微積分04導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)系西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)系孫疆明孫疆明高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)微積分微積分市市精精光光第八講第八講 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)三、求導(dǎo)法那三、求導(dǎo)法那么么一、引言一、引言七、函數(shù)的微分七、函數(shù)的微分四、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式四、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式五、隱函數(shù)求導(dǎo)法五、隱函數(shù)求導(dǎo)法六、參數(shù)式求導(dǎo)法六、參數(shù)式求導(dǎo)法一、引言一、引言背景例如背景例如運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題 增長率問題增長率問題河河水水污污染染源源查查找找消費(fèi)決策問題消費(fèi)決策問題邊邊際際分分析析00000000000 ( ) .()() limlim, ,

2、.( ) ()|xxxxxxxxyf xxyf xxf xxxfxfxdfdydf xfxdxdxdx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某鄰鄰域域有有定定義義 如如果果極極限限存存在在 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在可可導(dǎo)導(dǎo) 并并稱稱此此極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)記記作作或或或或或或二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)1. 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義留意變量符號選擇的恣意性留意變量符號選擇的恣意性,有有 導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 0000lim()lim()

3、.xxffxxffxx 若存在,稱之右導(dǎo)數(shù),記；若存在,稱之右導(dǎo)數(shù),記；若存在,稱之左導(dǎo)數(shù),記若存在,稱之左導(dǎo)數(shù),記2. 導(dǎo)函數(shù)定義導(dǎo)函數(shù)定義( ,),( , ).fa bfa b 若若函函數(shù)數(shù) 在在開開區(qū)區(qū)間間上上點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)則則稱稱 在在開開區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)( , ), , .fa babfa b 若函數(shù) 在開區(qū)間上可導(dǎo) 且若函數(shù) 在開區(qū)間上可導(dǎo) 且在點(diǎn) 右可導(dǎo) 在點(diǎn) 左可導(dǎo) 則稱在點(diǎn) 右可導(dǎo) 在點(diǎn) 左可導(dǎo) 則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)在閉區(qū)間上可導(dǎo), .:yfIIf 若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都可可導(dǎo)導(dǎo)則則在在區(qū)區(qū)間間 上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)新新的的函函數(shù)數(shù) 稱稱為為的

4、的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù) 記記為為( )( ),( )dydfdf xdyfxf xdxdxdxdx或或或或或或或或 ( ),:f x例 設(shè)可導(dǎo) 求例 設(shè)可導(dǎo) 求0( )(2 )(2) limxf xfxx 0(1)(1)(3) limxfxfxx0(3)(3)(1) limxfxfx 0000()(). ( )lim() (); .xf xa xf xb xf xxab fx 例例可可導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí), ,但但上上極極限限存存在在不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)0()( )( )lim.xf xxf xfxx 導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)解解解解解解證明證明)()(00tstv 瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度：)()(00 xfxk 切切線線斜斜率率

5、：)()(xmx 線密度：線密度：2. 導(dǎo)數(shù)的意義導(dǎo)數(shù)的意義物理意義物理意義幾何意義幾何意義000000( )(,() ()()().yf xMxf xyf xfxxx 在處切線方程:在處切線方程:速度以時(shí)間為自變量的導(dǎo)數(shù).速度以時(shí)間為自變量的導(dǎo)數(shù).一一點(diǎn)點(diǎn)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單位位長長物物體體的的質(zhì)質(zhì)量量 普通地，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的變化率普通地，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的變化率自變量每增一單位自變量每增一單位, 函數(shù)能添加的量函數(shù)能添加的量.3 1.yxxx 例例 求求曲曲線線在在的的切切線線1( )(1) (1)0,(1)lim1xy xyykyx 解解 2 (1).yx切線方程為切線方程為 31lim

6、1xxxx 1(1)(1)limxxxx 1x 2 例例: :不均勻桿密度不均勻桿密度線密度線密度( (單位長質(zhì)量單位長質(zhì)量) )ABMxxo)(xmAM一一段段的的質(zhì)質(zhì)量量是是設(shè)設(shè)Nxx )()(xmxxmMN 的的質(zhì)質(zhì)量量為為平平均均線線密密度度xxmxxm )()( ,.ABM設(shè)設(shè)有有一一根根由由某某種種物物質(zhì)質(zhì)做做成成的的細(xì)細(xì)桿桿求求在在斷斷面面處處細(xì)細(xì)桿桿的的線線密密度度)()()(xxxmxxm 近近似似程程度度越越好好越越小小,x 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x xxmxxmxx )()(lim)(0 0.yxx 例例在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)13 ( )sin(0).f xxxf 例,求例,求21sin

7、,0 0 ,0 (0).xxyxxy 例例求求1sin,0 ,(0).0 ,0 xxxyyx 例例求求4. 定定義義求求導(dǎo)導(dǎo)：sin ,0 ( )(0).ln(1),0 xxf xfx x 例例求求00(0)(0)sinsin0 limlim1.xxfxfxxx 解解00(0)(0)ln(1)ln1limlim1.xxfxfxxx (0)(0)1 (0),(0)1.ffff 即,即,存在 且存在 且分分段段函函數(shù)數(shù)在在分分段段點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用定定義義求求左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)00,.fxfx若若函函數(shù)數(shù) 在在可可導(dǎo)導(dǎo) 則則 必必在在連連續(xù)續(xù)0,.yxx 例例在在連連續(xù)續(xù) 但但是是不不可可導(dǎo)導(dǎo) 5.

8、可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系：定理：定理：證證)(lim000 xfxyxfx 可可導(dǎo)導(dǎo)在在0(),0yfxxx 0lim0 yx 連連續(xù)續(xù)在在0 xf留意留意 可導(dǎo)必延續(xù)可導(dǎo)必延續(xù), 延續(xù)不一定可導(dǎo)！延續(xù)不一定可導(dǎo)！)()(0 xoxxf ( )().yf xC Cx 例例 求求為為常常數(shù)數(shù) 在在 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得到到以以增增量量給給,)1(xx 0)()( CCxfxxfy 求求增增量量比比)2(00 xxy 取極限得取極限得令令, 0)3(x 0lim0 xyx 求導(dǎo)函數(shù)例子求導(dǎo)函數(shù)例子根本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式根本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式解解0)( C公公式式nnnnnxxxnnxnxxxxx

9、fxxfy)()(! 2) 1()()()(221 ( )().nf xxnNx 例例 求求在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解121)(! 2) 1()( nnnnnxxxnnnxxxxxxy 112100)(! 2) 1(limlim nnnnxxnxxxxnnnxxy 232()2 ,()3xx xx 1)( x例例如如：1)( nnnxx公公式式xxxxfxxfy )()( )(0).f xxxx 例例 求求在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解xxxxxy )()(xxxxxxxxxx xxx 1xxxxxyxx211limlim00 1()2xx 公公式式1()xx 2sin)2sin(2cos)cos(xxxxx

10、xy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 ( )cos.f xxx 例例 求求在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解22sin)2sin(xxxxxy (cos )sinxx 公公式式(sin )cosxx 公式公式)1(loglog)(logxxxxxyaaa xx1)(ln 公公式式( )log.af xxx 例 求在的導(dǎo)數(shù)例 求在的導(dǎo)數(shù)解解xxxxxxxxxyaa )1 (log1)1 (log1 xxxxxxyaxx )1(loglim1lim00 )1 (limlog10 xxxxxxa axexaln1log1 1(log)lnaxxa 公式公式)1( xxxxxaaaa

11、y ( ) .xyf xax 例例 求求在在點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解ln11xxaxyaeaxxx ln001limlimlnxaxxxxyeaaaxx ()lnxxaaa 公公式式()xxee 公式公式如何求初等函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？如何求初等函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？其他導(dǎo)數(shù)公式其他導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么么根本初等函數(shù)根本初等函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)四那四那么么復(fù)合復(fù)合反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)參數(shù)式參數(shù)式三、求導(dǎo)法那三、求導(dǎo)法那么么1. 四那么運(yùn)算求導(dǎo)法那四那么運(yùn)算求導(dǎo)法那么么則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(),(xxvxu且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù),)()()1(xxvxu )()( )()(xvx

12、uxvxu 且且為為常常數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)),()()2(CxxuC)( )(xuCxuC (1) ( )( )u xv x 證證00 ()() ( )( )lim()( )()( )limxxu xxv xxu xv xxu xxu xv xxv xxx ( )( )u xv x00()( )(2)( )lim()( ) limxxCu xxCu xCu xxu xxu xCx ( )Cu x 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù),)()()3(xxvxu )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù),)()()4(xxvxu2)()()()()()()(xvxvx

13、uxvxuxvxu )0)( xv0()()lim()()() ()xu xxu xv xxxv xxv xu xx 證證 (3)( )( )( )( )u xv xu xv x 可導(dǎo)必延續(xù)可導(dǎo)必延續(xù)0()()( )( )limxu xxv xxu xv xx ( )( )u xv x ()()().uvwuv wuv wu vwuv wuvw ( ) ()( ) ()u x v xxu x v xx ()( )(4) ()( )() ( )( ) () () ( )u xxu xv xxv xu xx v xu x v xxv xx v x ()( ) ( )( ) ()( )() ( )u

14、 xxu x v xu x v xxv xv xx v x ()( )()( )0( )( )( )lim( )() ( )u xxu xv xxv xxxxv xu xu xv xv xx v x 2( ) ( )( ) ( )( )u x v xu x v xvx ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x xxxx1sin212524 解解)2(sin)(ln)(cos2)( 4)(35 xxxx)2(sin)(ln)cos2()4()(35 xxxxy5342coslnsin2yxxxx 例例 求求函函數(shù)數(shù) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))cossin()(tan xxxxxxxx2cos

15、)(cossincos)(sin .seccos1cos)sin(sincoscos222xxxxxxx 解解xxx22cos1sec)(tan ( )tanf xx 例例 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)2. 反函數(shù)求導(dǎo)法那反函數(shù)求導(dǎo)法那么么11 ,( )0, ( )1( ) ), ( ).( )yxfxfxxfyyyf xfyfx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的某某鄰鄰域域連連續(xù)續(xù) 且且嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)在在可可導(dǎo)導(dǎo) 且且則則它它的的反反函函數(shù)數(shù)在在可可導(dǎo)導(dǎo) 且且100, yxyyxyx 有有011lim( )xyf xx 由由存存在在1001limlim( )yxyxfyyyx 且且11( ).( )yf

16、yfx 所以所以 ( )arcsinyf xx 例例 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解2211 yxyxxysin,)1, 1(arcsin 存存在在反反函函數(shù)數(shù)增增加加且且嚴(yán)嚴(yán)格格上上連連續(xù)續(xù)在在yyxcos1)(sin1)(arcsin 2211sin11yx 由反函數(shù)由反函數(shù)求導(dǎo)法那求導(dǎo)法那么么2211 (arccos )(cos )sin1 1co1s1yxxyyy 類類似似22211(arctan )(tan )sec1 1ta1n1yxyyxy 22211(arccot)(cot )csc1 1cot11yxyyyx 3、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式且且也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)

17、復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(,)(,)(xxgfyxxguuufy dxdududydxdy 或或 ( ) ( )( )udf g xfg xgxdx 證證 xyx 0lim xuuyxuuyxux 000limlimlimdxdududy ( ( )( )ufg xg x 0,0 xx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)不能保證中間變量的增量不能保證中間變量的增量)()(xgxxgu 總不等于零總不等于零上面的證法有沒有問題？上面的證法有沒有問題？ 證證 可可導(dǎo)導(dǎo))(ufy( )uyfuu )0lim(0 u0lim( )uuyfuu 上上式式化化為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 u 0)

18、()(,0 ufuufyu 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)(1) 式依然成立！式依然成立！( ) (1)uyfuuu ( )uyuufuxxx 0000lim( ) limlimlimuxxxxyuufuxxx 0( ( )lim( )( )uxyf g xfug xx 0limlim00 ux () ()() ().udf g xfg xgxug xdx 連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo))()(xguxgu 00ux (1) ( )( )ufg xug x 是是以以內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)作作為為一一個(gè)個(gè)變變量量, ,對對外外函函數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算求求導(dǎo)導(dǎo). .(2)1,x 當(dāng)內(nèi)函數(shù)不是自變量時(shí),復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)內(nèi)函數(shù)不是自變量時(shí),復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)還要

19、乘以內(nèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù);當(dāng)內(nèi)函數(shù)是自變量還要乘以內(nèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù);當(dāng)內(nèi)函數(shù)是自變量時(shí),因結(jié)果仍然正確.時(shí),因結(jié)果仍然正確.:注意注意xexyln xxueufyuln)(,)( 設(shè)設(shè)解解xuuxexufx)ln()()()()( xexexu11ln 1 x1)( xx公公式式(,0).yxR x 例例 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0)() 1 ( C1(2) ()xx 212:1,()2 ,xxxxx 特特別別地地根本導(dǎo)數(shù)公式根本導(dǎo)數(shù)公式1(4) (ln )xx (3) ()xxee 1(4) (log)lnaxxa (3) ()lnxxaaa (6) (cos )sinxx (5) (sin )cosxx

20、2(7) (tan)secxx 2(8) (cot)cscxx (9) (sec)sectanxxx (10) (csc)csccotxxx 21(11) (arcsin )1xx 21(12) (arccos )1xx 21(13) (arctan )1xx 21(14) (arctan )1xx ( )( )( )( )f xg xfxg x ( )( )cf xcfx ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f x g xfx g xg x f x 2( )( ) ( )( ) ( )( )( )f xfx g xg x f xg xgx ( ) ( )( )f g xfg x g x

21、 ,. (),.求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 首首先先檢檢查查最最外外層層運(yùn)運(yùn)算算 按按運(yùn)運(yùn)算算使使用用公公式式作作函函數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算的的變變量量不不是是 求求導(dǎo)導(dǎo)自自變變量量 則則為為復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)321.1xyx 例例 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解321 ,1xuyux 設(shè)設(shè)則則122(1) (1)(1)(1)3,2(1)uxxxxyuux 122112252232 2(1)(1)312 321(1)(1)yuxxxxxx 12311211xxyxx 12231(1) (1)(1) (1)21(1)xxxxxxx 12521223123(1)21(1)(1)xxxxx 42,ln xvtgvuuy設(shè)設(shè)xv

22、uxxtgvuy)42()()(ln lntan().24xy 例例 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解21cos112 vu21)(cos1)(142242 xxtg)sin(12 xxcos1 xsec 241 tan()tan()24xxy 或或22424sec ()()tan() 24xxx 242411cos()sin() 2xx 211csc .sin()cosxxx 2ln(1).yxx例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxxxxy)1(1122 1111112222 xxxxxx)1(11122xxxx 解解)1(121111222xxxxx ln.yx 例例求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

23、 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0, )ln(0,lnlnxxxxxyxxyx1)(ln,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )ln(,0 xyx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))0(1)(ln xxxxxx1)(1 解解.lnln導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式有有相相同同的的與與注注意意：xx)()( )(ln )(lnxfxfxfxf 21arctan,0 ( )( ).0 , 0 xxf xfxxx 例例, ,求求 0,x 解解時(shí)時(shí)2100arctan01(0)limlim arctan00 xxxxfxxx 22112 arctan,0 ( ).0 ,0 xxxxxfxx 2221111 ( )2 arctan()1( )xfxxxxx 221 ,|1xxy

24、y yx 例例 求求 arctan ln(1),.xyxey 例例求求12 csc(2),;xyxy 例例求求cos(arcsin ) ,;xxyfyx 例求例求25 log (1),;yaxy 例例求求 arccos(),;()xyxfeyf 例例求求可可導(dǎo)導(dǎo) (ln ) ln( ),;()yfxf xyf 例例求求可可導(dǎo)導(dǎo)()f可導(dǎo)可導(dǎo)22),(),(,)(,)()(dxydxyxfxxfxxfxf或或或或記作記作的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在在稱為函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在在的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)函數(shù) 二、高階導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)一高階導(dǎo)數(shù)定義一高階導(dǎo)數(shù)定義0()( ) ( )limxfxxfxfxx

25、 即即33),(),(,)(,)()(dxydxyxfxxfxxfxf或或或或記記作作的的三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在稱稱為為函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的在在的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) xxfxxfxfnnxn )()(lim)()1()1(0)( 即即nnnndxydxyxfnxxfxnxf或或或或記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的在在稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)在在的的函函數(shù)數(shù)),(),(,)(,)1()()()( )(tss 變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)：瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：)()(tvts 瞬時(shí)加速度瞬時(shí)加速度二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：)()(tats 二階導(dǎo)數(shù)的物理意義二階導(dǎo)數(shù)的物理

26、意義 二階及以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階及以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).f(x).f(x)也也稱稱0 0階階. . ,根據(jù)定義 高階導(dǎo)數(shù)要從一階開始,逐階根據(jù)定義 高階導(dǎo)數(shù)要從一階開始,逐階計(jì)算.計(jì)算.如如果果是是推推高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式, ,則則要要總總結(jié)結(jié)規(guī)規(guī)律律. .30 log (12 ),|.xyxy 例例求求122 (12 ) ;(12 )ln3ln3yxx 解解2222( 2)( 1)(12 ) ( 2)( 1)(12 ) ;ln3ln3yxx 330( 2)16( 1)( 2)(12 ) ;|.ln3ln3xyxy arctan ,.yxy 例例求求222 2211 , ().11

27、(1)xyyxxx 解解2222 42232(1)2(1)2 ( 2 )(1)2(31) .(1)xxxxyxxx 2 ln(1),.yxxy 例例求求22222 12 122211 , .111xxxxyyxxxx 解解1 nnxy2)1( nxnny()0,()!,(1)(1),nmnmnmxnnmm mmnxnm 解解用數(shù)學(xué)歸納法可以證明用數(shù)學(xué)歸納法可以證明( )(1,2,),nnyxny 例例求求( )!.nyn aayxln 2)(lnaayx ( )(ln )nxnyaa xnxee )()(特特例例：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明用數(shù)學(xué)歸納法可以證明解解( )(0,1),xnyaaay例求

28、例求( )2()lnxnnaaa sin .xn例例 求求的的階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )(sin )sin()2nxxn )2sin(cos)(sin xxxxxx )2sin()(sin )22sin()2cos( xx解解xxx )22sin()(sin )23sin()22cos( xx用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法( )(cos )cos()2nxxn 類似可得類似可得( )( ) ln ,(ln ).nnyxyx 例例 設(shè)設(shè)求求即即2211 , ,yyxxx 解解3(4)4( 2), ( 2)( 3),yxyx ( )1: ( 1)(1)!.nnnynx 猜想猜想(1)1(1)(1)1,1( 1)

29、(1)!() ( 1)! nnnnnnnnynn xn x 顯顯然然成成立立 假假設(shè)設(shè) 成成立立 對對有有成成立立. .( )1(ln )( 1)(1), 1nnnxnxn 2( ) ( ) ( )2( ),( ).nyf xfxfxfx 例 設(shè)滿足求例 設(shè)滿足求2 ( )2( ),fxfx 解解223( )2( )2 2 ( )( )2 2( )fxfxf x fxfx 2322( )2 2( )2 23( )( )fxfxfx fx 342 3!( )fx ( )1:( )2!( ).nnnfxn fx 猜想猜想(1)1121() ,1( )2!( ) 2!(1)( )( ) 2(1)!(

30、 ) nnnnnnnnnnfxn fxn nfx fxnfx 時(shí)時(shí)成成立立 條條件件 ；假假設(shè)設(shè) 成成立立 對對有有成成立立. .( )1 =,.1nyyx 例 設(shè)求例 設(shè)求22 1 (1) (1)(1) ;yxxx 解解332 (1) (1)2!(1) ;yxxx ( )( )1!1();1(1)nnnnyxx 類似可得類似可得( )1!1()( 1);1(1)nnnnxx (ln ),( ),.yfxf xy 例例 設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo) 求求1 (ln ),yfxx 解解12(ln )(ln )1(ln )xfxfxxfxyxx 2(ln )(ln )fxfxx (arctan),( ),.yfx

31、f xy 例例 設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo) 求求2(arctan ) 1fxyx 解解22(arctan )2,(1)fxxfyx 則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(),(nxvxu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnucuc )()(0)()()3(kknnkknnvuCvu ),()0()0(vvuu 其其中中式式稱稱為為萊萊布布尼尼茲茲公公式式)3(二高階導(dǎo)數(shù)公式二高階導(dǎo)數(shù)公式( )()(1) (1)0 ,0, ! ,(1) (1),nnnxnxnNnnnxNn 且且或或( )( )()ln ()xnxnxnxaaaee ( )1(1)!(ln )( 1)nnnnxx (

32、)(sin )sin()2nnxx ( )(cos )cos()2nnxx ( )21 =,.1nyyx 例例 設(shè)設(shè)求求111 ()2 11yxx解解( )( )( )111()()211nnnyxx 11!1( 1)2(1)(1)nnnnnxx ( )(1)(1)21111 (arctan )()()21nnnxi xixix 例例111121( 1)!12()()()()12(1)nnnnnnnnixixixixiix 23( ),xnyxey 例例 設(shè)設(shè)求求則則令令,23xveux , 2,2 vxv由由萊萊布布尼尼茲茲公公式式得得), 2, 1(33)(nkeuxkk 0)()4( n

33、vvv)()(! 2) 1()()()()(2)2(32)1(32)(3)(23)( xennxenxexeynxnxnxnxn)1(693232 nnnxxexn解解三三 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法定義：隱函數(shù)定義：隱函數(shù)0)(, xfxFXx有有( , )0( )( ,)0,F x yyf xF xy 注注意意 由由方方程程確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)必必滿滿足足方方程程故故,. , ( ,)0 , ( )( , )0. ( )X YRxXF xyyYfyf xF x yyf x 設(shè)設(shè)有有非非空空數(shù)數(shù)集集若若由由方方程程對對應(yīng)應(yīng)唯唯一一的的則則稱稱此此對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系或或是是方方程程確確定定的的

34、隱隱函函數(shù)數(shù) 而而形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù). .2221,( )1.xyyf xx 例例如如可可以以確確定定 ( , )0( ), .F x yyf xf 如如果果方方程程能能夠夠解解出出并并且且函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則可可化化為為顯顯函函數(shù)數(shù)討討論論隱函數(shù)求導(dǎo)問題的提法隱函數(shù)求導(dǎo)問題的提法 ( ),( ), ?xyf xyf xy 如如果果解解不不出出在在不不解解出出顯顯式式的的情情況況下下 如如何何求求出出導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).,0)(,(),(,0),(xyxxyxFxxfyxyyxF 解解出出求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對的的恒恒等等式式：關(guān)關(guān)于于于于是是方方程程可可看看成成的的函函數(shù)數(shù)：看看成成把把

35、中中在在方方程程, .yx注注意意：求求導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí)要要方方程程中中的的 是是 的的函函數(shù)數(shù)因因此此要要按按復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對,x)2(02sincos3cos)(22223 xxxxxyxyyyexy解解)1(0)1()cos()(23 xxeyyexyxy得得解解出出,y )1(sincos6cos2222223xyeeyxxxxyxyxy ?)0(: y問問0)0(1)0( yy32cos10( ),.xyxyexxyf xy 例例 由由方方程程確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)求求01 sin(),|.22 2xxyxyyy 例例

36、設(shè)設(shè)求求 () cos()xxyxyx yy xyxy解 兩邊對 求導(dǎo)解 兩邊對 求導(dǎo)cos() cos()xyyyxxy 解解得得00cos|,=0|cosxxyyyxyyy 注意：因時(shí)注意：因時(shí)10sin,26xyy 將將代代入入方方程程得得, ,即即6606cos3 3 |.cos3 3xy ,.xyeexyy 例例求求 1xyxeeyy 解解兩兩 邊邊 對對求求 導(dǎo)導(dǎo) : :2(1)(1) (1)xyxyyeeeeye y 1 ,1xyeye 解解得得223(1)(1).(1)xyyxyeeeee ,.xyeyey 例 設(shè)求例 設(shè)求1 1,1yyxyyy 解 兩邊求導(dǎo)所以解 兩邊求導(dǎo)所

37、以23(1).(1)(1)yyyyyyyy 求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x) 1 (0sin22 yyex得得代代入入將將),1(, 3/)0(, 0 yx32)0( y解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)式式兩兩邊邊再再對對,)1(x得得代代入入將將),2(,3/2)0(, 3/)0(, 0 yyx 9310)0( y2cossin0 (2)xey yy y ( )22cos10,(0)/3,(0).xyf xeyyy 例例 函函數(shù)數(shù)由由方方程程確確定定 且且求求得得到到求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對,xxxxxxyysincoscos)ln(sin)sin(1 解解兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), 得得得得解解出出,y )ln

38、(sinsinsincos)(sin2cosxxxxxyx 對數(shù)微分法對數(shù)微分法lncosln(sin )yxxcos (sin ) .xyxy 例例 設(shè)設(shè), ,求求冪冪指指函函數(shù)數(shù)化為隱函數(shù)化為隱函數(shù)() ( )( )v xf xu x 冪冪指指函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo): :)(ln)()(xuxvexf 再運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法鏈?zhǔn)椒敲丛龠\(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法鏈?zhǔn)椒敲捶椒ǘ椒ǘ? 利用對數(shù)微分法利用對數(shù)微分法方法一方法一: )()( )(ln xfxfxf ( )( )ln( )fxf xf x ()()( ) ( )( ) ( )ln ( )( )( )v xv xv xu xu xvxu xux

39、u x () =() ln1xxxxxxxxxxxx 例例)4ln() 3ln() 2ln() 1ln(31ln xxxxy4131211131 xxxxyy解解)41312111() 4)(3() 2)(1(31)(ln3 xxxxxxxxyyy3(1)(2),(3)(4)xxyyxx 例 設(shè)求例 設(shè)求確確定定由由參參數(shù)數(shù)方方程程：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )()()(tytxxfy 四四 參數(shù)式求導(dǎo)法參數(shù)式求導(dǎo)法?dxdy如如何何求求).()(, 0)(,)(),(1xttxttt 存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)的的反反函函數(shù)數(shù)且且都都存存在在設(shè)設(shè)的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)成成為為通通過過xty)(ty 分析函數(shù)關(guān)系分析

40、函數(shù)關(guān)系:)()(1xttx )(1xy 利用復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)微分法利用復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)微分法, 得得)()(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 00:limlim.yttxxtttdyyydxxx 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義cos0, 2 sinxattybt 例例 求求橢橢圓圓：,24cos,4aaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).4處處的的切切線線方方程程在在 t24sinbby 0:(,)22abM切切點(diǎn)點(diǎn)解解4tan: tdxdyk切切線線斜斜率率tabtatbttdxdycotsincos)()( ababdxdykt 44sincos4 :切切線線方方程程)2(2axabby bxaby2 即即t

41、ttttttttxtyxycoscos/sinsincoscos)()()( 解解xxydxdxy)()( ttxytxxycos)(cosln)(由由參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定 ( ) lncos sincos,( ).yf xxtytttyx 例 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程例 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定 求確定 求xxyxy )()( ttttt)cos(ln)cos( tttxy)cos()(: 注注意意tttttcos/sinsincos tttttsincossincos2 )( )(txxyt ()()()txtxtyyyytx 2)(vvuvuvu 小結(jié)小結(jié) 導(dǎo)數(shù)計(jì)算導(dǎo)數(shù)計(jì)算(1).注注意意最最外

42、外層層運(yùn)運(yùn)算算 屬屬于于什什么么運(yùn)運(yùn)算算用用什什么么公公式式(2) (),u vu vu v (4)抽象復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是抽象復(fù)合函數(shù)抽象復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是抽象復(fù)合函數(shù)(3), .yyx 隱隱函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí) 有有復(fù)復(fù)合合求求導(dǎo)導(dǎo)問問題題 且且導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)中中的的 及及 仍仍是是 的的函函數(shù)數(shù)(5).tx參參數(shù)數(shù)方方程程導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)中中的的參參數(shù)數(shù) 是是 的的函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)分分析析中中的的應(yīng)應(yīng)用用1.邊邊際際分分析析00 (),(),( )()xyf xx 控控制制量量自自變變量量 在在 時(shí)時(shí) 每每增增加加 或或減減少少 一一個(gè)個(gè)單單位位 相相應(yīng)應(yīng)的的經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)

43、指指標(biāo)標(biāo)所所能能增增減減的的數(shù)數(shù)量量 隨隨變變化化 稱稱為為邊邊際際函函數(shù)數(shù). .0 ,(),()()()QR QC Q如如產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí) 再再增增加加 或或減減少少 一一個(gè)個(gè)單單位位的的產(chǎn)產(chǎn)量量 收收入入及及成成本本會(huì)會(huì)增增加加 或或減減少少 多多少少？000 (),() ()();xxxyf xxf x 設(shè)設(shè) 在在增增加加 或或減減少少了了則則經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指指標(biāo)標(biāo)隨隨之之增增加加 或或減減少少00,()() f xxf xyxx 自自變變量量平平均均每每增增加加一一個(gè)個(gè)單單位位 函函數(shù)數(shù)增增加加的的量量 平平均均邊邊際際值值 為為000000,()() limlim().xxxxxxf xx

44、f xyfxxx 越越小小 其其值值越越接接近近 時(shí)時(shí)的的值值 故故時(shí)時(shí)邊邊際際為為 ()(). : ()().R QC QR QC Q 例例 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的收收入入、成成本本函函數(shù)數(shù)分分別別為為、證證明明 生生產(chǎn)產(chǎn)利利潤潤最最大大的的必必要要條條件件是是 ,( ),( );R QC Q 證證 根根據(jù)據(jù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義為為邊邊際際收收入入為為邊邊際際成成本本邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)00 ()()R QC Q 若若0,Q則則產(chǎn)產(chǎn)量量時(shí)時(shí) 每每增增加加一一個(gè)個(gè)單單位位的的產(chǎn)產(chǎn)量量 收收入入增增0,;Q加加大大于于成成本本增增加加 可可以以繼繼續(xù)續(xù)增增加加利利潤

45、潤 時(shí)時(shí)的的利利潤潤不不是是最最大大000, ()() ,R QC QQ 同同樣樣時(shí)時(shí) 每每減減少少一一個(gè)個(gè)單單位位的的產(chǎn)產(chǎn)量量 減減少少的的成成本本大大于于減減少少的的收收入入 可可以以增增加加利利潤潤 產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí)的的利利潤潤仍仍然然不不是是最最大大. .0,Q綜上得 若時(shí)生產(chǎn)利潤最大 必有綜上得 若時(shí)生產(chǎn)利潤最大 必有00()().R QC Q 上式也叫做最優(yōu)生產(chǎn)的一階條件.上式也叫做最優(yōu)生產(chǎn)的一階條件.000,()() ,RC R QC QQ可證當(dāng)時(shí)必為利潤可證當(dāng)時(shí)必為利潤最最大大產(chǎn)產(chǎn)量量最最優(yōu)優(yōu)生生產(chǎn)產(chǎn)二二階階條條件件. . ()150.003 (),2000,;2.8/,pQp

46、Qkgkgkg 例例 設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的銷銷售售價(jià)價(jià)格格 是是需需求求量量 的的線線性性一一次次 函函數(shù)數(shù)元元/ /求求產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí)的的邊邊際際收收入入 并并說說明明經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義 若若此此時(shí)時(shí)的的邊邊際際成成本本為為元元問問是是否否應(yīng)應(yīng)繼繼續(xù)續(xù)增增加加生生產(chǎn)產(chǎn)？2 150.003RpQQQ 解解2000150.006 ,|15123(/);QRQRkg 元元:2000,()1,()3kgkg經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義 在在產(chǎn)產(chǎn)量量為為時(shí)時(shí) 再再增增加加 減減少少產(chǎn)產(chǎn)品品 收收入入還還可可以以增增加加 減減少少元元. .2.8,32.8, 當(dāng)邊際成本為時(shí)因繼續(xù)增加生產(chǎn)當(dāng)邊際成本為時(shí)因繼續(xù)增加生產(chǎn)

47、,.會(huì)會(huì)使使利利潤潤增增加加因因此此 應(yīng)應(yīng)增增加加生生產(chǎn)產(chǎn)2.彈性分析彈性分析 ()1%,()經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)中中稱稱控控制制量量自自變變量量 每每增增加加經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指指標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù) 增增長長的的百百分分比比叫叫做做該該經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指指標(biāo)標(biāo)的的彈彈性性. .0000 (), ()();xyf xxxyf xxf x 設(shè) 時(shí)經(jīng)濟(jì)總量為增加則經(jīng)濟(jì)指設(shè) 時(shí)經(jīng)濟(jì)總量為增加則經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增加為標(biāo)增加為0 %xx 自自變變量量增增加加的的百百分分比比00 %,()yfyf x 函函數(shù)數(shù)增增加加的的百百分分比比0000.xyyxyxyx 平均彈性=平均彈性=.如如需需求求彈彈性性、供供給給彈彈性性000000 lim|.x

48、xxxxyyyxy 彈性=彈性=0,0 xxx 越越小小 越越接接近近 時(shí)時(shí)彈彈性性 令令 ( ).( )EfxfxExf x 彈性公式:彈性公式:,().,()0, 說說明明 如如果果經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指指標(biāo)標(biāo)為為需需求求量量 控控制制量量為為價(jià)價(jià)格格相相應(yīng)應(yīng)的的彈彈性性成成為為需需求求 或或價(jià)價(jià)格格 彈彈性性 正正常常商商品品的的由由公公式式計(jì)計(jì)算算的的需需求求彈彈性性是是負(fù)負(fù)值值 而而經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)中中通通常常只只考考慮慮絕絕對對值值 故故遇遇到到需需求求 價(jià)價(jià)格格 彈彈性性時(shí)時(shí) 應(yīng)應(yīng)知知是是取取的的絕絕對對值值. . 0,/ER Ep 例例 設(shè)設(shè)某某正正常常商商品品的的需需求求彈彈性性為為求求收收入入

49、對對價(jià)價(jià)格格的的彈彈性性. . ,ppRpQ RQpQ 解解()ppppERRQpQEpRpQ 11.ppQQ 1(), 當(dāng)時(shí) 稱富彈性當(dāng)時(shí) 稱富彈性0,1%,(1)%;ERpREp 增增減減少少降降價(jià)價(jià)增增收收01(), 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 稱稱缺缺乏乏彈彈性性0,1%,(1)%;ERpREp 增增增增漲漲價(jià)價(jià)增增收收函數(shù)的微分函數(shù)的微分 導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)相對自變量變化的速度導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)相對自變量變化的速度來研討來研討; ; 而微分那么是直接研討函數(shù)的增而微分那么是直接研討函數(shù)的增量量( (改動(dòng)量改動(dòng)量) )，這有許多方便之處。，這有許多方便之處。一函數(shù)的微分的定義一函數(shù)的微分的定義.)()()()(.)

50、(00000可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的增增量量可可表表示示成成在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果的的某某鄰鄰域域有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxoxxAxfxxfxxf .0的微分的微分在點(diǎn)在點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)xfxA 部部”微微分分是是增增量量的的“線線性性主主0000( )|. ( )|x xx xx xx xdf xdydf xAxdyAx 記記作作或或即即或或0001 () .xdf xxxx 注注意意 在在定定點(diǎn)點(diǎn)的的微微分分是是的的線線性性函函數(shù)數(shù)00002,()(), ()().xdf xf xf xdf xx 注注意意當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí) 微微分分可可作作為為增增量量

51、的的近近似似值值 其其誤誤差差是是的的高高階階無無窮窮小小二微分的根本性質(zhì)二微分的根本性質(zhì)00 .xx定理 函數(shù)在可微函數(shù)在可導(dǎo)定理 函數(shù)在可微函數(shù)在可導(dǎo)可可微微、可可導(dǎo)導(dǎo)等等價(jià)價(jià). .即即000000(1) ( ), , ()(),()().f xxxA xfxdf xfxx函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 則它在點(diǎn)必函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 則它在點(diǎn)必可微 且即可微 且即0000(2) ( ), ()().f xxxfxA x 函數(shù)在點(diǎn)處可微 則它在點(diǎn) 必函數(shù)在點(diǎn)處可微 則它在點(diǎn) 必可導(dǎo) 且可導(dǎo) 且即即可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim000 xfxxfx 證證 (1)量量的的關(guān)關(guān)系系知知由由有有極極

52、限限函函數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小00()()f xfxxx )()(,)(000 xfxAxxf 且且可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)即即000()(), lim0 xf xfxx 0 lim0,()xxxoxx 又所以又所以0 ()()yfxxox 即即0(2) ( ) f xx設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微0000 ()()()()() ()f xA xxoxf xoxA xxx 即即0000000()()() limlim() ()lim()xxxf xA xxoxxxoxA xA xx 有有存在存在000 ( ) ,()().f xxfxA x 在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且00 |()x xdyfxx 從從而而x

53、yo0MN)(xfy dyy 0 xxx0 x T QPdyxfxtgQMPQ )(00 性質(zhì)性質(zhì)2: 微分的幾何意義微分的幾何意義微分三角形微分三角形000 ()() yyfxxx 切切線線增增量量.)(,()(00000的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量處處的的切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)就就是是曲曲線線微微分分TMxfxMxfydyxx 0,xydyx 當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)即即在在點(diǎn)點(diǎn)附附近近 用用切切線線近近似似代代替替曲曲線線.“以直代曲”“以直代曲”三微分公式三微分公式 ( )( , ),()( , ) ( ).f xa bxa bdf xdy 如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都可可微微不不變變時(shí)

54、時(shí) 微微分分構(gòu)構(gòu)成成區(qū)區(qū)間間上上的的函函數(shù)數(shù). .記記為為：或或 ( )( ),( ),( ),()df xfxxf xxdxxxx 根根據(jù)據(jù)當(dāng)當(dāng)取取時(shí)時(shí) 有有即即自自變變量量的的微微分分改改變變量量( )( )df xfx dx ( ).dyfxdx 由由此此又又有有故故00( )|()x xdf xfx dx 四微分四那么運(yùn)算法四微分四那么運(yùn)算法那么那么 1.( )( )d c f xc df x2.( ( )( )( )( )d f xg xdf xdg x3.( )( )( )( )( )( )d f xg xg x df xf x dg x 2( )( )( )( )( )4.( )

55、( )f xg x df xf x dg xdg xgx ( )( ),.df xfx dx 根根據(jù)據(jù)由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)基基本本公公式式便便可可以以得得到到微微分分基基本本公公式式2221 2, tansec arcsin, 22 ln2.xxdxxdxxdxdxxdxdxddx 如如= =等等24 sin ,|.xxyxexdy dy 例例 設(shè)設(shè)求求22 (sin )(sin )xxdyd xexxex dx 解解(2sincos )xxxexex dx 44|(2)2xdyedx 4(2)24ed 2:sinsin 2sincosxxxxdydxxdee dxxdxexdxexdx 法法二二 (

56、 )cot,.1xf xarcdyx 例求例求222222 ( )(cot)12112 1 (1)1()1xdf xarcdxxxxxxdxxxx 解解211dxx csc ,.xdyyxde 例求例求 ,ln ,csclnxeuxu yu 解解 設(shè)設(shè)則則cscln cotln(cscln )csccot .uxxdydyuuudeduuxxe (csc )csc cot:.xxxdyx dxxxdee dxe 法法二二微微分分的的簡簡單單應(yīng)應(yīng)用用近近似似計(jì)計(jì)算算)()()()()()()(000000 xxxfxfxfxxfxfxxf 或或00,()(0)(0)xfxffx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有0

57、001,()()()xydyf xxf xfxx 當(dāng)時(shí) 有即當(dāng)時(shí) 有即0(),xydyox 函函數(shù)數(shù)在在可可微微時(shí)時(shí), ,故故xxxxxarctgxxxxxxxxxxexffxfxx2111,1)1(,arcsintan,sin)1ln(,1)0()0()(,1 可得下列近似公式：可得下列近似公式：利用利用時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如：000000, ()()() ()()().yf xxf xfx dxf xxf xfx dx 一一般般地地 如如果果計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)改改變變量量，用用如如果果近近似似計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)值值，用用 ,計(jì)計(jì)算算那那個(gè)個(gè)量量改改變變量量 取取哪哪個(gè)個(gè)量量為為函函數(shù)數(shù) 哪哪個(gè)個(gè)量量

58、及及改改變變量量已已知知, ,哪哪個(gè)個(gè)量量為為自自變變量量. .0 ,xdx近似計(jì)算函數(shù)值時(shí),是哪個(gè)運(yùn)算的函數(shù)值,近似計(jì)算函數(shù)值時(shí),是哪個(gè)運(yùn)算的函數(shù)值,哪個(gè)運(yùn)算取作函數(shù).選定找到.哪個(gè)運(yùn)算取作函數(shù).選定找到.0 ,()xx dx 計(jì)計(jì)算算中中先先選選定定函函數(shù)數(shù) 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 再再取取帶帶入入公公式式. .例例的的近近似似值值求求2160cos )18060123cos(2160cos 3,cos)(0 xxxf令令)10800123cos( 解解10800120 xxx則則有有3sin)(,3cos)(00 xfxf得得由由近近似似公公式式)()()()(000 xxxfxfxf 4970.

59、 01080012232110800123sin3cos2160cos 22.例例 近近似似計(jì)計(jì)算算半半徑徑 米米, ,厚厚度度 厘厘米米的的球球形形鋼鋼鐵鐵鍋鍋爐爐的的重重量量3 ,4,.3GGVVVrr 解解 設(shè)設(shè)重重量量為為則則為為密密度度為為體體積積. .且且為為球球體體半半徑徑2223|4|0.02 16 3.14)0.021(rrrVVdrr 米米 7.8 17.8().G 噸噸3 61.例例 近近似似計(jì)計(jì)算算30 ( ),64,3,f xxxdx 解解 設(shè)設(shè)選選取取則則40023311()644,(),483(64)3 6144.9375 .48f xfx 33033:614 1

60、,1,6464xdx 法法二二取取二微分的方式不變性二微分的方式不變性(復(fù)合函數(shù)微分法那么復(fù)合函數(shù)微分法那么) ( ). ( ),dyfx dxxxxx t 設(shè)設(shè)微微分分公公式式以以 為為自自變變量量推推導(dǎo)導(dǎo) 如如果果是是函函數(shù)數(shù)上上述述公公式式是是否否成成立立？( ),( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( )( )yf x xg tyf g tdyf g tdtfg t g t dtdxg tdtg t dt 由由得得且且 ( ) .dyfx dx 得得仍仍成成立立 ,xxdyy dx 即即不不論論 為為自自變變量量還還使使函函數(shù)數(shù), ,都都有有微微分分公公式式稱稱為為微微分分形形