高中數(shù)學(xué) 向量數(shù)量積

1、向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積Fs W=|F|s|cos OABba 功：功：從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念的概念。Fs )1800( 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 與與 反向反向abOABabOAa0 與與 同向同向abOABaba Bbb AOBab則則 叫做向量叫做向量 和和 的夾角的夾角記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:在兩向量的夾角在兩向量的夾角定義中定義中,兩向量必須是兩向量必須是同起點(diǎn)同起點(diǎn)的的1.向量之間的夾角OAaBb abOAaBb ab C練習(xí)：如圖，等邊

2、三角形中，求練習(xí)：如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角。的夾角。ABC 通過(guò)平移通過(guò)平移變成共起點(diǎn)！變成共起點(diǎn)！12060試一試吧！試一試吧！ 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 與與 ，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量| | | |cos叫做叫做 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作 =| | | | cosaaaaaabbbbbb注意：向量的注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。數(shù)量。規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量

3、在在 方向上）的方向上）的投影投影.bbaa 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投影投影bbaa|cos (|cos )ba或2.2.定義定義 a b = | a | b | coscosa b| a | | b |cosa b| a | | b |=這四個(gè)量都是數(shù)量，知道其中任意三個(gè)量可求出第四個(gè)量夾角公式數(shù)量積數(shù)量積 OAa Bb：v“ ”不能省略不寫，也不能寫為“”，數(shù)學(xué)中“ a b”表示兩個(gè)向量的向量積(或外積)va b表示數(shù)量而不表示向量，與實(shí)數(shù)a b不 同, a+b 、 a-b表示向量； v規(guī)定: 0 a=0 數(shù)量積數(shù)量積: a b =

4、| a | b |cos 數(shù)量積數(shù)量積 a b 等于等于a 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度| a |與與 b 在在 a 的方的方向上的投影向上的投影| b |cos 的乘積的乘積.AOAOB| b |cos = b| b |cos 0| b |cos 0| b |cos b | b |cos 0OAaBbOAaBbOAaBb 數(shù)量積數(shù)量積: a b =| a | b |cos B1B1B 向量的數(shù)量積是一個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量數(shù)量，那么它什，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？ =| | | | cosaabb當(dāng)當(dāng) =90時(shí)時(shí) 為零。為零。ab當(dāng)當(dāng)90 180時(shí)時(shí) 為負(fù)。為負(fù)。ab當(dāng)當(dāng)

5、0 90時(shí)時(shí) 為正；為正；ab(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a b= |a|b|; 當(dāng) a與 b反向時(shí),ab=-|a|b|特別地,a a =a 2= | a |2或 | a |=a a . 設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角,則 (1) e a a e | a |cos.| a | b |cos =0 a b =0向量a與b共線 | a b |=| a | b |a b =| a | b |cos(2)ab a b =0.(5)| a b | a | b |.=(4)cos=|a| |b|ab= cos=0 25、數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律：交換律：abba對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：對(duì)

6、數(shù)乘的結(jié)合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )( )()(cbacba測(cè)一測(cè)呀測(cè)一測(cè)呀！1 1若若 = = ，則對(duì)任一向量，則對(duì)任一向量 ，有，有 = =0aa0bb5.5.若若 ， = = ，則，則 =aaabb0cc6.6.若若 = = , ,則則 , ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) = = 時(shí)成立時(shí)成立aaabbcc03 3若若 ， = =0，則，則 = = aabb004.4.若若 = = ，則，則 中至少有一個(gè)為中至少有一個(gè)為 aabb00 2 若若 ，則對(duì)任一非零向量，則對(duì)任一非零向量 ,有有 0aab0b)().(7cbacba22aa 8.對(duì)任意向量對(duì)任意向量 有

7、有a 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夾角為60,求ab.a b=|a|b|cos ：若=120 呢？ =90呢？=54cos60=10=5 54 421120 =54cos120 =-10=5 54 4)21( a b=|a|b|cos . 設(shè)|a|=12,|b|=9, ab=-542 求a和b的夾角.cos =a b|a|b|=- 54 2129-2 =135=2cos ： 若若 ab=1082 呢？呢？ (1)|5, |6,30aba b ，(2)| 10, | 15,45aba b ，(3)|8, |2,135aba b ，15 375 28 2 祝你成功，繼續(xù)努力！*. 已知已

8、知ABC中中, AB=a, AC=b, 當(dāng)當(dāng) ab 0, ab =0時(shí)時(shí), ABC各是什么三角形？各是什么三角形？當(dāng)當(dāng)a b0時(shí)，時(shí)， cos 0，為鈍角三角形為鈍角三角形當(dāng)當(dāng)a b=0時(shí)，時(shí)，為直角三角形為直角三角形（2）例例 3：求證：求證：（1）2222)bbaaba22)(babababbaaba)()(bbbaabaa222bbaa)()()(2bababa證明證明:（1）bbaabababa)()()(bbbaabaa22ba證明證明（2）2222)(bababa22)(bababa我們知道，對(duì)任意我們知道，對(duì)任意,Rba恒有恒有2222)(bbaaba22)()(bababa對(duì)于任意向量對(duì)于任意向量 ， 也有下面類似的結(jié)論也有下面類似的結(jié)論ab變式：求 |a+2b|,|a-b|例例4 4、已知、已知60 ,60 ,o o 的夾角為的夾角為6aba與4b)3()2(baba求求兩個(gè)向量的數(shù)量積是否兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零為零, ,是判斷相應(yīng)的兩條是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方直線是否垂直的重要方法之一法之一. . babakkbaba2,60, 4, 5使為何值時(shí)問(wèn)夾角為與且已知例例502222babbakak1514:k解得 babakk2,1514時(shí)所以當(dāng)01621