數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的，我們?cè)谔接憯?shù)量關(guān)系時(shí)常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時(shí)，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求解，它們之間存在著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，這種聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的思想滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)中，是一種幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的重要思想方法。在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運(yùn)用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問(wèn)題的解答的數(shù)學(xué)思想。我將通過(guò)以下具體的例題闡述數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。 一、數(shù)軸數(shù)軸是一種特定的幾何圖形，它用一條直線將實(shí)數(shù)

2、緊緊的聯(lián)系在一起，同時(shí)又將相反數(shù)與絕對(duì)值直觀的呈現(xiàn)在我們的眼前，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的起點(diǎn)。例1：實(shí)數(shù)a 、b 、c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，b a 0 c 1化簡(jiǎn) a +b -b -1-a -c -c = 。利用數(shù)軸的直觀性，結(jié)合實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)果易得，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解題中的直觀與簡(jiǎn)明。此外不等式的解集也很好地反映了數(shù)形結(jié)合思想。 例2：求不等式 x +97 的非正整數(shù)解。利用數(shù)軸將不等式的解集x -2在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到x -2的數(shù)有無(wú)限多個(gè)，但滿足條件的非正整數(shù)只有-2、-1、0三個(gè)，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合更能深刻地反映不等式解集的幾何意義。二、平面直角坐標(biāo)系平面直角

3、坐標(biāo)在二維空間內(nèi)將數(shù)對(duì)與平面圖形巧妙結(jié)合在一起，是初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想完美呈現(xiàn)的載體。“函數(shù)及其圖象”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題讓許多學(xué)生感到畏懼。其實(shí)函數(shù)與方程、不等式之間有著非常密切的聯(lián)系，在解題時(shí)要善于將它們?nèi)跁?huì)貫通，將它們的“形”與對(duì)應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來(lái)，往往會(huì)使很多棘手問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷、獨(dú)特。例3、二元一次方程組的解的意義：關(guān)于x , y 的二元一次方程組+1c =0a 1x +b 1y的解有三種情況： +2c =0a 2x +b 2y 無(wú)解；無(wú)數(shù)組解； 只有一組解。 分析：這三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩條直線y =-a 1c a cx -1和y

4、=-2x -2的三b 1b 1b 2b 2種位置關(guān)系：平行；重合； 相交。方程組的解轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn)。當(dāng)a 1:a 2=b 1:b 2c 1:c 2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y 軸上的截距不同。此時(shí)兩條直線平行，無(wú)交點(diǎn)，因而方程組無(wú)解。當(dāng)a 1:a 2=b 1:b 2=c 1:c 2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y 軸上的截距相同。此時(shí)兩條直線重合，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因而方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。當(dāng)a 1:a 2b 1:b 2時(shí)，兩條直線的斜率不相同，兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，因而方程組只有一個(gè)解。2x +y +3=0例：，方程組無(wú)解。兩條直線2x +y +3=0、4x +2y +1=0的4x +2y +

5、1=0位置關(guān)系如圖：平行。2x +y +1=0，方程組只有一個(gè)解。兩條直線2x +y +1=0、x +2y =0的x +2y =0位置關(guān)系如圖：相交。2x +4y =0，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。兩條直線2x +4y =0、x +2y =0的位置x +2y =0關(guān)系如圖：重合。xx（1）（2） （3）k的圖像與一次函數(shù)y =ax +b 的圖像交于M x（2,2），N （1,m ）兩點(diǎn)，根據(jù)圖像寫出不等式 ax 例4、如圖，反比例函數(shù)y =分析：此題是在給出兩個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上，比較 函數(shù)值大小的問(wèn)題，由于反比例函數(shù)圖像的不連續(xù) 性，如果通過(guò)直接的計(jì)算會(huì)比較麻煩，借助于兩函 數(shù)交點(diǎn)的特征，不難畫出如圖大致圖像，不等式kax +b 的解集在圖像中表示為一次函數(shù)圖像在反xx 0或x 2。此解比例函數(shù)圖像上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x 的取值范圍。顯然，-1法利用函數(shù)圖象的直觀性，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起