心距，則0M，ON的關A . OM ON B . OM =0N C. OM : ON D .無法確定 15已知：O 0的半徑為4cm，弦AB所對的劣弧為圓的一，則弦AB的長為3AB的弦心距為 cm

4、.6.如圖，在O 0中，AB / CD，:的度數為45°,則/ COD的度數為.典型例題精析:例題1、如圖，已知：在O 0中，0A丄OB ,Z A=35 解：連結0C,在 Rt AOB 中，/ A=35 °:丄 B=55。，又 I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70 °,.的度數為 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20 I的度數為20° .說明：連結 OC,通過求圓心角的度數求解。此題是基本題目，目的是鞏固基礎知識例題2、如圖，已知：在O O中，- =2

5、 ，試判斷Z AOB與Z COD , AB與2CD之間的關系，并說明理由分析：根據條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是解：ZAOB=2 Z COD , AB<2CD ,理由如下：如圖，在O O上取一點 C '使=丨/ COD= Z DOC.爲=2& ,住=&+跳 AB=CC . Z AOB= Z CO C =Z COD+ Z DOC =2 Z COD 又在 CD C 中，CD+DC > CC' , CC <2CD,即卩 AB<2CD. 說明：證明兩條線段的不等關系，常常把兩條線段放到一個三角形中。此題進一步理解定理及其推論的應用條件，在

6、“相等”問題中的不等量.由廠=2丨可得Z AOB=2 Z COD是正確的，但由H =2 得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學生在學習中的遷移能力.例題3、如圖，已知：AB是O O直徑，M、N分別是 AO、BO的中點，CM丄AB , DN丄AB，求證:分析：要證弧相等，可以證弧對應的弦相等，弧對應的圓心角相等證法一：連結 AC、OC、OD、BD ,/ M、N分別是 AO、BO的中點，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD , =一 .證法二：連結OC、OD ,1 1 M、N 分別是 AO、BO 的中點， OM=AO, 0N= BO ,2 2/ OA

7、=OB , OM=ON , Rt COM 也 Rt DON ,/ COA= / DOB ,=Lt .證法三、如圖，分別延長/ M、N 分別是 AO、BOCM、DN 交O O 于 E、F,11的中點， OM=AO , ON= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,B又 CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF，一':丄=L匕一=丄=二，L 丄，. i =L.2 2說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活, 活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.培養(yǎng)學生靈例題4、如圖，C是O O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CD = CO ,若、的度數為40&#

8、176;,求匸的度數.分折：要求的度數，可求它所對的圓心角/BOE的度數，如圖作輔助線，通過等量轉換得出結果.解： 連OE、OD并延長DO交O O于F./ CD = CO ,/ OD = OE ,/ EOF= / E+ / ODE=80/ ODE = Z AOD = 40°./ E= / ODE = 40°.，/ BOF= / AOD = 40°,（例題4圖）B則/ BOE= / EOF + / BOF =80 ° +40 ° =120°,二的度數為120°.說明：此題充分體現了圓中的等量轉換 以及圓中角度的靈活變換. 例題

9、5、如圖，在O O中，直徑 AB垂直于CD并交CD于E;直徑MN交CD于F，且FO =FD =20E，求的度數.解連結0D .AB _CD 于 E，且 OF =20E./ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD ,EFO =30 , EOF =60 , 又 OF =FD.FDO = FOD =15AOD =75 ,/ AND = AC.LU的度數是150 .（例題6圖）說明：由于圓心角的度數與它所對的弧的度數相等，而我們對角是比較熟悉的，所以 求弧的度數的問題往往轉化為求它所對的圓心角度數的問題 例題6、已知：如圖，M、N分別是O O的弦AB、CD的中點，AB = CD，求證：一

10、AMN = . CNM .分析：由弦 AB=CD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關系定理，又M、N分別為AB、CD的中點，如連結OM ,ON，則有 OM = ON , OM _ AB , ON _ CD，故易得結論證明 連結OM、ON ,O為圓心，M、N分別為弦 AB、CD的中點,OM _ AB,ON _ CD .AB 二 CDOM =ON.OMN = ONMAMN =90'-/OMN, CNM =90"/ONMAMN "CNMD說明：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關系定理 來證題.例題7、如圖，已知O O中，& -眈-（

11、"V , OB、OC分別交AC、DB于點M , N，求證：OMN是等腰三角形.分析：由川攻，攻'應得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要證明 AC二BD就可以證明 MON是等腰三角形遷陰 T ABBC= CD.二 ABC = BCD 有 AC - BD.V B J&AC的中點，二 OR丄AC于M，OM為弦心距.T C是BD的中點，:* OC丄RD于N ON為弦心距.二 OM= ONf即AOMNM腰三角形.說明：在本題中，請注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用例題8、如圖，已知 AB為O O的弦，從圓上任一點引弦 CD _ AB，作.OCD的平分線交O O于

12、P點，連接PA,PB.求證：PA 二 PB.證明：連結0P./ CO =OP, OCP r/OPC ./ CP是.DCO的平分線，DCP =/OCP. OP / CD. CD _ AB, OP _ AB PA = PB.PA=PB說明：本題考查在同圓中等弧對等弦及垂徑定理的綜合應用，解題關鍵是連結 OP，證OP _ AB .易錯點是囿于用全等三角形的辦法證明PA與PB相等而使思維受阻或證明繁雜.作業(yè):1已知O O的半徑為R，弦AB的長也為R，則NAOB=，弦心距是 12.在O O中，弦AB所對的劣弧為圓的，圓的半徑為2cm，則AB=33圓的一條弦把圓分為度數的比為1:5的兩條弧，如果圓的半徑為

13、 R，則弦長為 ,該弦的弦心距為4 .如圖，直徑AB _ CD，垂足為E ,-AOC =130則川的度數為, CSD的度數為5 在矩形、等腰直角三角形、圓、等邊三角形四種幾何圖形中，只有 條對稱軸的幾何圖形是 6.O O中弦AB是半徑OC的垂直平分線，則 屁片的度數為7 已知O O的半徑為5cm，喬的度數是120*，則弦AB的長是&如果一條弦將圓周分成兩段弧，它們的度數之比為3:1，那么此弦的弦心距的長度與此弦的長度的比是9. 已知：在直徑是 10的O O中，-的度數是60°.求弦AB的弦心距.10. 已知：如圖，O O中，AB是直徑，CCLAB D是CO的中點，DE/ AB

14、求證：=2 '.11. 如圖，O O內兩條相等的弦 AB與CD相交于P，求證：PB = PD12.如圖，O O1和O 02是等圓，M是兩圓心O1O2的中點，過 M任作一直線分別交O O1于A, B，交O O2于C , D，求證:上C13.如圖，已知OO的直徑AC為20cm，匸'的度數為60 ,求弦AB的弦心距的長。例 如圖，已知：在O O中，用=2 I，試判斷/ AOB與/ COD , AB與2CD之間的關系,并說明理由BCOC'分析：根據條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關系，常常把兩條線段放到一個三角形中解：/ A0B=2 / COD, AB<

15、;2CD，理由如下：如圖，在O 0上取一點C '使辰丄& / COD= / DOC ' -丄=2 丨，二=I +2 =二；. AB=CC ' / AOB= / CO C'=/ COD+ / DOC '2 / COD 又在 CD C '中，CD+DC '>CC', CC' 2CD，即 AB<2CD.說明：此題進一步理解定理及其推論的應用條件,在“相等”問題中的不等量由=2丨可BEFB得/ AOB=2 / COD是正確的，但由.上=2 1得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學生在學習中的遷移能力例 如圖，已知：

16、 AB是O O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CM丄AB , DN丄AB ,求證：4 = L上.分析：要證弧相等，可以證弧對應的弦相等，弧對應的圓心角相等 證法一：連結 AC、OC、OD、BD ,/ M、N分別是 AO、BO的中點，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD ,=一 .證法二：連結OC、OD ,11T M、N 分別是 AO、BO 的中點， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,/ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD , Rt COM 也 Rt DON，/ COA= / DOB=LL.

17、證法三、如圖，分別延長 CM、DN交O O于E、F ,11T M、N 分別是 AO、BO 的中點， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,又t CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF , 一'：丄=匕tJS =丄風 DB=1F .id 龐? ? 2 2說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學生靈活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.例 如圖，已知：在O O中，OA丄OB，/ A=35。，求 丨和乩'的度數.分析：連結OC ,通過求圓心角的度數求解 解：連結OC,在 Rt AOB 中，/ A=35 °

18、;/ B=55。，又I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70的度數為 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20° ,I的度數為20° .說明：此題是基本題目，目的是鞏固基礎知識例 如圖，C是O O直徑AB上一點，過 C點作弦DE,使CD = CO,若亠 的度數為40求力的度數.分折： 要求的度數，可求它所對的圓心角ZBOE的度數，如圖作輔助線，通過等量轉換得出結果.解： 連OE、OD并延長DO交O O于F.丄的度數為 40°,.Z AOD=4O ° ./ CD

19、 = CO ,/ ODE = Z AOD = 40°./ OD = OE ,/ E= Z ODE = 40°. Z EOF= Z E+ Z ODE=80 ° ,Z BOF= Z AOD = 40DOAC則Z BOE= Z EOF + Z BOF =80 ° +40 ° =120°,二：的度數為 120°說明：此題充分體現了圓中的等量轉換以及圓中角度的靈活變換典型例題五例(北京市朝陽區(qū)試題，2002)已知：如圖，- ABC內接于O O , AD是O O的直徑，點E、F分別在AB、AC的延長線上，EF交O O于點M、N，交AD于

20、點H , H是0D3的中點，加-小，EH -HF =2，設.ACB=，tan, EH和HF是方程42x - k 2 x 40的兩個實數根D(1 )求EH和HF的長;(2)求BC的長解:(1)依題意，有一元二次方程根與系數關系，得.: - I- k 1 4 4k 0，EH HF =k 2,EH HF = 4k 0,又 EH -HF =2.由、得 k =12.當k =12時，成立.把k =12代入原方程解得捲=8, x2 = 6 EH -8, HF =6.(2 )解法一：連結 BD , . 1./ AD 是O O 的直徑， . ABD =90 .劇-贏, AD _ EF .即.AHE - AHF

21、二 90 .一 E = 1 _ .AH3在 Rt AEH 中，tan E = = tan ：=，又 EH = 8.EH4 AH =6.由勾股定理得AE =10.在 Rt AHF 中，AH 二 HF =6,由勾股定理得AF -6. 2 .AB3在 Rt ABD 中，tan 1tanBD4設AB =3m，貝U BD =4m，由勾股定理得 AD =5m.3 H 是 OD 的中點， AH AD.444- AD AH 6=8.3 38 5m = 8 .解得 m524八- AB = 3m . 11 分5 E =: , BAC "FAE , ABC s . ：AFE . BC ABEF 一 AF

22、.6,2AFAF6.2514分解法二：同解法一求出 AE=10 , AD =8.連結CD ./ AH -HF，且 AH _ HF ,HAF F = 45 AD為。O直徑， . ACD = 90 , . ADC 二 45 . AC = AD sin ADC = AD sin 45 = 4 . 2 . 11 分說明：這是一道綜合性較強的題目， 主要考查一元二次方程的韋達定理和圓的一些知識。典型例題六例 如圖，在O O中，直徑 AB垂直于CD并交CD于E ;直徑MN交CD于F，且hfFO = FD = 2OE，求門4廠的度數.解連結OD .AB _CD 于 E，且 OF =2OE.EFO =30 ,

23、 EOF =60 , 又 OF =FD.FDO "FOD =15AOD 二 75 ,打 AND = AC-W"的度數是150 .說明：由于圓心角的度數與它所對的弧的度數相等，而我們對角是比較熟悉的，所以求弧的度數的問題往往轉化為求它所對的圓心角度數的問題典型例題七例 如圖，已知O O中，皿-RU -, OB、OC分別交AC、DB于點M , N , 求證：OMN是等腰三角形分析：由川以，笊應得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要證明AC二BD 就可以證明.MON是等腰三角形證明/ AB = BC= CD.嚴* M f二 ABC = BCD 有 AC- BD.V

24、B >AC的中點，二 OR丄AC于仏 OM為弦心距.T C是BD的中點，:* OC丄BD于N, ON為弦心距”二 OAf = ONt即厶OA4N>¥腰三角僭.說明：在本題中，請注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用典型例題八例 已知：如圖， M、N分別是O O的弦AB、CD的中點， AB二CD，求證： AMN = CNM .分析：由弦AB二CD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關系定理， 又M、N 分別為AB、CD的中點，如連結OM , ON，則有OM = ON , OM _ AB, ON _ CD , 故易得結論cBOAB、CD的中點,D pPA=PBOP，證PA與PB

25、相等而使思維受阻或證明繁證明 連結OM、ON ,O為圓心，M、N分別為弦OM _ AB,ON _CD .AB 二 CDOM =ON.OMN =/ONM.AMN =90 - OMN,. CNM =90 - ONM.AMN CNM說明：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關系定理來 證題.典型例題九例 如圖，已知AB為。O的弦，從圓上任一點引弦 CD _ AB，作.OCD的平分線交O O于P點，連接PA, PB.求證：PA 二 PB.證明：連結OP. CO =OP, . OCP =/OPC ./ CP是.DCO的平分線，DCP = OCP二 OP / CD.CD _ AB,

26、 OP _ AB .PA 二 PB.說明：本題考查在同圓中等弧對等弦及垂徑定理的綜合應用，解題關鍵是連結 OP AB .易錯點是囿于用全等三角形的辦法證明雜.典型例題十例 如圖1,四邊形ABCD內接于O O , AB =9,BC =1,CD =DA =8. (1)若把和交換了位置， DAB的大小是否變化？為什么？( 2)求證：.DAB =60° 。解(1)由圓的旋轉不變性知：與交換位置后，它們的和仍等于，故 化。.DAB的大小不發(fā)生變(2)當交換位置以后(如圖 2), AB = 9, AD = BC = 8, DC = 1,則四邊形ABCD變?yōu)樯系诪?,下底為9，兩腰為8的等腰梯形。

27、作 DE _ AB于E， CF _ AB 于 F。91則 AE=BF4。2AE 在 Rt AED 中，cosA =-AD.A = 60°。即.DAB =600。A圖2n FB說明：本題考查了圓的旋轉不變性，解題關鍵是透徹理解題意并正確畫出變化后 的圖形，易錯點是畫錯或畫不出變化后的圖形。選擇題1、如圖在BOC=(A) 140ABC).(C) 130°2、下列語句中，(1)相等的圓心角所對的弧相等;(3)長度相等的兩條弧是等??；(A) 1 個中，/ A=70OC(B) 135 °(D) 125 °正確的有(B) 2 個(C)(2)平分弦的直徑垂直于弦；(4

28、)經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸.3個(D) 4個3在同圓或等圓中,立的是()如果圓心角 BOA等于另一圓心角 COD的2倍，則下列式子中能成A. AB=2CDB.喬=2 衍 G A&<2 EbD AB = CDSi4在同圓或等圓中，如果門，則AB與CD的關系是()C . AB：2CD D . AB=CDAB的距離為4,則O O的直徑的長為()A. AB 2CD B . AB =2CD5在O O中，圓心角 AOB =90，點O到弦6在同圓或等圓中，若的長度='八的長度,則下列說法正確的個數是()匸的度數等于 皿；"所對的圓心角等于口所對的圓心角；和匸口是等弧

29、；A . 4 . 2 B . 8、2 C . 24 D . 16，l 所對的弦心距等于 丄口所對的弦心距。C. 3個7在O O中，兩弦AB : CD , OM , ON分別為這兩條弦的弦心距，貝U OM , ON的關系 是（）A. OM ON B. OM =0N C. OM ： ON D無法確定8如圖，在兩半徑不同的同心圓中，.AOB =/AOB"=：6O，則（）C.二的度數八的度數 D J二的長度 的長度答案:1、D ;2、A ;3. B 4. C 5. B 6. D7. A 8. C填空題1、已知弦AB把圓周分成1: 5的兩部分,這弦 AB所對應的圓心角的度數為2、在O O中，的度數240 °，則一的長是圓周的3、已知：O O的半徑為4cm,1AB所對的劣弧為圓的 一，則弦AB的長為3cm,AB的弦心距為cm.4、如圖，在O O中，AB / CD,為5、如圖在BOC=(A) 140ABC)(C) 130°(B)(D)6.已知O O的半徑為C中,''的度數為 45 °，則/ C