數(shù)值分析復(fù)習(xí)題

1、一、判斷題1. 區(qū)間a,b上，若f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在a,b內(nèi)一定有實根。2. 22/7作為=3.1415926近似值，它有3位有效數(shù)字。3. 設(shè)P(x)和Q(x)都是n次多項式，如果在n +1 個不同的節(jié)點xi上都有P(xi)Q(xi)，則P(x)Q(x) 。4. 取節(jié)點作的插值多項式，則次數(shù)為2，插值基函數(shù)的次數(shù)為3。5. 插值多項式嚴(yán)格通過所有的節(jié)點(xi，yi)。6. 若k=n，P(x)和Q(x)分別是 xk的通過n +1 個不同的節(jié)點的牛頓插值多項式和拉格朗日插值多項式則P(x)Q(x)xk 。7. 插值多項式次數(shù)越高，逼近效果越好。8. 任何一組互異數(shù)據(jù)，逼近它們

2、的多項式插值函數(shù)僅有一個。9. 插值多項式次數(shù)與擬合曲線都嚴(yán)格通過所給定的數(shù)據(jù)點。10. 求積公式： 11. 牛頓-科特斯求積公式中的求積節(jié)點是等分的。12. 牛頓法求方程(x)=0的單根, 在(x)可導(dǎo)的情況下, 至少二階收斂。13. 高斯型求積公式是插值型的。14. 一階亞當(dāng)姆斯格式是單步法。15. 顯式的亞當(dāng)姆斯公式： 是單步法。16. 求初值問題數(shù)值解的四階亞當(dāng)姆斯公式是多步法。17. 如果有一常微分方程數(shù)值解法的局部截斷誤差，則該方法是3階的。18. 用一般迭代法求方程的根，如其迭代過程發(fā)散，則方程 的無解。19. 牛頓法求方程(x)=0的根, 在(x)可導(dǎo)的情況下, 至少二階收斂。

3、20. 壓縮映像原理的壓縮性是：對于任意xa,b，都有|(x)| 1 。21. 迭代公式x(m+1)=Bx(m)+g收斂的充分條件：|B|1。22. 若n階方陣B滿足B0。24. 線性方程組Ax=b的迭代公式X(k+1)=BX(k)+f收斂的從要條件：B是對角占優(yōu)矩陣。25. 線性方程組Ax=b的迭代公式X(k+1)=Bx(k)+f發(fā)散，則Ax=b無解。26. 只要是正定陣，就可作LDLT分解, 其中D為對角陣，L為下角陣。27. 已知方程組 的準(zhǔn)確解為(1,1,1)T, 某學(xué)生將系數(shù)舍入成兩位數(shù)字后, 求出的數(shù)值解卻是(-6.222,38.25,-33.65)T,面目全非的原因是該學(xué)生計算程

4、序有誤!28. 高斯消去法的實質(zhì)是將方程組的系數(shù)矩陣A分解為一個單位下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積，并當(dāng)A的所有順序主子式0時，LU分解是唯一的。二、填空題1. 設(shè)0.20135是精確值x*=0.20184的近似值，則x有（ ）位有效數(shù)字。2. ，取e2.71828,那么e有幾位有效數(shù)字( )。3. 通過n +1 個不同節(jié)點的插值基函數(shù)（ ）。4. 差商(x0,x1,xn)與(n)(x)的關(guān)系是( )。 5. (x)=5x3-7,則差商(1，2，3，4)=( )。6. 計算插值型求積公式的求積系數(shù)的方法有:（ ）、（ ）。7若，則f(1,2,3,4,5)=( )。8避免出現(xiàn)高次插值的龍格

5、現(xiàn)象的方法是( )。9. 已知y=(x)的差商表為 : xi yi1 02 2 24 12 5 1則過(1,0),(2,2)和(4,12)三點的不高于2次牛頓插值多項式為（ ）11. 差商(x0,x1,xn)與(n)(x)的關(guān)系是( )。 12. (x)=2x3+5x+1,則差商(1,)=( )。13. 對區(qū)間a,b上n+1個不同節(jié)點xi作拉格朗日插值多項式Pn(x),則其余項f(x)-Pn(x)=( )。 14. 求作在節(jié)點的3次泰勒插值多項式（ ）。 16. 有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是( )次的。17. 節(jié)點是高斯點的充要條件是（ ）。18. 形如的插值型求積公式，其代數(shù)精度

6、至少可達(dá)( )次，至多可達(dá)( )次。19. 數(shù)值微分公式的代數(shù)精度為（ ）。20. 插值型求積公式的求積系數(shù)Ak=（ ）。21. 求積公式的代數(shù)精度為 （ ）。22. 數(shù)值微分公式的代數(shù)精度為（ ）。23. 辛普森求積公式：（ ）。24. 寫出下列解初值問題的顯式歐拉格式：（ ）。25. 亞當(dāng)姆斯方法的基本思想是：（ ）。26.求初值問題改進(jìn)的歐拉法數(shù)值公式是( )。隱式歐拉格式( )27. 龍格庫塔方法的基本思想是：（ ）。28. 顯式的亞當(dāng)姆斯格式：yn+1=yn+h/3(fn+2fn-1)是( )步法 29. 壓縮映像原理的壓縮性是指（ ），映內(nèi)性是指（ ）。30 迭代法收斂于，此迭代法

7、的收斂階為( )。31. 方程x2-2x+1=0的收斂階為2的牛頓迭代公式是（ ）。32. 設(shè)A=, x=(3,-4)T, 則|A|=( ), |x|1=( )。33. 已知A=，則=( )，=( )。34. 迭代公式x(m+1)=Bx(m)+g收斂的充分條件是( )。35. 高斯消元法的步驟包括：（ ）和（ ）。36. 線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣，則( )，方程組是否為病態(tài)（ ）。病態(tài)方程組是指( )三、解答題1. 如果1，直接計算公式，為什么易造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失？試給出比較精確的等價公式。2. 說明兩個值相近的近似數(shù)相減，可能會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。為盡量避免有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失，當(dāng)

8、時應(yīng)如何加工下列計算公式： （3） 3. 已知近似值的絕對誤差限均為，問他們各有幾位有效數(shù)字？4. 設(shè)證明：對任意有5已知的觀察數(shù)據(jù)表如下：構(gòu)造插值多項式，并求 xk-2045f(xk)51-316. 已知函數(shù)，建立關(guān)于節(jié)點的差商表，并給給出插值多項式。 7. 函數(shù)，構(gòu)造過節(jié)點拉格朗日插值多項式。8證明：關(guān)于節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)恒成立：9. 利用插值余項證明：若f(x)是次數(shù)不高于n的多項式，則通過n +1個不同的節(jié)點構(gòu)造的插值多項式Pn (x)=f(x)。10. 已知，建立差商表，利用承襲性，求插值多項式。11建立過(1,0)、(2,-5)、(3,-6)和(4,3)四點的差商表，據(jù)此寫出

9、插值多項式。12 試確定常數(shù)A,B,C及，使得求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，并指出所求積分公式的代數(shù)精度，是高斯型嗎？ 13. 確定下列求積公式的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能的高，并指明該公式的代數(shù)精度：14. 高斯求積公式有何特點？求區(qū)間-1,1上兩點高斯公式。15. 確定求積公式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度。 16. 對模型方程，證明：改進(jìn)的歐拉方法的絕對穩(wěn)定條件為17. 證明改進(jìn)的歐拉方法能準(zhǔn)確地求解初值問題。 18 對于解初值問題： 取步長h0.1，寫出其改進(jìn)的歐拉公式, 并求出y1，y2。19. 證明兩步歐拉格式是二階方法。20. 取步長h0.1用改進(jìn)歐拉格式求解初值問題 求出y1，y2，保留4位有效數(shù)字。21. 寫出下面方程組的雅可比和高斯賽德爾迭代公式,并證明該公式是收斂的. 22. 若n階方陣B滿足B1,證明I+B可逆。23. 設(shè)