工程問題解題技巧

1、工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實(shí)，這類題目的 內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量二工作效率XX作時(shí)間，工作時(shí)間二工作量V作效率，工作效率二工作量 T作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù) 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的快慢， 其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。 單位時(shí) 間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成 “工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但 在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。例 1

2、單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需 100 天完成，乙隊(duì)需 150 天完成。甲、乙兩隊(duì)合干 50 天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解： 以全部工程量為單位 1。甲隊(duì)單獨(dú)干需 100 天，甲的工作效例 2 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需 36 天完成，乙單獨(dú)做需 45 天完成。如果開工 時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了 18 天才完成 任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)?“乙隊(duì)先干 18 天，后面的工作甲、乙兩 隊(duì)合干需多少天？ ”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊(duì)干了 12 天。例 3 單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需 10 天，乙隊(duì)需 15 天，丙隊(duì)需 20 天。開

3、始三 個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了， 結(jié)果一共用了 6天完成這一工程。 問： 甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了 6天，去掉乙、丙兩隊(duì) 6 天的工作量， 剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例 4 一批零件，張師傅獨(dú)做 20 時(shí)完成，王師傅獨(dú)做 30 時(shí)完成。如果兩人 同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做 60 個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解： 這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例 5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管， 單開放水管 5 時(shí)可將空池灌滿， 單開排水管 7 時(shí)可將滿池水排完。 如果一開始是空池， 打開放水管 1 時(shí)后又打開 排

4、水管，那么再過多長時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？例 6 甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需 60 分鐘，乙需40 分鐘。出發(fā)后 5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了 5 分鐘。 甲再出發(fā)后多長時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用 時(shí)間、 路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā) 5 分鐘后返回，路上耽誤 10 分鐘， 再加上取東西的 5 分鐘，等于比乙晚出發(fā) 15 分鐘。我們將題目改述一下：完成 一件工作，甲需 60 分鐘，乙需 40 分鐘，乙先干 15 分鐘后，甲、乙合干還需多 少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。答：甲

5、再出發(fā)后 15 分鐘兩人相遇。練習(xí) 51. 某工程甲單獨(dú)干 10 天完成，乙單獨(dú)干 15 天完成，他們合干多少天才可完 成工程的一半？2. 某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需 48 天，乙隊(duì)單獨(dú)做需 36 天。甲隊(duì)先干了 6 天后轉(zhuǎn)交 給乙隊(duì)干，后來甲隊(duì)重新回來與乙隊(duì)一起干了 10 天，將工程做完。求乙隊(duì)在中 間單獨(dú)工作的天數(shù)。3. 一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需 30 天完工。現(xiàn)在合挖 12天后，剩下的乙隊(duì) 單獨(dú)又挖了 24 天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植 50 棵。這批樹共有多少棵？5. 修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從 兩端開工，結(jié)果在距中點(diǎn)7

6、50米處相遇。這段公路長多少米？6. 蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開甲管需18時(shí)注滿，單開乙管需24時(shí)注 滿。如果要求12時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時(shí)間？7. 兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時(shí)，比快車從 乙地到甲地多用扌的時(shí)間。如果兩車同時(shí)開出.那么相遇時(shí)快車比慢車多行40千米。求甲、乙兩地的距離。工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方 法，問題也不難解決。例1 一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做 20天，那么乙接著做8天

7、可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫 出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5 天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用 乙工作4天”等量替換題中 甲工作5 天”這一條件，通過此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24 （天）甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為 甲、乙合做4天，乙再單獨(dú)做g天J這樣，就

8、可以把合作的工作效率!用上了。6例3單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定 時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么 剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完三倍成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的2，乙需要10+5=15 （天）。甲、乙合作需要例4放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開1, 2, 3號閥門，則20分鐘可以完成; 若同時(shí)打開2，3, 4號閥門，貝S 21分鐘可以完成；若同時(shí)打開1, 3, 4號閥門, 則28分鐘可以完成；若同時(shí)打開

9、1 , 2 , 4號閥門，則30分鐘可以完成。問： 如果同時(shí)打開1 , 2 , 3, 4號閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時(shí)打開1 , 2, 3號閥門1分鐘，再同時(shí)打開2, 3, 4號閥門1 分鐘，再同時(shí)打開1, 3, 4號閥門1分鐘，再同時(shí)打開1, 2, 4號閥門1分鐘, 這時(shí)，1 , 2, 3, 4號閥門各打開了 3分鐘，放水量等于一例5某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要 8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè) 隊(duì)最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、

10、三、四小隊(duì)的工作效率之和是117十補(bǔ)+臺(tái)十2 =命，四個(gè)小隊(duì)各干了6天即加天后，還剰下工程量的71又因?yàn)橐?二三水限合干需8天，即一、二三水臥各干HOo1天完成工程量的,所以工程由三小隊(duì)最后完成。O例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù) 都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲1少宀缶任務(wù)的制乙加工了仍個(gè)事件，甲完成舟時(shí)乙完成了一半門可這批零件共 元成有多少個(gè)？需的時(shí)間相等。問：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先 做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成。現(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做， 還需要多少小時(shí)？獨(dú)修各需幾天？5. 蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依 次需要10 ,12,15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)打開，中間甲管因故關(guān)閉， 結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問：甲管在何時(shí)被