流速梯度對(duì)懸浮顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度的影響

1、流速梯度對(duì)懸浮顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度的影響         06-02-21 17:15:00     作者：李丹勛，王興奎，王殿    編輯：studa9ngns摘要：從簡(jiǎn)化的顆粒運(yùn)動(dòng)方程出發(fā), 分析了在剪切流場(chǎng)中顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度和流體脈動(dòng)強(qiáng)度之間的關(guān)系。結(jié)果表明, 由于縱向時(shí)均流速的垂線分布梯度的作用, 顆粒在兩個(gè)方向上的脈動(dòng)強(qiáng)度均可能超過相應(yīng)的流體脈動(dòng)強(qiáng)度。 關(guān)鍵詞：流速梯度 Stokes數(shù) 脈動(dòng)強(qiáng)度  1 引言對(duì)于細(xì)小懸浮顆粒在恒定

2、、均勻、各向同性紊動(dòng)流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng), 理論分析和試驗(yàn)量測(cè)都表明: 顆粒的脈動(dòng)強(qiáng)度總是小于相應(yīng)流體的脈動(dòng)強(qiáng)度，而且隨顆粒Stokes數(shù)（Stokes數(shù)定義為=e/,e和分別是紊動(dòng)場(chǎng)含能漩渦的特征頻率和顆粒的反應(yīng)頻率）的增大，顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度將減小；當(dāng)足夠大時(shí), 顆粒的脈動(dòng)強(qiáng)度將趨于零1,2。隨著LDV(Laser Doppler Velocimetry)和PIV(Particle Image Velocimetry)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用, 對(duì)顆粒在剪切流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)有了較多的實(shí)測(cè)成果,不少文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)了顆粒的脈動(dòng)強(qiáng)度大于相應(yīng)流體的脈動(dòng)強(qiáng)度的現(xiàn)象36。Lijegren 通過理論分析表明, 縱向時(shí)均流速的垂線分布

3、梯度的存在,使得顆?？v向脈動(dòng)強(qiáng)度有可能超過流體脈動(dòng)強(qiáng)度，而顆粒垂向脈動(dòng)強(qiáng)度則不受流速梯度的影響7。本文在Lijegren工作的基礎(chǔ)上，考慮了流速梯度引起的Saffman力的影響, 進(jìn)一步分析了顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度和流體脈動(dòng)強(qiáng)度之間的關(guān)系。結(jié)果表明, 由于縱向時(shí)均流速垂向分布梯度的作用, 顆粒在兩個(gè)方向上的脈動(dòng)強(qiáng)度均可能超過相應(yīng)的流體脈動(dòng)強(qiáng)度。2 顆粒運(yùn)動(dòng)方程考慮圓球狀單顆粒在二維恒定均勻剪切流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒徑較小時(shí)，阻力可用Stokes公式表示。 只考慮顆粒所受的Stokes阻力和垂向的Saffman力8, 忽略其它力的作用,則顆粒的運(yùn)動(dòng)方程可表示為(/6)D3p(dUp)/(dt)=3D(Uf-U

4、p)(1)(/6)D3p(dUp)/(dt)=3D(Vf-Vp)+(Uf-Up)(2)式中 D表示顆粒直徑，下標(biāo)f,p分別代表流體和顆粒，U, V分別表示縱向和垂向流速，為流體動(dòng)力粘性系數(shù)。, 其中G為縱向時(shí)均流的垂線分布梯度:G=d/dy. 為簡(jiǎn)化分析, 這里取G為常數(shù).將式(1)、(2)整理得(dUp/dt)+Up=Uf(3)(dUp/dt)+Up=Uf +(Uf-Up)(4)其中=18/(D2p),=6/(pD3)。按照Lijegren7的方法對(duì)式(3)作進(jìn)一步分析。引入U(xiǎn)=Up-(5)其中Uf=+uf,uf為脈動(dòng)速度。由式(5)可得(6)沿顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡觀察, 有(7)把式(5)、(6

5、)、(7)代入式(3)得(dU)/(dt)+U=-GVp+uf(8)不考慮體積力, 對(duì)細(xì)小顆粒有=0。對(duì)式(8)取平均可得(9)式(9)為簡(jiǎn)單的一階線性微分方程，其漸近平穩(wěn)解=0, 即在擺脫初始條件的影響后,有p=f。結(jié)合式(5)可知U=up, 同時(shí)在二維恒定均勻流中有=0, 則式(8)、(4)可分別寫為(dup)/(dt)+up=-Gvp+uf(10)(dup)/(dt)+up=vf+(uf-up)(11)式(10)、(11)即為用脈動(dòng)流速表示的簡(jiǎn)化的顆粒運(yùn)動(dòng)方程。3 顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度分析對(duì)普通函數(shù)f(t), 只有當(dāng)收斂時(shí)，其Fourier積分才存在。而對(duì)隨機(jī)函數(shù)而言, 任一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程,

6、雖則當(dāng)t為無窮大時(shí)并不趨于零, 但其具有明確物理意義的Fourier變換仍然是存在的9。定義,對(duì)式(10)、(11)進(jìn)行Fourier變換(12)(13)整理可得(14)用 ()和()來表示()和()，則由式(14)、(15)可得(14)(15)記能譜密度:S()=|F()|2 , 則由式(16)、(17)分別可得(18)(19)其中(20)(21)(22)(23)(24)(25)對(duì)能譜密度進(jìn)行積分,可得脈動(dòng)速度的均方值。從式(18)(25)可得(26)(27)其中(28)(29)(30)(31)(32)(33)顆粒的縱向脈動(dòng)強(qiáng)度由3項(xiàng)組成：M1項(xiàng)是顆粒脈動(dòng)對(duì)流體脈動(dòng)的響應(yīng), M2和M3兩項(xiàng)則

7、是由于流速梯度引起的附加項(xiàng), 而且流速梯度越大, 二者的作用越明顯。易知 M2>0。在剪切流場(chǎng)中,的符號(hào)和流速梯度G的符號(hào)相反, 由此從式(22)、(30)知, M3的符號(hào)和(2-G)的符號(hào)相同, 當(dāng)(2-G)>0時(shí), M3>0。顆粒垂向的脈動(dòng)強(qiáng)度也由3項(xiàng)組成：N1項(xiàng)是顆粒脈動(dòng)對(duì)流體脈動(dòng)的響應(yīng), N2和N3是流速梯度引起的附加項(xiàng), 而且流速梯度越大, 二者的作用越明顯。易知N2>0, N3<0。下面定量考察流速梯度G的影響。記=e/,=G/B2(>0), 則有(2-2-G) 2+422=2+(1+)222+(1-)22(34)則Xi, Yi(i=1,2,3)

8、分別可以寫為(35)(36)其中記/e, 則/=, 從而有(37)(38)其中:1=/(1+),2=/(1-),1。下面的分析只考慮2>0, 對(duì)于2<0的情況, 可得到相同的結(jié)論。進(jìn)一步的分析依賴于對(duì)能譜密度具體形式的認(rèn)識(shí)。Lijegren7在其分析中采用如下能譜密度形式(39)u為流體的特征脈動(dòng)速度, 在各向同性流場(chǎng)中, 有u2=,為L(zhǎng)agrangian長(zhǎng)度積分比尺, 對(duì)于Xii, 有(40)d為截止頻率, C0為常數(shù):C0=e/u=3/2(2-e/d)本文采用同樣的能譜密度形式。記(41)把式(39)、(40)代入式(41), 在1很小而1d/e很大時(shí)，可得f(1)的近似值(4

9、2)同理在2很小而2d/e很大時(shí), 可得f(2)的近似值為(43)由以上的分析可得(44)同理可得(45)(46)由此可得(47)從式(47)可知, 當(dāng)下式成立時(shí)(48)顆粒的縱向脈動(dòng)強(qiáng)度將大于相應(yīng)的流體的脈動(dòng)強(qiáng)度。同時(shí)也可以看到，在不存在流速梯度時(shí)(G=0,=0)有：/=1-/4+O(2),即顆粒的脈動(dòng)強(qiáng)度將小于流體的脈動(dòng)強(qiáng)度。可見流速梯度對(duì)顆粒的縱向脈動(dòng)強(qiáng)度有著直接而重要的影響。對(duì)于顆粒的垂向脈動(dòng)強(qiáng)度, 按同樣的分析方法,可得(49)(50)(51)從而有(52)在<1時(shí)，有1/(1-)2>1，所以在較小時(shí)，總有可能使得(52)式的值大于1，即顆粒的垂向脈動(dòng)強(qiáng)度大于流體的垂向脈

10、動(dòng)強(qiáng)度。由上式也可知，在不存在流速梯度時(shí)(=0,=0)有：/=1-/4+O(2),即顆粒的垂向脈動(dòng)強(qiáng)度總是小于流體的脈動(dòng)強(qiáng)度?？梢娏魉偬荻葘?duì)顆粒的垂向脈動(dòng)強(qiáng)度大小也有著直接而重要的影響。(1)縱向(2)垂向 圖1 顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度和流體脈動(dòng)強(qiáng)度的關(guān)系The relationship between turbulent intensity of two phases由以上分析可知，由于流速梯度的作用，顆粒脈動(dòng)強(qiáng)度有可能超過流體的脈動(dòng)強(qiáng)度, 下面給出一個(gè)具體的算例。假定流場(chǎng)中含能渦旋的特征頻率在100HZ以下, 表征紊動(dòng)渦旋尺度的Komogorov比尺約為0.1mm的量級(jí)。對(duì)于0.010.1mm的細(xì)小輕質(zhì)塑料圓球顆粒(容重為1.056), 取e=5