高等數(shù)學(xué)定積分的換元積分法ppt課件

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)6.微積分根本公式微積分根本公式4.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xattfx d)()(5.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(xattfxd1.定積分定義定積分定義 xxfbad )( iniixf 10)(lim 2.定積分的思想和方法：定積分的思想和方法： 分割分割,近似近似, 取和取和,求極限求極限.).()()(aFbFxfba dx)(xf牛頓牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式. .3.3.定積分的值與積分變量運用的字母無關(guān)定積分的值與積分變量運用的字母無關(guān). .xxfbad )( ttfbad )( uufbad )( )(xfy ) 0)( xfxoyab)(xfy

2、 baoy)(xfy xxyo)(xfy ab)(xfy ) 0)( xf,1210bxxxxxann iiixfA )( ，,1iixx ;1 iiixxx,1iixx ，i ,1iixx )(if iixf )( abxyoix1x1 ix1 nxi iniixfA )(1 iniixfA )(lim10 ,max21nxxx abxyoix1x1 ix1 nxi )(tvv ,21TT，0)( tv212101TtttttTnn 1 iiittt)(iv iinitvs )(1 ,max21nttt iniitvs )(lim10 1 itit i itit isiniixfA )(li

3、m10 bxxxxxann 1210,ba,1 iiixxx，), 2 , 1(ni ),(iiix iixf )( iniixfS )(1 ，), 2 , 1(ni ，nxxx ,max21 ,1iixx i 0 SI)(xf,ban,ba,ba：,bainiixfI )(lim10 )(xf baxf )(iniixf 10)(lim baxf)(dx.,ba簡稱：積分簡稱：積分iniitvs )(lim10 iniixfA )(lim10 )(xf,ba)(xf,ba baxf)(dx batf)(dt bauf)(du 21)(TTtvdt baxf)(dx. baxf)(i )(xf

4、,ba)(xf baxf)(dx,ba)(xf,ba)(xf,baA)(xfy A)(xfy baxf )(dx baxf )(dx1.0)( xfA2.0)( xf)(xf baxf)(A 4321)(AAAAxfba dx ab)(xf baxf)(dx4. 4321)(AAAAxfba dx ab；0)( baxf dx abbaxfxf)()( dx.dx；0)( aaxf dxiiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxgxf)()(dx baxf)(dx baxg)(dxdx baxgxf )()(dxdx babaxgx

5、f)()( iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxkf )(dx baxfk)(dx. baxkf)(dxdx baxfk)(, cba baxf )(dx bccaxfxf)()( dxdx. caxf)(dx cbbaxfxf)()( dxdx baxf)(dx cbcaxfxf)()( dxdx bccaxfxf)()( dxdx, bca ibaixf)(, 0 baxf )(dx bccaxfxf)()( dxdx. icaixf)(, ibcixf )(, )(xfy , 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(

6、ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . ab ba dx ba 1dx ba, 0)( xf, 0)( baxfdx)(ba )(xfA1)( xf. 0)( baxf dx),()(xgxf , 0)()( xfxg)(xf)(xg)(ba ba,),()(xgxf babaxgxf)()( dxdx., 0)()( babaxfxg dxdx, 0)()( baxfxgdx babaxgxf)()( dxdx., xex0, 2 x 20 xedx和和 20 xdx 02xedx 20 xedx.103102的大小的大小與與比較比

7、較 xxdxdxdx 02x dx 20 x)(ba , )()()(xfxfxf bababaxfxfxf)()()( dxdxdx babaxfxf)()( dxdx babaxfxf)()( dxdx.,)(Mxfm )(xfy )(ba )(xf),()()(abMxfabmba dx bababaMxfm )(dxdx).()()(abMxfabmba dx,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x 003031sin3141 xdxdxdx.3sin31403 xdx 03sin31xdx)(xf ba, ba,， )(ba ， ba,)()

8、()(abMxfabmba dxMxfabmba )(1dx baxfabf)(1)( dx. baabfxf)()( baabfxf)()( dx baabfxf)()( dx， )(xfy )( fxyoab )( f baxf)(dxiniixf 10)(lim 解解 xxd11ttd)122( Ctt 1ln22 )1ln24()2ln26( 94d11xx1ln22 xxCxx 1ln22例如例如.d1194 xx計算計算, tx 令令,2tx 那那么么.d2dttx tttd12 . 2ln22 94).()()(aFbFxfba dx1ln22 ttx49t23另解另解.d119

9、4 xx 94d11xx, tx 令令,2tx 那那么么.d2dttx tttd12 )1ln24()2ln26(. 2ln22 32235-3定積分的換元法定積分的換元法一、換元公式一、換元公式那么有：那么有：定理定理假設(shè)假設(shè))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba(1)(1)函數(shù)函數(shù)上延續(xù)；上延續(xù)；(2)(2)函數(shù)函數(shù))(tx 在區(qū)間在區(qū)間, 上單值的且有上單值的且有延續(xù)的導(dǎo)數(shù)；延續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)當(dāng) t 在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在區(qū)間在區(qū)間,ba上變化時，上變化時， 且且,)(a ,)(b tttfxxfbad)()(d)(證證 )(d)(d)()(ttftttf ttt

10、fd )()( tttfd )()( ).()(aFbF 證畢證畢，CxFxxf )()( d設(shè)設(shè),)(a ,)(b 留意：留意：換元公式依然成立換元公式依然成立. .當(dāng)當(dāng) 時，時，(1)(1)上限與上限對應(yīng)，上限與上限對應(yīng)，(3)(3)(2)(2)換元的同時應(yīng)換限換元的同時應(yīng)換限. .下限與下限對應(yīng)下限與下限對應(yīng). .),()()(aFbFxxfba d那那么么),()( FF .)(CtF 對對abab仍成立仍成立. .解解例例1 1 計算計算.121022 xxxdttdsin602 602sin412 tt.8312 ,sintx 令令,dcosdttx 那那么么0t0 x6 2102

11、2d1xxx解解例例2 計算計算.18ln3ln xexd原式原式ttttd12322 ttd)111(2322 3211ln212 ttt.23ln2 xln3ln8t23留意：留意： xxxfd)()( 換元公式可反過來用，換元公式可反過來用，邊對調(diào)位置，邊對調(diào)位置，令令.)(tx ,1tex 令令),1ln(2 tx那那么么，tttxd12d2 只須把公式左右兩只須把公式左右兩t改記為改記為.x同時把同時把 battf d)(例例3 計算計算.dsincos2 0 5 xxx解解令令,cosxt 2 001 205dsincos xxx 015dtt1066t .61 ,dsindxxt

12、 另解另解 205dsincos xxx 205)cosd(cos xx206cos61 x .61 闡明：闡明：xt不換元時不換限，不換元時不換限，換元的同時應(yīng)換限換元的同時應(yīng)換限.解解ln ,tx 例例4 計算計算121d .1 lnexxx 令令 1 arcsin(ln)ex1dd ,txx 那那么么121d1 lnexxx 1211d1 lnexxx 121d(ln )1 lnexx arcsin(ln1) arcsin(ln)e 10arcsin.26 留意：留意： 能湊微分就不換元，這樣就不換限能湊微分就不換元，這樣就不換限. . 例例5計算計算 0 53.dsinsinxxx解解

13、由于由于 xx53sinsin，xxcossin23 2053dsinsin xxx 253dsinsinxxx原式原式= 2023dcossin xxx 2023sindsin xx2025sin52 x ）（5252留意：留意： 225sin52x .54 223d)cos(sinxxx 223sindsinxx去絕對值或去根號時，應(yīng)留意其正負，否那么就會出錯去絕對值或去根號時，應(yīng)留意其正負，否那么就會出錯.)sin1 (sin23xx d)(aaxxf即即例例6當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上延續(xù)，上延續(xù)， 且有且有)(xf為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，那那么么 aaaxxfxxf0.d)(2d)(2)

14、(xf為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， 那那么么 aaxxf. 0d)()(xf奇奇偶偶)(xfoxy-aa)(xfy a-axy0)(xfy ，0， axxf0d)(2(1) 0d)(axxf 0d)(attf attf0d)(;d)(20 axxf aaxxfd)(. 0證證,d)(d)(d)(00 aaaaxxfxxfxxf證畢證畢x-a0ta0,)(0 axxfd,d)(d)(d)( 0 0 aaaaxxfxxfxxf在在 0)(axxfd中，中， 令令, tx (1)(xf為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，),()(xfxf 那那么么(2)(xf為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，),()(xfxf 那那么么 aaxxfd)

15、( aaxxfxxf 0 0 d)(d)( aaxxfxxf00d)(d)(奇函數(shù)奇函數(shù)解解例例7 7 計算計算.d11cos21 1 22 xxxxx原式原式 1122d112xxx 112d11cosxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1 0 22d114xxx 1 0 222d)1 (1)11 (4xxxx 1 0 2d)11 (4xx 1 0 2d144xx.4 單位圓的面積單位圓的面積證證令令tx 2,ddtx 0t0 x2 2 2020dcosdsin xxxxnn即即 2 0 dsin xxn 0 2 )d)(2(sin ttn 2 0 dcos ttn.dcos2 0 xxn證明證明 202

16、0dcosdsin xxxxnn例例8 8證證令令tx 2,ddtx 0t0 x2 2 即即 0 2sin() ( d )2ftt 2 0(cos )dftt 設(shè)設(shè)f(x)f(x)在在0,10,1上延續(xù)，證上延續(xù)，證明明2200(sin)d(cos)dfxxfxx 例例9 920(sin)dfxx 2 0(cos)d .fxx 2200(sin)d(cos)dfxxfxx 證證* *()d( )( d )baabf abxxf tt ，txdd , txba 令令，tbax 那那么么 battfd)( baxxf.d)(.d )(d)( xxbafxxfbaba 例例1010證明證明.d )(

17、d)( xxbafxxfbaba ataxbb證證，ttxdd , 0 x4 x, 3 t, 1 t，212 tx那那么么.d12240 xxx例例1111計算計算令令,12tx 40d122xxx 312d221tttt 3123)d(21tt 3133321tt )331()9327(21.32210()2( )d ,f xxf tt 例例1212設(shè)設(shè)f(x)f(x)是延續(xù)函數(shù)，且是延續(xù)函數(shù)，且求求().f x解解1即即那么那么()1.f xx 對對從從0到到1關(guān)于關(guān)于 x積分，積分，10( )2( )df xxf tt 10( )df xx 11001( )d2( )d ,2f xxf tt 101( )d,2f xx 于是于是89年考研題年考研題111000d2( )dd ,x xf ttx 10()2( )d ,f xxf tt 例例1212設(shè)設(shè)f(x)f(x)是延續(xù)函數(shù)，且是延續(xù)函數(shù)，且求求().f x解解2令令1