蔣中一動態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)

第一章動態(tài)最優(yōu)化的性質(zhì)第二章變分法的基本問題路徑值集合（實線）允許的路徑集合（曲線）泛函的概念通常函數(shù)：從實數(shù)到實數(shù)的映射。泛函：從路徑（曲線）到實數(shù)的映射。目標(biāo)泛函的概念連續(xù)時間路徑上識別一條弧，需要三樣信息：無限小的一條?。?）開始時間（2）開始狀態(tài)（3）弧的前進方向存在某個函數(shù)F，將弧值賦予弧，即從無限小的弧(曲線)到弧值(實數(shù))的影射，表示為：目標(biāo)泛函就是弧值之和：例：壟斷企業(yè)的利潤函數(shù)壟斷企業(yè)的動態(tài)需求函數(shù)：壟斷企業(yè)的總收益函數(shù)：壟斷企業(yè)的總成本函數(shù)：壟斷企業(yè)的總利潤函數(shù)：加總T期的總利潤函數(shù)，得到目標(biāo)泛函：如果收益函數(shù)或成本函數(shù)隨時間變化，目標(biāo)泛函：第一節(jié)歐拉方程變分法的基本問題最大化或最小化一、歐拉方程的推導(dǎo)變?yōu)椋阂弧W拉方程的推導(dǎo)（2.14）步驟1首先用來表示V，并求導(dǎo)：我們得到極值曲線的必要條件的更具體的形式：萊布尼茲法則：對于函數(shù)步驟2和令和。于是我們得到：把這些表達式代入（2.15），其中a=0，b=T。我們得到：（2.15）根據(jù)分部積分公式：以上推導(dǎo)得到：步驟3由于是任意的，因此可以得到：對于所有或?qū)τ谒袣W拉方程（2.17)以上推導(dǎo)得到：對推導(dǎo)得到的進行整理：步驟4因為F是一個具有三個自變量的函數(shù)所以偏導(dǎo)數(shù)也是具有三個同樣自變量的函數(shù)。把它代入(2.18)式，即，得：以上推導(dǎo)得到歐拉方程：歐拉方程的另一種形式具有邊界條件：例1求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得因此，極值曲線為：具有邊界條件：例2求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得10yt01根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：代入水平終結(jié)線橫截條件。和（在t=T處）通解為一、多個狀態(tài)變量的情況第二節(jié)歐拉方程的推廣當(dāng)給定問題中具有個狀態(tài)變量時，泛函變?yōu)椋翰⑶覍τ诿總€狀態(tài)變量都有一對初始條件和終結(jié)條件。個變量的歐拉方程組為：對于所有這幾個方程與邊界條件一起,可以確定解二、高階導(dǎo)數(shù)的情況那么高階導(dǎo)數(shù)泛函可以轉(zhuǎn)化為多個狀態(tài)變量的泛函:考慮一個含有的高階導(dǎo)數(shù)的泛函，即：并且都有一對初始條件和終結(jié)條件,即共有個邊界條件?？梢赞D(zhuǎn)化為含有個狀態(tài)變量及其一階導(dǎo)數(shù)的一個等價函數(shù)：一、社會損失函數(shù)第三節(jié)通貨膨脹和失業(yè)之間的折衷與的關(guān)系用附加預(yù)期的菲利普斯曲線來表示：預(yù)期通脹率的形成被假定為自適應(yīng)的：其中，表示預(yù)期通貨膨脹率。其中，為實際收入，為理想實際收入，為實際通貨膨脹率。社會損失函數(shù)為：由（2.40)式和(2.41)式，得：重新整理，得：（2.42)式代入(2.40)式，得：（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社會損失函數(shù)：二、問題三、解路徑滿足二階導(dǎo)數(shù)：政策制定者的目標(biāo)：最大化和被積函數(shù)為：F的一階導(dǎo)數(shù)：公式（2.19）給出了具體的必要條件：其中由于這個方程是齊次的，它的特解是0，它的通解是它的余函數(shù)：[通解]其中并且可知，和設(shè)和，并利用邊界條件得：解這兩個方程，得：[歐拉方程]第三章可變端點橫截條件預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)對于函數(shù)（1）萊布尼茲法則——對定積分的求導(dǎo)（2.6)（2）積分上限函數(shù)的求導(dǎo)（2.8)由積分中值定理得證：（3）對積分下限函數(shù)求導(dǎo)證：根據(jù)對積分上限函數(shù)求導(dǎo)的公式，得：（2.9)(4)如果定積分具有如下形式：根據(jù)（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)可變終結(jié)點問題：假設(shè)是已知的最優(yōu)終結(jié)時間，在鄰近的任何值可以表示為由于已知并且是一個預(yù)選的量，所以，T可被視為的一個函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為第一節(jié)一般性橫截條件T是的一個函數(shù)，所以函數(shù)V中積分上限隨著的變化而變化。最大化或最小化推導(dǎo)一般的橫截條件：步驟1（3.6）（3.6）式第二項:根據(jù)上一章的推導(dǎo)過程,得（3.6）式第一項:把這些代入(3.6)，并令，得：第40頁（3.7）步驟2通過把轉(zhuǎn)化為含和（3.8）步驟3把（3.8）式代入（3.7），得：（3.7）歐拉方程一般橫截條件（3.8）第2步驟推導(dǎo)得到：第1步驟推導(dǎo)得到：特殊橫截條件垂直終結(jié)線（固定時間水平問題）以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：垂直終結(jié)線涉及一個固定的T，從而又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：垂直終結(jié)線的橫截條件第二節(jié)特殊橫截條件特殊橫截條件水平終結(jié)線（固定端點問題）一般橫截條件又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：水平終結(jié)線的橫截條件水平終結(jié)線涉及一個固定的，從而特殊橫截條件終結(jié)曲線一般橫截條件把該式代入一般橫截條件，得：終結(jié)曲線的橫截條件終結(jié)曲線，和都未被賦予零值。又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：特殊橫截條件截斷垂直終結(jié)線一般橫截條件對點Z1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點Z2和Z3，即。最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最大化V的問題)特殊橫截條件截斷垂直終結(jié)線一般橫截條件對點Z1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點Z2和Z3，即。最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最小化V的問題)即在約束的情況下求的最大化。根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：庫恩塔克條件：特殊橫截條件截斷水平終結(jié)線一般橫截條件Tmax對點M1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點M2和M3，即，那么終結(jié)限制才被滿足。最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件(對于V的最大化)特殊橫截條件截斷水平終結(jié)線一般橫截條件Tmax對點M1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點M2和M3，即，那么終結(jié)限制才被滿足。最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件(對于V的最大化)在約束的情況下求的最大化。根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：Tmax即點M2和M3：具有邊界條件：例2求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得10yt01根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：代入水平終結(jié)線橫截條件。和（在t=T處）通解為第三節(jié)橫截條件的推廣（一）一個可變初始點如果初始點是可變的，那么邊界條件不再成立。需要一個初始橫截條件來填補這個空白。（二）多個狀態(tài)變量情形當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)表示為：一般橫截條件為：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)為：一般橫截條件為：（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況泛函具有被積函數(shù)，經(jīng)濟學(xué)中很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。以被積函數(shù)為例，一般橫截條件為：第四章二階條件第一節(jié)二階條件二階充分條件：一階導(dǎo)數(shù)等于零，得到極值線的必要條件的歐拉方程以及橫截條件。對于極大值對于極小值二階必要條件：對于極大值對于極小值根據(jù)（2.13）式V的二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)：此時，

取極大值。因此，可以得到二階充分條件：負定是

取極大值的充分條件。正定是

取極小值的充分條件。類似地，可以得到二階必要條件：半負定是

取極大值的充分條件。半正定是

取極小值的充分條件。一、固定端點的充分性定理對于固定端點問題，如果被積函數(shù)關(guān)于是凹的，那么歐拉方程對于識別是一個最大值是充分的。如果關(guān)于是凸的，那么歐拉方程對于識別是一個最小值是充分的。第二節(jié)凹性/凸性條件判別多元函數(shù)的凹凸性：將弱不等號和變換成嚴格不等號和，上述定義適用于嚴格凹函數(shù)和嚴格凸函數(shù)的定義。對于定義域中任意給定點和另一個點，當(dāng)且僅當(dāng)時，為凹函數(shù)凸函數(shù)其中在計算其值。固定端點的充分性定理的證明證明：當(dāng)函數(shù)是凹的，當(dāng)且僅當(dāng)對于區(qū)域中任意一對分離點和，我們有：這里的代表最小路徑，代表任意路徑。（4.4）對（4.4）式兩邊積分，得：（4.5)使用(2.16)式如果函數(shù)F關(guān)于是嚴格凹的，那么（4.4）和（4.5）中的弱不等式變?yōu)閺姴坏仁?，結(jié)果表明是唯一的V的最大值。同樣，一個嚴格凸函數(shù)F也將使成為唯一的最小值。（4.5)式二、可變終結(jié)點的充分性定理在垂直終結(jié)線或截斷垂直終結(jié)線問題中，如果被積函數(shù)F關(guān)于是凹（凸）的，那么，歐拉方程加上橫截條件足以確定的最大（小）值。(2.16)式證明：垂直終結(jié)線的橫截條件：垂直截斷終結(jié)線的橫截條件：第一種情況（Z1點）：第二種情況（Z2和Z3點）：上頁證明得到：轉(zhuǎn)化為固定終結(jié)點問題。三、檢驗凹性/凸性函數(shù)是凹（凸）的，當(dāng)且僅當(dāng)二次型在任何地方都是負（正）半定的；函數(shù)是嚴格凹（凸）的，當(dāng)（但不是僅當(dāng)）在任何地方都是負（正）定的。任何地方是指在的空間中的所有點和所有時刻都成立。二次型符號的定性和半定性可以用行列式檢驗和特征根檢驗來檢查。二次型符號定性的行列式檢驗二次型的行列式:q的負定性它的主子式：q的正定性是嚴格凹的是嚴格凸的（4.7）二次型符號半定性的行列式檢驗二次型的行列式:q的負半定性它們的主子式：q的正半定性是凹的是凸的通稱為通稱為二次型符號定性的特征根檢驗二次型的特征方程:q的負定性q的正定性是嚴格凹的是嚴格凸的由（4.7）求解特征方程的特征根和。q的負半定性q的正半定性是凹的是凸的用兩種方法來檢驗的凹性/凸性。例1如果目標(biāo)泛函的被積函數(shù)是

歐拉方程對于最大化或最小化是充分的嗎？第一種方法：符號（半）定性的行列式檢驗。和一階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：符號定性檢驗：二次型q不是正定的。二次型q是半正定的。即第三節(jié)勒讓德必要條件最大化對于所有最小化對于所有根據(jù)勒讓德必要條件證明（對于固定端點問題）：即使保持很小的值，的斜率也可以取非常大的絕對值。為了得到較大的值，通常也必須取較大的絕對值。結(jié)論：項傾向于占主導(dǎo)地位。最大化上頁證明得到：（4.28）第四節(jié)一階變分和二階變分在點附近展成泰勒級數(shù)：因為（4.30）中的第一項積分被稱為一階變分,表示為（4.30）中的第二項積分被稱為二階變分,表示為歐拉方程二階必要條件

若函數(shù)在含的某個開區(qū)間內(nèi)有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在內(nèi)時，函數(shù)可表示為的一個次多項式與一個余項之和，即：其中的余項附錄：泰勒公式一階條件：第二章至第四章小結(jié)在固定端點的情況下歐拉方程在可變終結(jié)點（終結(jié)狀態(tài)或終結(jié)時間可變）的情況下歐拉方程二階條件(對于目標(biāo)泛函V)二階充分條件二階必要條件（勒讓德必要條件）對于極大值對于極大值對于極大值對于所有對于極大值檢驗（被積函數(shù)F的）凹性/凸性：對于固定端點、垂直終結(jié)線和截斷垂直終結(jié)線問題，如果被積函數(shù)關(guān)于是凹的，那么歐拉方程對于識別是一個最大值是充分的。注：二階條件的計算在極值曲線上取值，凹性/凸性檢驗的計算在可行域任意點取值。第五章無限計劃水平第一節(jié)無限水平的方法問題第二節(jié)案例——艾斯納-斯特羅茲模型第三節(jié)相圖分析第四節(jié)凹性/凸性條件第一節(jié)無限水平的方法問題一、目標(biāo)泛函的收斂性條件Ⅰ給定廣義積分，如果被積函數(shù)F在整個積分區(qū)間是有限的，而且如果F在某個有限時刻比如說處達到零且對于所有保留為零，那么此積分將收斂。盡管此積分名義上具有一個無限水平，但是此積分的有限上限是一個有限值，這樣，給定的廣義積分實際上簡化為一個普通積分，它將積分到一個有限值?？紤]以下兩個積分：條件Ⅱ（錯）給定廣義積分，如果當(dāng)時，那么此積分將收斂。

和當(dāng)時每一個被積函數(shù)都趨于零。但是

收斂，不收斂。條件Ⅲ在積分中，如果被積函數(shù)具有形式，其中是正的折現(xiàn)率，而且函數(shù)是有界的，那么此積分將收斂。

橫截條件的問題有限水平的一般橫截條件：無限水平的一般橫截條件：這里兩項中任一項都必須單獨趨于零，即：（表示終結(jié)時間是可變的）（表示終結(jié)狀態(tài)是可變的）無限水平特殊橫截條件：設(shè)定一個漸近終結(jié)狀態(tài)。（表示終結(jié)時間是可變的）（表示終結(jié)狀態(tài)是不變的）注：有限水平的橫截條件不一定適用于無限水平，解決方法是用經(jīng)濟學(xué)原理來決定的終結(jié)狀態(tài)是什么。第二節(jié)案例——艾斯納-斯特羅茲模型其中，被積函數(shù)為調(diào)整成本C隨擴張速度而正向變化，調(diào)整成本函數(shù)為：企業(yè)利潤率與企業(yè)規(guī)模K相關(guān)，利潤函數(shù)為：企業(yè)目標(biāo)是選擇路徑來最大化企業(yè)凈利潤，即：代入歐拉方程，得：（5.17）導(dǎo)數(shù)是：通解是其中和以上求得通解是代入初始條件，得：企業(yè)最高利潤率的設(shè)備規(guī)模為：通解是其中因此，最終可以得到最優(yōu)K路徑是：（5.21）對于一個無限水平，如果沒有固定的時間T，即終結(jié)時間是可變的，則：被積函數(shù)為導(dǎo)數(shù)為橫截條件：通解是通解的導(dǎo)數(shù)為（5.22）把和代入（5.22）式，得：因為，所以得到：與上頁的結(jié)論一致。最優(yōu)投資路徑與靈活加速因子因此,最優(yōu)投資路徑為：以上推導(dǎo)得到最優(yōu)K路徑：(5.21)(5.23)(5.23)式描述了靈活加速因子機制，即通過投資的調(diào)整來逐步消除最優(yōu)路徑與目標(biāo)資本的差異。第三節(jié)相圖分析再一次討論艾斯納—斯特羅茲模型（5.17）其中，被積函數(shù)為求解得到歐拉方程為：我們引入一個變量I（凈投資）：(5.17)式歐拉方程可寫為含兩個一階條件的方程組：（5.34）（5.34）以上推導(dǎo)得到兩一階條件的方程組：曲線的方程：曲線的方程：

左邊，箭頭指向上；

右邊，箭頭指向下。第四節(jié)凹性/凸性條件對于有限水平的固定端點問題，被積函數(shù)關(guān)于變量是凹（凸）的，那么，歐拉方程對于絕對最大值（最小值）是充分的。對于有限水平問題，終結(jié)時間是固定的而終結(jié)狀態(tài)是可變的，被積函數(shù)關(guān)于變量是凹（凸）的，并且，，那么，歐拉方程對于絕對最大值（最小值）是充分的。第101頁倒數(shù)第一個公式（在可變終結(jié)點的情況下證明被積函數(shù)為凹函數(shù)是絕對極大值的充分條件）：對于無限水平問題，被積函數(shù)關(guān)于變量是凹（凸）的，并且，，那么，歐拉方程對于絕對最大值（最小值）是充分的。應(yīng)用于艾斯納-斯特羅茲模型被積函數(shù)為導(dǎo)數(shù)是：1.凹性/凸性檢驗海塞行列式的各階主子式：因此，被積函數(shù)F關(guān)于變量是嚴格凹的。2.充性條件檢驗代入得：第六章約束問題第一節(jié)約束的四種基本類型第二節(jié)經(jīng)過重構(gòu)的某些經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用第一節(jié)約束的四種類型一、等式約束最大化問題：滿足一組m個獨立但一致的約束（m<n）：對原始被積函數(shù)構(gòu)造一個拉格朗日函數(shù)：在目標(biāo)函數(shù)中用代替F給出了新函數(shù)：把拉格朗日乘子作為附加狀態(tài)變量，每一個滿足一個歐拉-拉格朗日方程：與相聯(lián)系的歐拉-拉格朗日方程：由于獨立于任意，所以對于每個都有例1找出位于曲面上的在給定兩點和之間的最短路徑。解：兩點之間的距離用來度量。最小化滿足和構(gòu)造拉格朗日被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：歐拉-拉格朗日方程：該題變成約束條件：二、微分方程約束最大化滿足拉格朗日被積函數(shù)仍為：和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件關(guān)于狀態(tài)變量的歐拉-拉格朗日方程：關(guān)于拉格朗日乘子的歐拉-拉格朗日方程：個歐拉-拉格朗日方程和個約束條件共同決定個路徑和。三、不等式約束最大化滿足我們把拉格朗日函數(shù)寫為：和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件上頁得到拉格朗日函數(shù)：與相聯(lián)系的歐拉-拉格朗日方程：為了確保所有的項在解中消失為零（以使的最優(yōu)值與F的最優(yōu)值相等），我們需要在第個乘子與第個約束之間對所有都建立互補-松弛條件：四、等周問題下面以單個狀態(tài)變量和單個積分約束為例：和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件最大化滿足我們可以寫出拉格朗日函數(shù)：我們定義函數(shù)分別有上頁得到拉格朗日函數(shù)：對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程：（6.18）（6.17）（6.18）式可以簡化為：（6.16）（6.17）式可以表示為:上頁推導(dǎo)得到的歐拉-拉格朗日方程：因此，可以寫成不含的修正拉格朗日函數(shù)：（6.20）（6.20）式對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為：對于個狀態(tài)變量、個積分約束的修正拉格朗日函數(shù)：第七章最優(yōu)控制第一節(jié)最大值原理第二節(jié)其他終結(jié)條件第三節(jié)變分法與最優(yōu)控制的比較第四節(jié)政治商業(yè)周期導(dǎo)入例子最大化滿足和自由表示資源的儲量表示時間時這種資源的抽取速度表示使用資源帶來的總效用狀態(tài)變量是用來描述某一狀態(tài)范圍內(nèi)所給定的變量，在狀態(tài)不變的情況下，狀態(tài)變量的值也就是一定的?？刂谱兞渴且馉顟B(tài)變量變動的變量。變分法是尋求狀態(tài)變量的最優(yōu)時間路徑，最優(yōu)控制理論把決定控制變量的最優(yōu)時間路徑作為首要任務(wù)。自由端點問題（垂直終結(jié)線）：最大化滿足和，對于所有的自由（A、T給定）漢密爾頓函數(shù)：解決最優(yōu)控制問題的工具是漢密爾頓函數(shù)。

包含被積函數(shù)加上共積變量與函數(shù)的乘積。第一節(jié)最大值原理（一）最大值原理對于所有的的運動方程的運動方程橫截條件關(guān)于最大化的這種要求稱為最大值原理。曲線1有內(nèi)部解；曲線2和3有邊界解。最大化滿足和（給定）根據(jù)運動方程：所以步驟1推導(dǎo)新的目標(biāo)泛函證明思路：由原泛涵推導(dǎo)出新泛涵，根據(jù)新泛涵推導(dǎo)得到最大值原理的三個條件和一般橫截條件。（二）最大值原理的證明

把漢密爾頓函數(shù)定義為：則新泛函為：根據(jù)分部積分公式新泛函為：上頁推導(dǎo)得到：根據(jù)漢密爾頓函數(shù)，得：狀態(tài)變量的運動方程最大化滿足和（給定）推導(dǎo)得到最大值原理的條件之一步驟2推導(dǎo)狀態(tài)變量的運動方程以上兩個方程右邊相同，因此左邊相等：以上推導(dǎo)得到：的鄰近路徑：的鄰近路徑：更進一步，如果與都是可變的，則有：新目標(biāo)泛函的新形式：步驟3推導(dǎo)新目標(biāo)泛函的另一種形式上頁推導(dǎo)得到

的第一項對求導(dǎo)，得：

的后兩項對求導(dǎo)，得：令，即（7.28）與（7.29）的和設(shè)為零得：(7.28)(7.29)(7.30)步驟4令推導(dǎo)另外兩個條件和橫截條件(7.30)由于是任意的，因此：推導(dǎo)得到最大值原理的條件之二由于是任意的，因此：推導(dǎo)得到最大值原理的條件之三由于積分項（即第一項）為零，因此：推導(dǎo)得到最大值原理的一般橫截條件上頁推導(dǎo)得到：第二節(jié)其他終結(jié)條件固定終結(jié)點的橫截條件：（和給定）水平終結(jié)線的橫截條件：一般橫截條件：（7.30）終結(jié)曲線的橫截條件：終結(jié)曲線一般橫截條件：（7.30）一般橫截條件：（7.30）截斷垂直終結(jié)線：對于情況一情況二對于令，根據(jù)庫恩塔克條件對于綜合情況一和二：情況一情況二一般橫截條件：對于（7.30）截斷水平終結(jié)線：情況一情況二綜合情況一和二：對于情況一情況二例1最大化滿足和步驟1漢密爾頓函數(shù)：的解是最大化（7.39)步驟2可以得到通解：漢密爾頓函數(shù)：（任意）（7.40)例1最大化滿足和步驟3解方程：該方程屬于這種類型。這里的和根據(jù)標(biāo)準公式,它的解如下:（7.41)把(7.39)和(7.40)代入狀態(tài)變量的運動方程，得：（7.39)（7.40)以上推導(dǎo)得到：步驟4根據(jù)邊界條件和代入，得：把這些代入(7.41)、(7.40)和(7.39)得：以上推導(dǎo)得到：（7.39)（7.40)（7.41)第三節(jié)變分法與最優(yōu)控制的比較一、最簡單的問題最大化滿足和運動方程具有如下簡單形式，并且的選擇是無約束的。一個特例最大化滿足把運動方程代入被積函數(shù)，我們可以消去，以上最優(yōu)控制問題可以重新寫成變分法問題：最大化滿足最優(yōu)控制問題：二、變分法與最優(yōu)控制的比較最大化滿足（7.2）最優(yōu)控制問題：漢密爾頓函數(shù)是：最大值原理可列出下列條件：（7.56）第一個方程可重寫為，考慮到第二個方程，它進一步可寫為：（7.57）（7.57）關(guān)于

求導(dǎo)，得：第三個方程給出了的另一個表達式,因此得：歐拉方程上頁推導(dǎo)得到：當(dāng)關(guān)于最大化漢密爾頓函數(shù)時，除了滿足一階條件之外，還要滿足二階必要條件。這就是勒讓德必要條件。最優(yōu)控制垂直終結(jié)線的橫截條件：以上推導(dǎo)得到：（7.57）把（7.57）式代入該橫截條件，得：這就是變分法垂直終結(jié)線的橫截條件。最優(yōu)控制水平終結(jié)線的橫截條件：根據(jù)以上例子的漢密爾頓函數(shù)，最優(yōu)控制水平終結(jié)線的橫截條件可變?yōu)椋海?.56）把（7.56）和（7.57）式代入該橫截條件，得：這就是變分法水平終結(jié)線的橫截條件。第四節(jié)政治商業(yè)周期一、選舉函數(shù)與菲利普斯曲線選舉函數(shù)：為失業(yè)率，為通貨膨脹率。菲利普斯曲線：其中，表示預(yù)期通貨膨脹率。其中，度量執(zhí)政黨的得票能力。預(yù)期通貨膨脹率按照適應(yīng)性預(yù)期理論生成：最大化滿足（7.61）最優(yōu)控制問題：為了定量求解，諾德豪斯假設(shè)如下函數(shù)形式：二、最優(yōu)控制問題和最大化滿足（7.64）最優(yōu)控制問題：和（7.62）（7.63）三、最大化漢密爾頓函數(shù)最大化滿足（7.64）最優(yōu)控制問題：和漢密爾頓函數(shù)為：關(guān)于控制變量U最大化H，我們有一階條件：二階條件：（7.66）因此,（7.66）式的控制路徑最大化了漢密爾頓函數(shù)。漢密爾頓函數(shù)：的運動方程：這是一階非齊次線性微分方程，該方程的特解為：對應(yīng)的一階齊次線性微分方程的通解為：該一階非齊次線性微分方程的通解為：根據(jù)垂直終結(jié)線的橫截條件：代入(7.67)得最優(yōu)共態(tài)路徑：四、最優(yōu)共態(tài)路徑(7.67)五、最優(yōu)控制路徑以上得到最優(yōu)共態(tài)路徑：控制路徑：(7.66)把代入（7.66）得到最優(yōu)共態(tài)路徑：是的減函數(shù)，因為預(yù)備知識一：對定積分的求導(dǎo)對于函數(shù)（1）萊布尼茲法則——對定積分的求導(dǎo)（2.6)（2）積分上限函數(shù)的求導(dǎo)（2.8)由積分中值定理得證：（3）對積分下限函數(shù)求導(dǎo)證：根據(jù)對積分上限函數(shù)求導(dǎo)的公式，得：（2.9)(4)如果定積分具有如下形式：根據(jù)（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)一階線性微分方程標(biāo)準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;預(yù)備知識二：一階線性微分方程對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例.解方程解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令第八章對最優(yōu)控制的進一步討論第一節(jié)現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)第二節(jié)充分條件第三節(jié)具有n個狀態(tài)變量和m個控制變量的問題滿足和最大化最優(yōu)控制問題：漢密爾頓函數(shù)：靜態(tài)最優(yōu)化問題：最大化滿足的最優(yōu)值取決于、和：拉格朗日乘數(shù)的解值是由參數(shù)引起的約束條件變化對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值影響的度量。對于任何時刻，是該時刻資本的影子價格。第一節(jié)現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最優(yōu)控制問題是：滿足和邊界條件在最優(yōu)控制的運用中，被積函數(shù)F時常含有一個折現(xiàn)因子。這樣一個函數(shù)F通常表示為：漢密爾頓函數(shù)：漢密爾頓函數(shù)出現(xiàn)了折現(xiàn)因子，增加了求導(dǎo)的復(fù)雜性?，F(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)可以定義為：定義一個新的（現(xiàn)值）拉格朗日乘子：即原來的漢密爾頓函數(shù)為：最優(yōu)控制問題是：滿足和邊界條件修正的最大值原理：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)等價于狀態(tài)變量的運動方程：原來的漢密爾頓函數(shù)現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)根據(jù)原來共態(tài)變量的運動方程，得：共態(tài)變量的運動方程：修正的共態(tài)變量運動方程：橫截條件：垂直終結(jié)線：水平終結(jié)線：艾斯納—斯特羅茲模型：最大化滿足和邊界條件利潤資本存量調(diào)整成本凈投資現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：是狀態(tài)變量，是控制變量現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：修正的最大化原理條件是：（8.20）（8.21）（8.22）根據(jù)（8.20）得：設(shè)逆函數(shù)為，則：（8.23）把（8.23）代入（8.21）得：（8.24）（8.22）和（8.24）兩個方程，求和的路徑。通過邊界條件和橫截條件確定任意常數(shù)，我們可以通過（8.23）求出最優(yōu)控制路徑。第二節(jié)充分條件一、曼加薩林充分性定理對于最優(yōu)控制問題：滿足和最大化如果(1)和函數(shù)都可微，而且關(guān)于變量是聯(lián)合凹的；(2)若

關(guān)于或非線性，那么對于所有；若

關(guān)于和是線性的，那么不需要任何不等式約束。漢密爾頓函數(shù)：最優(yōu)控制路徑以及相應(yīng)的和路徑，必段滿足最大值原理：初始條件和終結(jié)條件：(8.27)(8.28)(8.29)

和函數(shù)關(guān)于變量是凹的,于是,對于區(qū)域內(nèi)的兩個分離點和，我們有：對(8.30)式在兩邊積分，得：(8.27)(8.28)以上推導(dǎo)得到：(8.31)以上推導(dǎo)得到：根據(jù)分部積分公式把這個結(jié)果代入(8.31)，得：(8.31)以上推導(dǎo)得到：a)若

關(guān)于或非線性，那么；

b)若

關(guān)于和線性，那么無須不等式約束。曼加薩林充分性定理不但適用于垂直終結(jié)線問題，也適用于固定端點或截斷垂直終結(jié)線問題。二、阿羅充分性定理在任意時刻，給定狀態(tài)變量和共態(tài)變量，漢密爾頓函數(shù)被一個特定的值最大化，該值依賴于、和：（8.32）把（8.32）代入漢密爾頓函數(shù)，我們得到所謂的最大化漢密爾頓函數(shù)：（8.33）最優(yōu)漢密爾頓函數(shù)代表沿著所有最優(yōu)路徑取值的漢密爾頓函數(shù)，即對于每個時刻都在、和處取值，所以、和都可以被替換掉，使僅作為

的函數(shù)。最大化漢密爾頓函數(shù)沿著取值，盡管被替換，但其它自變量仍然保留下來，以致于是、和的函數(shù)，即。

在最優(yōu)控制問題中，最大值原理條件對于的全局最大化是充分的，如果對于給定和時間區(qū)間上所有的，在（8.33）中定義的最大化漢密爾頓函數(shù)關(guān)于變量是凹的。二、阿羅充分性定理阿羅充分性定理適用于垂直終結(jié)線問題、固定端點問題或截斷垂直終結(jié)線問題。曼加薩林定理是阿羅充分性定理的特例：如果和函數(shù)就像曼加薩林定理所規(guī)定的那樣關(guān)于都是凹的而且，那么關(guān)于也是凹的。當(dāng)關(guān)于是凹的時候，可以得到如阿羅定理所規(guī)定的那樣，關(guān)于是凹的。但是，即使如果和函數(shù)關(guān)于不是凹的，關(guān)于也可能是凹的。因此，阿羅條件是更弱的條件，也即是說，曼加薩林定理是阿羅充分性定理的特例。例3我們檢查一下艾斯納-斯特羅茲模型的最優(yōu)控制問題，最大值原理是否是充分的。艾斯納—斯特羅茲模型：利潤資本存量調(diào)整成本凈投資最大化滿足和邊界條件其中，(1)函數(shù)關(guān)于是線性的，從而函數(shù)是凹的。(2)函數(shù)的凹凸性檢驗。

曼加薩林充分性定理檢驗：(2)函數(shù)的凹凸性檢驗。

函數(shù)關(guān)于是凹的。阿羅充分性定理檢驗：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)根據(jù)最大值原理，該等式最后只剩下和，因此控制變量的最優(yōu)路徑可以用如下等式表示：把這個最優(yōu)控制代入，得：漢密爾頓函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：因此，最大化現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)關(guān)于狀態(tài)變量是嚴格凹的。第三節(jié)具有n個狀態(tài)變量和m個控制變量的問題最優(yōu)控制問題是：滿足和最大化滿足最大化和滿足最大化和矩陣表達形式簡化表達形式滿足最大化和漢密爾頓函數(shù)最大值原理：的運動方程：的運動方程：控制變量的方程：（8.36）（8.37）（8.38）單個狀態(tài)變量的一般橫截條件：多個狀態(tài)變量的一般橫截條件：由此產(chǎn)生兩個基本的橫截條件：多個狀態(tài)變量的一般橫截條件：假設(shè)兩個狀態(tài)變量存在終結(jié)曲線：對于一個很小的，下列等式成立：特殊橫截條件——終結(jié)曲線：把這兩個等式代入一般橫截條件，得：終結(jié)曲線的橫截條件為：多個狀態(tài)變量的一般橫截條件：特殊橫截條件——截斷垂直終結(jié)線：特殊橫截條件——截斷水平終結(jié)線：本章小結(jié)一、現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)最優(yōu)控制問題是：滿足和邊界條件現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：最大化的控制路徑：狀態(tài)變量的運動方程：共態(tài)變量的運動方程：最大化垂直終結(jié)線橫截條件：水平終結(jié)線橫截條件：在固定端點、垂直終結(jié)線或截斷垂直終結(jié)線問題中，如果被積函數(shù)F關(guān)于是凹的，那么，歐拉方程加上橫截條件足以確定的最大值。變分法的充分性定理二、變分法與最優(yōu)控制充分性定理的比較（一）曼加薩林充分性定理對于最優(yōu)控制問題：滿足和最大化如果(1)和函數(shù)都可微，而且關(guān)于變量是聯(lián)合凹的；(2)若

關(guān)于或非線性，那么對于所有；若

關(guān)于和是線性的，那么不需要任何不等式約束。最優(yōu)控制的充分性定理（二）阿羅充分性定理：

在最優(yōu)控制問題中，最大值原理條件對于的全局最大化是充分的，如果對于給定和時間區(qū)間上所有的，在（8.33）中定義的最大化漢密爾頓函數(shù)關(guān)于變量是凹的。曼加薩林充分性定理和阿羅充分性定理適用于垂直終結(jié)線問題、固定端點問題或截斷垂直終結(jié)線問題。第九章無限水平問題特點的證明：一、在自控問題中漢密爾頓函數(shù)的不變性預(yù)備知識——自控問題自控問題：是指被積函數(shù)中的函數(shù)和狀態(tài)變量的運動方程都不包含作為自變量。自控問題的特點：最優(yōu)漢密爾頓函數(shù)（即沿著、和的最優(yōu)路徑取值的漢密爾頓函數(shù)）將在時間上有一個常數(shù)值。漢密爾頓函數(shù)：漢密爾頓函數(shù)的全微分：滿足最大化和邊界條件漢密爾頓函數(shù)的全微分：當(dāng)最大化時，我們有：（對于內(nèi)部解）（對于邊界解）根據(jù)最大值原理，我們有：第一節(jié)橫截條件一、變分觀點與7.3節(jié)相同的函數(shù)構(gòu)造方法，我們得到新的目標(biāo)泛函：（P214）對右邊第二個積分使用分部積分公式，得：（P214）為了產(chǎn)生相對于最優(yōu)控制路徑和最優(yōu)狀態(tài)路徑的鄰近路徑，我們對和分別采用擾動曲線和：類似地，對變量和，我們有：結(jié)果，泛函被轉(zhuǎn)化為的函數(shù)。最大化的一階條件為：以上推導(dǎo)得到：把以上有限水平改編到無限水平，這個方程變?yōu)椋簩τ跓o限水平問題，終結(jié)時間是可變的：對于無限水平問題，如果終結(jié)狀態(tài)是可變的：對于無限水平問題，如果終結(jié)狀態(tài)是固定的：對于無限水平的橫截條件問題，如果可變終結(jié)狀態(tài)在時受制于預(yù)設(shè)的最低水平：第二節(jié)重新考察某些反例對于無限水平問題，如果終結(jié)狀態(tài)是可變的：反例是針對以下橫截條件而言的：哈爾金反例最大化滿足和目標(biāo)泛函可以重寫為：最大化(9.9)等同于要求狀態(tài)變量在終結(jié)時間取一個特定值——的上界。哈爾金反例最大化滿足和為求出的上界，我們首先求出路徑。的運動方程：它是一個一階線性非齊次微分方程，通解為：利用初始狀態(tài)，我們得到：一階線性非齊次微分方程的定解為：一階線性非齊次微分方程的定解為：。當(dāng)使

達到上限1時的路徑為：漢密爾頓函數(shù)：關(guān)于最大化：哈爾金認為這與終結(jié)狀態(tài)可變的橫截條件

相矛盾，這就是哈爾金反例。哈爾金問題要求選擇的上界作為狀態(tài)變量的終結(jié)狀態(tài)，因此，哈爾金問題其實是一個固定終結(jié)狀態(tài)問題，該反例不能證明(9.4)的橫截條件是不正確的。對于無限水平問題，如果終結(jié)狀態(tài)是可變的：反例是針對以下橫截條件而言的：運動方程：漢密爾頓函數(shù)：關(guān)于最大化，因為關(guān)于是線性函數(shù)，所以

的最優(yōu)路徑是邊界解，即或，由于的后果是，所以控制變量的最優(yōu)路徑為：最大值原理：它們的通解：根據(jù)初始條件，可得：根據(jù)橫截條件，可得：第三節(jié)新古典最優(yōu)增長理論一、模型新古曲生產(chǎn)函數(shù)我們定義平均勞動產(chǎn)出和資本勞動比率由于新古典生產(chǎn)函數(shù)是線性齊次的，生產(chǎn)函數(shù)表示為：總產(chǎn)出等于消費和總投資。凈投資重寫為：左右兩邊除以，并用符號表示人均消費，得：我們利用關(guān)系：（9.23）把此關(guān)系代入（9.23）式，得：社會效用函數(shù)被假定具有如下特性：由于人口（勞動力）以速度增長，所以在任何時達到的社會效用可以用該時該的人口規(guī)模進行加權(quán)。所以，當(dāng)具有折現(xiàn)率時，目標(biāo)泛函具有如下形式：（9.26）為保證收斂性，我們規(guī)定。假定和，（9.26）的目標(biāo)泛函可以簡化為：最大化滿足和根據(jù)以上推導(dǎo)得到的運動方程（9.23）和目標(biāo)泛函，最優(yōu)增長問題為：最大化滿足和最優(yōu)增長問題為：二、最大值原理狀態(tài)變量的運動方程：關(guān)于最大化：現(xiàn)值拉格朗日乘子的運動方程：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：最大值原理：（9.33）（9.34）（9.35）上頁推導(dǎo)得到：三、構(gòu)造相圖狀態(tài)變量的運動方程：關(guān)于最大化：共積變量的運動方程：（9.33）（9.34）（9.35）關(guān)于求導(dǎo)（9.33），得的表達式：把（9.33）和代入（9.35），經(jīng)整理得：根據(jù)（9.34）：微分方程組(9.36)我們給出曲線和曲線：（9.37）（9.38）（9.37）（9.38）上頁推導(dǎo)得到：上頁推導(dǎo)得到四、橫截條件普通漢密爾頓函數(shù)：共積變量的解路徑：[終結(jié)狀態(tài)可變的橫截條件成立]漢密爾頓函數(shù)的解路徑：[終結(jié)時間可變的橫截條件成立]第四節(jié)外生和內(nèi)生的技術(shù)進步哈羅德中性技術(shù)進步：我們定義有效勞動為，生產(chǎn)函數(shù)(9.48)式變?yōu)椋焊鶕?jù)線性齊次的假設(shè)，我們可以把(9.51)寫為：新狀態(tài)變量的運動方程可以與(9.24)相同的步驟得到：最優(yōu)增長問題變?yōu)椋鹤畲蠡瘽M足和一、具有哈羅德中性技術(shù)進步（外生技術(shù)）的增長模型最優(yōu)增長問題為：狀態(tài)變量的運動方程：關(guān)于最大化：現(xiàn)值拉格朗日乘子的運動方程：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：最大值原理：（9.55）（9.56）（9.57）最大化滿足和（9.54）把上頁推導(dǎo)得到的(9.55)、(9.56)和(9.57)三個方程合并為兩個微分方程組：微分方程組(9.58)我們給出曲線和曲線：（9.59）（9.60）與第三節(jié)新古典最優(yōu)增長模型相同的相圖分析，可以得到當(dāng)達到穩(wěn)態(tài)時：二、羅默的內(nèi)生技術(shù)進步增長模型表示人力資本總額：其中，用于生產(chǎn)最終產(chǎn)品，用于提高技術(shù)。技術(shù)的生產(chǎn)函數(shù)：其中，為研究成功參數(shù)，。技術(shù)水平由無限的中間產(chǎn)品來反映：我們令對于，那么可以充當(dāng)技術(shù)先進與否的衡量。最終產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)：令方案指標(biāo)變?yōu)檫B續(xù)變量，于是生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)椋杭僭O(shè)被積函數(shù)所有都對稱地進入，即：假設(shè)生產(chǎn)一單位中間產(chǎn)品需要單位的資本，因此資本總量為：把代入，得：以上推導(dǎo)得到：在不考慮折舊的情況下，凈投資是未消費的產(chǎn)業(yè)，即：最優(yōu)控制問題：滿足最大化和我們定義縮寫符號：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：最大值原理：現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：共態(tài)變量的運動方程：穩(wěn)態(tài)：以上推導(dǎo)得到：由(9.72)和(9.74)式，得：利用刻畫的穩(wěn)態(tài)關(guān)系，得：(9.75)代入(9.78)得：所謂穩(wěn)態(tài)（steadystate）是指主要經(jīng)濟變量以不變速度增長（即增長率不變）的狀態(tài)。需要注意以下幾點：一、不同變量的不變增長率可以相等、也可以不相等；二、不變增長率可以等于0。至于平衡增長路徑（balancedgrowthpath）現(xiàn)在常常被用作穩(wěn)態(tài)的同義語。第十章具有約束的最優(yōu)控制問題最大化滿足和第一節(jié)涉及控制變量的約束一、等式約束最優(yōu)控制問