常見的勾股數(shù)及公式

1、常見的勾股數(shù)及公式武安市黃岡實驗學(xué)校翟升華搜集整理我們知道，如果/ C=90, a、b、c是直角三角形的三邊，則由勾股定理，得a2+b2=c2;反之，若三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形，c為斜邊.與此相類似，如果三個正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2=c2,則稱a、b、c為勾股數(shù)，記為(a, b, c).勾股數(shù)有無數(shù)多組，下面向同學(xué)們介紹幾種：一、三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)(3, 4, 5 )是我們所熟悉的一組三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，除此之外是否還有第二組或更多組呢？設(shè)三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組為( X1, x, x+1 )，則由勾股數(shù)的定義，得(x+1) 2+x2=

2、(x+1 ) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)只有一組(3,4,5);類似有3n,4n,5n (n是正整數(shù))都是勾股數(shù)。二、后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)易知：(5,12,13), ( 9,4 0,4 1 ),( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 )，都是勾股數(shù)，如此許許多多的后兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1 (其特點是斜邊與其中一股的差為 1).分別取 n= 1,2,3,就得勾股數(shù)組(3,4,5 ), ( 5,1 2,1 3 ), ( 7,2 4,2 5 )，三、前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股

3、數(shù)你知道(2 0,2 1,2 9 ), (119,120,169),(4059,4060,5741)，這些都是前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組。其公式為：(x, x+1, , 2x2 2x 1 ) (X為正整數(shù))。設(shè)前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組為(x, x+1, y), y=2x2+2x + 1則x2+(x+1)2 = y2 (*)整理，得 2x2 2x 1 = y2，化為 2x 1 2 - 2y2 = -1，即 2x T2y 2x T -2y =1, 又 1，2 1 - 2 =1,二 1 . 2 1 1 - 2 1 =1(n N),故取2x 1 血y = G+血嚴,(2x+1y =(1運嚴,解之，得

4、 x=丄1 . 2 1 + 1 22，y=- 11 1 -1，44故前兩數(shù)為連續(xù)整數(shù)的勾股數(shù)組是(1(1+72亍十 +(1一72十一2，1(1+ 72嚴 +(1J2 嚴44-2 2n 1 2n 12+1, 1 2 1 - . 2).4四、后兩數(shù)為連續(xù)奇數(shù)的勾股數(shù)如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)其公式為：4(n+1),4(n+1) 2-1,4(n+1) 2+1(n 是正整數(shù)).五、其它的勾股數(shù)組公式：1.a=2m,b=m2 1,c=m2+1 (m大于1的整數(shù)).2.a=丄(吊一n2) ,b=mn,c= 丄(吊+n2)(其中mn且是互質(zhì)的奇數(shù)).2 23.a=2m,b=m2

5、 n2,c=m2+ n2 (mn,互質(zhì)且一奇一偶的任意正整數(shù))下面我們把100以內(nèi)的勾股數(shù)組列出來，供同學(xué)們參考：3 4 5 ;5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41 ;10 24 26;11 6061;12 1620 ;123537; 138485; 14 4850; 152025;15 3639;15 112113; 16 3034 ; 16636517 144145; 18 2430; 188082; 19180181 ;20 2129;204852 ; 2099101; 212835217275; 21220 221 ; 22

6、 120122 ; 23 264 265 ;24 3240;244551 ; 247074 ; 24143 1452560 65；25 312 313 ；26 168 170 ；27 36 45；27 120123；27 364 365 ；28 45 53；28 96 10028195 197 ；29 420 421 ；30 40 50；30 72 78；30 224 226 ；31 480 481 ；32 60 68；32 126 13032255 257 ；33 44 55；33 56 65；33 180 183 ；33 544 545 ；34 288 290 ；35 84 91；35 1

7、20 12535612 613 ；36 48 60；36 77 85；36 105 111 ；36 160 164 ；36 323 325 ；37 684 685 ；38 360 3623952 65；39 80 89；39 252 255 ；39 760 761 ；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；40 198 20240399 401 ；41 840 841 ；42 56 70；42 144 150 ；42 440 442 ；43 924 925 ；44 117 125 ；44 240 24444483 485 ；45 60 75；45 108 117 ；45 20

8、0 205 ；45 336 339 ；46 528 530 ；48 55 73；48 64 804890 102；48 140 148 ；48 189 195 ；48 286 290 ；48 575 577 ；49 168 175 ；50 120 130 ；50 624 6265168 85；51 140 149 ；51 432 435 ；52 165 173 ；52 336 340 ；52 675 677 ；54 72 90；54 240 24654728 730 ；55 132 143 ；55 300 305 ；56 90 106； 56 105 119 ；56 192 200 ；56 3

9、90 394 ；56 783 7855776 95；57 176 185；57 540 543 ；58 840 842 ；60 63 87；60 80 100 ；60 91 109；60 144 15660175 185 ；60 221 229 ；60 297 303 ；60 448 452 ；60 899 901 ；62 960 962 ；63 84 105；63 216 22563280 287 ；63 660 663 ；64 120 136 ；64 252 260 ；64 510 514 ；65 72 97 ；65 156 169 ；65 420 4256688 110；66 112 1

10、30 ；66 360 366 ；68 285 293 ；68 576 580 ；69 92 115 ；69 260 269 ；69 792 79570168 182 ；70 240 250 ；72 96 120；72 135 153 ；72 154 170 ；72 210 222 ；72 320 328 ；72 429 43572646 650 ；75 100 125 ；75 180 195 ；75 308 317 ；75 560 565 ；75 936 939 ；76 357 365 ；76 720 72477264 275 ；77 420 427 ；78 104 130 ；78 160 1

11、78 ；78 504 510 ；80 84 116 ；80 150 170 ；80 192 20880315 325 ；80 396 404 ；80 798 802 ；81 108 135 ；81 360 369 ；84 112 140 ；84 135 159 ；84 187 20584245 259 ；84 288 300 ；84 437 445 ；84 585 591 ；84 880 884 ；85 132 157 ；85 204 221 ；85 720 72587116 145 ；87 416 425 ；88 105 137 ；88 165 187 ；88 234 250 ；88 480

12、 488 ；88 966 970 ；90 120 15090216 234 ；90 400 410 ；90 672 678 ；91 312 325 ；91 588 595 ；92 525 533 ；93 124 155 ；93 476 48595168 193 ；95 228 247 ；95 900 905 ；96 110 146 ；96 128 160 ；96 180 204 ；96 247 265 ；96 280 29696378 390 ；96 572 580 ；96 765 771 ；98 336 350 ；99 132 165 ；99 168 195 ；99 440 451 ；99

13、540 549100105 145 ；100 240 260；100 495 505 ；100 621 629.以下是大于 100 的勾股數(shù)：第 223 組：102 136 170第 224 組：102 280 298第 225 組：102 864 870第 226 組：104 153 185第 227 組：104 195 221第 228 組：104 330 346第 229 組：104 672 680第 230 組：105 140 175第 231 組：105 208 233第 232 組：105 252 273第 233 組：105 360 375第 234 組：105 608 617第

14、 235 組：105 784 791第 236 組：108 144 180第 237 組：108 231 255第 238 組：108 315 333第 239 組：108 480 492第 240 組：108 725 733第 241 組：108 969 975第 242 組：110 264 286第 243 組：110 600 610第 244 組：111 148 185第 245第 246第 247第 248第 249第 250第 251第 252第 253第 254第 255第 256第 257第 258第 259第 260第 261第 262第 263第 264第 265第 266第

15、 267第 268第 269第 270第 271第 272第 273第 274第 275第 276第 277第 278第 279第 280第 281第 282第 283第 284第 285第 286第 287第 288第 289第 290第 291組：111 680 689組：112 180 212組：112 210 238組：112 384 400組：112 441 455組：112 780 788組：114 152 190組：114 352 370組：115 252 277組：115 276 299組：116 837 845組：117 156 195組：117 240 267組：117 5

16、20 533組：117 756 765組：119 120 169組：119 408 425組：120 126 174組：120 160 200組：120 182 218組：120 209 241組：120 225 255組：120 288 312組：120 350 370組：120 391 409組：120 442 458組：120 594 606組：120 715 725組：120 896 904組：121 660 671組：123 164 205組：123 836 845組：124 957 965組：125 300 325組：126 168 210組：126 432 450組：126 56

17、0 574組：128 240 272組：128 504 520組：129 172 215組：129 920 929組：130 144 194組：130 312 338組：130 840 850組：132 176 220組：132 224 260組：132 351 375第 292第 293第 294第 295第 296第 297第 298第 299第 300第 301第 302第 303第 304第 305第 306第 307第 308第 309第 310第 311第 312第 313第 314第 315第 316第 317第 318第 319第 320第 321第 322第 323第 324

18、第 325第 326第 327第 328第 329第 330第 331第 332第 333第 334第 335第 336第 337第 338組：132 385 407組：132 475 493組：132 720 732組：133 156 205組：133 456 475組：135 180 225組：135 324 351組：135 352 377組：135 600 615組：136 255 289組：136 273 305組：136 570 586組：138 184 230組：138 520 538組：140 147 203組：140 171 221組：140 225 265組：140 336

19、 364組：140 480 500組：140 693 707組：140 975 985組：141 188 235組：143 780 793組：143 924 935組：144 165 219組：144 192 240組：144 270 306組：144 308 340組：144 420 444組：144 567 585組：144 640 656組：144 858 870組：145 348 377組：145 408 433組：147 196 245組：147 504 525組：150 200 250組：150 360 390組：150 616 634組：152 285 323組：152 345

20、377組：152 714 730組：153 204 255組：153 420 447組：153 680 697組：154 528 550組：154 840 854第 339第 340第 341第 342第 343第 344第 345第 346第 347第 348第 349第 350第 351第 352第 353第 354第 355第 356第 357第 358第 359第 360第 361第 362第 363第 364第 365第 366第 367第 368第 369第 370第 371第 372第 373第 374第 375第 376第 377第 378第 379第 380第 381第 38

21、2第 383第 384第 385組：155 372 403組：155 468 493組：156 208 260組：156 320 356組：156 455 481組：156 495 519組：156 667 685組：159 212 265組：160 168 232組：160 231 281組：160 300 340組：160 384 416組：160 630 650組：160 792 808組：161 240 289組：161 552 575組：162 216 270組：162 720 738組：165 220 275組：165 280 325組：165 396 429組：165 532 5

22、57組：165 900 915組：168 224 280組：168 270 318組：168 315 357組：168 374 410組：168 425 457組：168 490 518組：168 576 600組：168 775 793組：168 874 890組：170 264 314組：170 408 442組：171 228 285組：171 528 555組：171 760 779組：174 232 290組：174 832 850組：175 288 337組：175 420 455組：175 600 625組：176 210 274組：176 330 374組：176 468 50

23、0組：176 693 715組：176 960 976第 386第 387第 388第 389第 390第 391第 392第 393第 394第 395第 396第 397第 398第 399第 400第 401第 402第 403第 404第 405第 406第 407第 408第 409第 410第 411第 412第 413第 414第 415第 416第 417第 418第 419第 420第 421第 422第 423第 424第 425第 426第 427第 428第 429第 430第 431第 432組：177 236 295組：180 189 261組：180 240 30

24、0組：180 273 327組：180 299 349組：180 385 425組：180 432 468組：180 525 555組：180 663 687組：180 800 820組：180 891 909組：182 624 650組：183 244 305組：184 345 391組：184 513 545組：185 444 481組：185 672 697組：186 248 310組：186 952 970組：189 252 315組：189 340 389組：189 648 675組：189 840 861組：190 336 386組：190 456 494組：192 220 292

25、組：192 256 320組：192 360 408組：192 494 530組：192 560 592組：192 756 780組：195 216 291組：195 260 325組：195 400 445組：195 468 507組：195 748 773組：196 315 371組：196 672 700組：198 264 330組：198 336 390組：198 880 902組：200 210 290組：200 375 425組：200 480 520組：200 609 641組：201 268 335組：203 396 445第 433第 434第 435第 436第 437第

26、438第 439第 440第 441第 442第 443第 444第 445第 446第 447第 448第 449第 450第 451第 452第 453第 454第 455第 456第 457第 458第 459第 460第 461第 462第 463第 464第 465第 466第 467第 468第 469第 470第 471第 472第 473第 474第 475第 476第 477第 478第 479組：203 696 725組：204 253 325組：204 272 340組：204 560 596組：204 595 629組：204 855 879組：205 492 533組

27、：205 828 853組：207 224 305組：207 276 345組：207 780 807組：207 920 943組：208 306 370組：208 390 442組：208 660 692組：208 819 845組：210 280 350組：210 416 466組：210 504 546組：210 720 750組：213 284 355組：215 516 559組：215 912 937組：216 288 360組：216 405 459組：216 462 510組：216 630 666組：216 713 745組：216 960 984組：217 456 505組：

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32、第 554第 555第 556第 557第 558第 559第 560第 561第 562第 563第 564第 565第 566第 567第 568第 569第 570第 571第 572第 573組：256 480 544組：258 344 430組：259 660 709組：259 888 925組：260 273 377組：260 288 388組：260 624 676組：260 651 701組：260 825 865組：261 348 435組：261 380 461組：264 315 411組：264 352 440組：264 448 520組：264 495 561組：264

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