一元二次方程(全章講義精修)

1、叮當(dāng)課堂學(xué)習(xí)講義 學(xué)生姓名： 任課教師： 上課時間：學(xué)習(xí)主題：第一章 一元二次方程知識點1：一元二次方程的定義 1 定義： 方程是整式方程 它只含有一個未知數(shù) 未知數(shù)的最高次數(shù)是2 2一般式：一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù)，）。*其中是二次項，a二次項是系數(shù)； 是一次項，b是一次項系數(shù)； 是常數(shù)項。典例分析：題型1：定義例1：下列關(guān)于的方程，哪些一定是一元二次方程？（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）例2：已知關(guān)于的方程是一元二次方程時，則_；例3：已知關(guān)于的方程是一元二次方程時，則 ；例4：已知（m+3）x23mx1=0是一元二方程，則m的取值范圍是 。例

2、5：試證明：無論取何實數(shù)，關(guān)于的方程都是一元二次方程題型2：一般式例1：將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。（1）； （2）； （3）例2:填表方程x21=2x63y2=0（x2）（2x+3）=6一般式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項課堂檢測：1、下列方程一定是一元二次方程的是_（只填序號） （1）x2=5； （2）x2+xy+3=0； （3）x+=2； （4）mx2+x+1=0（m0）； （5）ax2+bx+c=0； （6）x2+3x+1=0； （7）x2+1=0； （8）2+=02、一元二次方程（2x+1）（x1）=3x+1化為一般形式是_，二次項是_，一次項

3、是_，常數(shù)項是_3、一元二次方程x2=7的二次項系數(shù)是_，一次項系數(shù)是_，常數(shù)項是_4、關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍為_。5、關(guān)于的方程（1）當(dāng)滿足_條件時，方程為一元二次方程；（2）當(dāng)滿足_條件時，方程為一元一次方程；知識點2：一元二次方程的解（根） 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 如：當(dāng)時，所以是方程的解。 典例分析： 題型1：利用解求方程中某字母的值例1：已知關(guān)于的方程的一個根為，則實數(shù)的值為_。例2：關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則的值為_。例3：在關(guān)于的一元二次方程 中，滿足下面等式（1） 若，則一元二次方程有一根_。

4、（2）若，則一元二次方程有一根_。題型2：利用根求代數(shù)式的值例1：已知若是方程的一個解，則=_。例2：已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_。例3：已知是方程的一個解，且，則的值為_。例4：已知實數(shù)是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為_。例5：已知是方程的根（1） 則=_； （2）則=_。當(dāng)堂檢測：1、 已知1是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為_。2、 若是方程的一個根，則的值為_。3、 已知是一元二次方程的一個根，且，則的值為_。4、 已知關(guān)于的一元二次方程有一個非零根，則的值為_。5、 若，則的值為_。6、 若正數(shù)是一元二次方程的一個根，是一元二次方程的一個根，則的值為_。7、 已知，代數(shù)式

5、的值為_。8、 如果，那么代數(shù)式的值為_。9、若關(guān)于的一元二次方程有一個根為0，則的值為_。知識點3：直接開方法解一元二次方程利用平方根的定義直接開方來求一元二次方程的解的方法叫做直接開方法如：（1）的解是； （2）的解是； （3）的解是。題型1：直接開方法解一元二次方程例1：用直接開平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3） 例2：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）題型2：綜合提升例1：用直接開方法解下列方程，其中無解的是（ ） A、 B、 C、 D、例2：若關(guān)于的方程有解，則的取值范圍為_。例3：若關(guān)于的方程有解，則此方程的解為_。例4：若關(guān)于的方程有解，則要滿

6、足的條件是_。例5：已知關(guān)于的方程的兩根為，則方程的兩根分別為_；=_。例6：若方程的解是則。當(dāng)堂檢測：1、 若方程有實數(shù)根，則的取值范圍為_。2、 已知一元二次方程的一個根為0，則的值為_。3、 若方程的左邊是一個完全平方式，則的值為_。4、解下列方程（1） （2）(3) （4）（5） （6）知識點4：解一元二次方程（二） 方法2：配方法解一元二次方程 第一步：方程化為一般形式 第二步：二次項系數(shù)化為1（步驟） 第三步：常數(shù)項移到等式右側(cè) :第四步：等式兩邊加一次項系數(shù)一般的平方 第五步：改為的形式 第六步：直接開方法 (*(oo)豬頭們注意啦 關(guān)于方程的根的討論： （1）當(dāng)p>0時，

7、方程有兩個不等的實數(shù)根，； （2）當(dāng)p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）當(dāng)p<0時，方程無實數(shù)根。題型1：完全平方式知識回顧例1：填空 （1）（2）（3） 親，請自己總結(jié)出配完全平方式需要加的常數(shù)項與一次項系數(shù)的關(guān)系！ d=(*)b_例2：已知是完全平方式，則的值為_。例3：若是完全平方公式，則的值為_。例4：根據(jù)完全平方式填空（1） （2）（3） (4) 題型2：用配方法解一元二次方程例1：用配方法解下列方程：（1） （2） （3） （4） （5） （6）例2：用配方法求解下列問題（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 例3：用配方法證明（1）

8、 的值恒小于0 （2）的值恒大于0當(dāng)堂檢測：1、 用配方法解方程時，配方法所得的方程是（ ） A、 B、 C、 D、2、 已知一元二次方程，配方法解該方程，配方后的方程為（ ） A、 B、 C、 D、3、 用配方法填空（1）（2）4、 當(dāng)時，代數(shù)式是完全平方式；當(dāng)時，代數(shù)式為完全平方公式。5、 已知，為實數(shù)，則=_。6、 解下列方程（1） （2）（3） （4）知識點5：根的判別式 1根的判別式：（其中為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項）當(dāng),方程有兩個不相等的根；當(dāng),方程有兩個相等的根；當(dāng)<0,方程無實數(shù)解。典例分析：題型1：根據(jù)判別式判斷根的情況例1：方程的根的情況（ ） A、該方程有

9、兩個相等的實數(shù)根 B、該方程有兩個不相等的實數(shù)根 C、該方程沒有實數(shù)根 D、無法確定例2：不解方程判斷下列方程根的情況（1） （2） （3）（4） （5）題型2：利用跟的判別式求方程中某個字母的值或取值范圍例1：若一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍為_。例2：關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為_。例3：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為_。例4：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則整數(shù)的最大值是_。例5：若關(guān)于的一元二次方程，異好，則方程根的情況為_。例6：若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是_。題型3：利用根的判別式證明方程根的情況例1：已知關(guān)于的一元二

10、次方程。 （1）求證：不論為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根 （2）當(dāng)時，用配方法解此一元二次方程。例2：已知：關(guān)于的一元二次方程（為整數(shù)） 求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根例3：已知關(guān)于的方程（1） 求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根（2） 若方程的一個根為1，請求出方程的另一個根。例4：已知關(guān)于的一元二次方程（）（1） 求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根（2） 設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別（其中），若是關(guān)于的函數(shù)，且，求這個函數(shù)的函數(shù)解析式當(dāng)堂檢測：1、 不解方程，判斷下列方程解的情況（1） （2） （3）2、 對于任意實數(shù)，關(guān)于的方程的根的情況為_。3、 當(dāng)=_時，關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)

11、根。4、 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則=_。5、 已知關(guān)于的一元二次方程。當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？6、求證：關(guān)于的一元二次方程恒有兩個實數(shù)根7、 已知關(guān)于的方程（1） 當(dāng)該方程的一個根為1時，求的值及該方程的另一個根（2） 求證：不論取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根知識點6：公式法解方程 2方法三：公式法解一元二次方程 第一步：確定 的值步驟 第二步：用根的判別式判斷方程是否有根 第三步：當(dāng),方程有根，利用公式； 當(dāng)<0,方程無實數(shù)解。典例分析：題型1：公式法解方程例1：解下列方程 （1） （2） （3） （4） 題型2：與幾何結(jié)合的題型例1：在等腰三角形ABC中，

12、三邊長分別為，其中，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求ABC的周長。例2：已知關(guān)于的一元二次方程，其中分別為ABC的三邊長（1） 如果是方程的根，是判斷ABC的形狀，并說明理由。（2） 如果方程有兩個相等的實數(shù)根，是判斷ABC的形狀，并說明理由。（3） 如果ABC是等邊三角形，試求出這個一元二次方程的根。例3：已知的兩邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根。（1） 當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長？（2） 若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長為多少？當(dāng)堂檢測：1、已知方程，且，則_。2、用公式法解下列方程（1） （2） （3）知識點6：因式分解法解方程因式分解

13、法解一元二次方程（常見形式） 第一種形式：（），用提公因式法。 第二種形式：，移項，提取公因式。 第三種形式：，用十字相乘法。典例分析：題型1：因式分解解一元二次方程例1：解下列一元二次方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）例2：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6）例3：解下列方程（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8） （9） 題型2：綜合提升例1：已知一元二次方程的兩個根分別為，則原方程可化為（ ） A、 B、 C、 D、例2：若方程與方程的根相同，則例3：已知一元二次方程的兩個根分別為，則二次三項式可分解為_。例4：在實數(shù)范圍為定義一種運算

14、“*”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)矩，方程的解為_。例5：若關(guān)于的方程與有相同的實數(shù)根，則的值為_。例6：已知為非負(fù)數(shù)，方程（1） 驗證該方程有兩個實數(shù)根；（2） 求方程的解。當(dāng)堂檢測：1、用因式分解法解下列一元二次方程：(1)； (2)； (3)t(2t1)3(2t1) （4）2、 解下列方程（1） （2） （3）知識點7：根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根則；典例分析：題型1：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值例1：不解方程，求下列方程的兩根之和和兩根之積（1） （2） （3）例2：當(dāng)取何值時，方程分別適合下列條件：（1）兩根之和為2 （2）兩根互為倒數(shù) （3）兩根互為相反數(shù)例3：若方程的兩個根分別為

15、，則（1）=_ (2)=_ （3）=_ (4)=_題型2：綜合題型例1：已知是方程的兩個根，則_。例2：方程有兩個相等的實數(shù)根，且滿足，則的值是_。例3：當(dāng)_時，一元二次方程有實根；當(dāng)_時，兩根同為正；當(dāng)_時，兩根異號。例4：已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根（1） 若，求的值（2） 已知等腰ABC的一邊長為7，若恰好是ABC另外兩邊的長，求這個三角形的周長例5：已知，且，求的值例6：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且滿足，試求出方程的兩個實數(shù)根及的值。例7：已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是（1） 求的取值范圍（2） 如果，且為整數(shù)，求的值例8：關(guān)于的一元二次方程（1） 證明：方程

16、總有兩個不相等的實數(shù)根（2） 設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值及方程的根當(dāng)堂檢測：1、 若是方程的兩個實數(shù)根，則=_。2、 已知是方程的兩根，則=_。3、 設(shè)是一元二次方程的兩個根，且，則_。4、 已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，如果，那么的值為_。5、 已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根（1） 若，求的值（2） 已知等腰ABC的一邊長為7，若恰好是ABC另外兩邊的長，求這個三角形的周長知識點8：一元二次方程的實際問題（一）一元二次方程應(yīng)用題的一般解題步驟：1、完整地系統(tǒng)審清題意；2、把握住問題中的等量關(guān)系； 3、正確地求解方程并檢驗解的合理性。典例分析：題型1：傳播問題例1、有一

17、人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？例2：某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染，請用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染多少臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？例3：早期，甲肝流行，曾有2人同時患病，經(jīng)過兩輪傳染后，總共有64人患病，求平均一人能傳染幾個人。題型2：互動問題例1：參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進(jìn)行一次比賽，共比賽90場比賽，共有多少個隊參加比賽？例2：生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，這個小組共

18、有多少名同學(xué)？題型3：平均變化率問題類型一（平均上漲）例1：某城市2006年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2008年底增加到363公頃設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x，由題意，所列方程正確的是（ ）A300(1x)=363B300(1x)2=363C300(12x)=363D363(1x)2=300例2：某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)”活動三年來，接受科技培訓(xùn)的人員累計達(dá)95萬人次，其中第一年培訓(xùn)了20萬人次。設(shè)每年接受科技培訓(xùn)的人次的平均增長率都為，根據(jù)題意列出的方程是_。例3：某超市一月份的營業(yè)額為200萬元,已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元, 如果平均每月增長率為,

19、則由題意列方程應(yīng)為_。例4：汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進(jìn)我國現(xiàn)代化建設(shè)某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同（1）該公司2006年盈利多少萬元？（2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計2008年盈利多少萬元？類型二：變化率問題（平均下降）例1：某廠制造某種商品,原來每件產(chǎn)品的成本是100元,由于不斷改進(jìn)設(shè)備,提高生產(chǎn)技術(shù),連續(xù)兩次降低成本,兩次降價后的成本是81元,則平均每次降低成本的百分率是多少？例2：恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售

20、額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率例3：某商品，經(jīng)兩次調(diào)價后現(xiàn)在價格比原來的價格少了36%，求兩次降價的平均變化率.當(dāng)堂檢測：1、某商品原售價289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元,設(shè)平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( )A、 B、 C、 D、2、某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個.設(shè)該廠五、六月份 平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（ ） A、 B、 C、 D、 3、某校九年級學(xué)生畢業(yè)時，每個同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出

21、方程為（ ）A、 B、 C、 D、4、某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個支干長出多少小分支？5、參加一次聚會，每兩人都握一次手，所有人共握手66次，有多少人參加聚會？6、 某商店2月份的營業(yè)額為50萬元，3月份下降了30%，4月份比3月份有所增長，5月份增長率又比4月份的增長率增加了5個百分點，營業(yè)額達(dá)到了48.3萬元，問4、5兩個月的營業(yè)額增長率各為多少？題型4：幾何面積問題例1：如圖，在一塊長為32m，寬為20m的矩形地面上，修建同樣寬的道路，剩余部分種上草坪，若使草坪面積達(dá)到570，則道路的寬應(yīng)該是多少m? 例2：如圖，

22、某中學(xué)為方便師生活動，準(zhǔn)備在長30 m，寬20 m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為32，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應(yīng)為多少？ 例3：利用墻的一邊，再用13 m的鐵絲網(wǎng)圍三邊，圍成一個面積為20 m2的長方形，設(shè)長為x m，可得方程( ) A、 B、 C、 D、例4：如圖，某工廠直角墻角處，用可建60米長圍墻的建筑材料圍成一個矩形堆貨場地，中間用同樣的材料分隔成兩間，問AB為多長時，所圍成的矩形面積是450平方米？ 當(dāng)堂檢測：1、在一幅長為，寬為的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為

23、，那么滿足的方程是（ ） 、 、 、 、2、一塊長方形鐵皮長32cm，寬24cm，四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個無蓋鐵盒，使底面積是原來的一半，求盒子的高。3、 如圖某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18m），另三邊用木欄圍成，木欄長35m。雞場的面積能達(dá)到150m2嗎？雞場的面積能達(dá)到180m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由。若墻長為m,另三邊用竹籬笆圍成，題中的墻長度m對題目的解起著怎樣的作用?題型5：銷售問題（利潤=每件利潤×銷售量）例1：某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在

24、進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？例2：某商店將進(jìn)價為8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，現(xiàn)在采取提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少10件，問應(yīng)將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為640元？例3：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，

25、每件襯衫應(yīng)降價多少元？例4：關(guān)山超市銷售某種電視機(jī)，每臺進(jìn)貨價為2500元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺電視機(jī)，而當(dāng)銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺商場要想使這種電視機(jī)的銷售利潤每天達(dá)到5000元，每臺電視機(jī)的售價應(yīng)為多少元?例5：某精品店以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（35010a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價多少？當(dāng)堂檢測：1、某商店購進(jìn)一種商品，進(jìn)價30元試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(元)滿足關(guān)系：P=銷售量P，若商