定積分的應(yīng)用c

1、S F01（數(shù)）Ch 10定積分的應(yīng)用計劃課時：8時129Ch 10定積分的應(yīng)用(8 時)1 平面圖形的面積(2 時)直角坐標系下平面圖形的面積1.簡單圖形：X-型和Y-型平面圖形2.簡單圖形的面積：給出X-型和Y-型平面圖形的面積公式.對由曲線F(x, y) =0和G(x, y) =0圍成的所謂“兩線型”圖形，介紹面積計算步驟.注意利用圖形的幾何特征簡化計算.(參閱4P232 240 E86 93 )例 1 求由曲線xy=1, x-y=0, x =2圍成的平面圖形的面積.例 2 求由拋物線y2二x與直線x-2y-3 = 0所圍平面圖形的面積.32(1P338 E1 及圖11 - 2,)33.

2、參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式：設(shè)區(qū)間a,b上的曲邊梯形的曲邊由方程x=(t), y=y(t),：罕乞一C)二a,給出.又設(shè)(t)0,就有(t)/ ,于是存在反函數(shù)t (x).由此得曲邊的顯式方程y(t)=y (X), X a,b.b-S|y x)|dx|y(t)| (t)dt,130pp亦即S二|y|dx二|y(t)|d (t).aa具體計算時常利用圖形的幾何特征例3求由擺線x=a(t-sint), y = a (1 -cost) (a . 0)的一拱與X軸所圍(：-)所圍“曲邊扇形”的面積公式(簡介微元法，并用微元法推導(dǎo)公式 .半徑12為r,頂角為.心的扇形面積為 丄r2門.)2Ar2U)d

3、n.2:例4求由雙紐線r2=a2cos2n所圍平面圖形的面積.解cos2,一0,：一，一 或.(可見圖形夾在過極點，傾角_ 4 4 .H44為的兩條直線之間)以-V 代二方程不變，= 圖形關(guān)于X軸對稱；以二-二4代二,方程不變，= 圖形關(guān)于Y軸對稱(參閱1P340 圖11-6)142A = 4 a cosd -20平面圖形的面積(P338 E2 ,3 二a2)極坐標下平面圖形的面積:推導(dǎo)由曲線r二r(v)和射線-?,-因此1312 已知幕勢立體的體積(2 時)已知幕勢立體的體積：設(shè)立體之幕為A(x),xa,b.推導(dǎo)出該立體之b體積V = A(x)dx.a祖暅原理：夫幕勢即同，則積不容異.(祖暅

4、系祖沖之之子，齊梁時人，大約在五世紀下半葉到六世紀初)例 1 求由兩個圓柱面x2亠y2= a2和x2z2= a2所圍立體體積1631P342 E1(a)32 2 2例 2 計算由橢球面冷莒二=1所圍立體(橢球)的體積.a b c41P342 E2(abc)3:.旋轉(zhuǎn)體的體積：定義旋轉(zhuǎn)體并推導(dǎo)出體積公式bV=- f2(x)dx.a例 3 推導(dǎo)高為h,底面半徑為r的正圓錐體體積公式例 4 求由曲線x-y2=0和x-y=O所圍平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積例 5 求由圓x2 (y -20)2乞25繞X軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.(1000 二2)例 6D : y , x =0,X軸正半軸.D繞X軸旋轉(zhuǎn).求

5、所得旋轉(zhuǎn)體體積1323 曲線的弧長( (1 時) )一.弧長的定義：定義曲線弧長的基本思想是局部以直代曲，即用折線總長的極限定義弧長.可求長曲線.133弧長計算公式：光滑曲線的弧長設(shè)L: x =(t),y二y(t)，:r 匕一又A O , VO , B C) , yC ),(t)和y(t)在區(qū)間：,訂上連續(xù)可導(dǎo)且2(t) y2(t0.則L上以A和B為端點 的弧段的弧長為P _s.(t)2y (t)2dt.a為證明這一公式，先證以下不等式：對-a, b, R,有| .a2b2- a2c2|豈|b -c|,Ch 1 1EX第 5 題(P4).其幾何意義是：在以點(a,b),(a,c)和(0,0)為

6、頂點的三角形中，兩邊之差不超過第三邊 事實上,為證求弧長公式，在折線總長表達式中，先用 Lagrange 中值定理，然后對式v7,2(M+yH2(-*)插項進行估計.參閱1P347.如果曲線方程為極坐標形式r二r(J),二 ，J, rp)連續(xù)可導(dǎo)，則可寫出其參數(shù)方程x二r(cosr, y二r(r)sin于是P _ P _ p)2y p)2 .、r2( r2(巧在.aot4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積( (1 時)用微元法推出旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式2 2 | . a2b2- . a2c2|二| c |Va2 2 2 2|b - c K，|b - c2b2.a2c2|b|c| |b c|L|b-c|.134b_曲線方程為y = f (x), x a,b時，