彈簧振子的低阻尼振動(dòng)

1、彈簧振子的低阻尼振動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)最困難的問題就是摩擦力對測量的影響。氣墊導(dǎo)軌就是為消除摩擦而 設(shè)計(jì)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)的裝置，它使物體在氣墊上運(yùn)動(dòng)，避免物體與導(dǎo)軌表面的直接接觸， 從而消除運(yùn)動(dòng)物體與導(dǎo)軌表的摩擦。利用氣墊導(dǎo)軌可以進(jìn)行許多力學(xué)實(shí)驗(yàn)，如測加 速度，驗(yàn)證牛頓第二定律，研究簡諧振動(dòng)等。一、實(shí)驗(yàn)前應(yīng)弄清楚的問題1、 查閱有關(guān)氣墊導(dǎo)軌及光電門計(jì)時(shí)系統(tǒng)的資料，了解氣墊導(dǎo)軌的水平調(diào)節(jié)以及 操作注意事項(xiàng)，理解光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)的工作原理。2、存儲式數(shù)字毫秒計(jì)具有哪些基本功能？3、彈簧振子在低阻尼狀態(tài)下的振動(dòng)為什么可以看作簡諧振動(dòng)？4、你打算怎樣測定輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)？理論依據(jù)是什么5、你打算怎樣測定彈簧振子的振動(dòng)周

2、期？擬采用什么方法處理數(shù)據(jù)？6如何建立彈簧振子的振動(dòng)周期與質(zhì)量以及振幅隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)公式？7、如何測量上述第6兩種情形中彈簧振子經(jīng)過中間平衡位置時(shí)的最大速度？8、實(shí)驗(yàn)中如何判定氣墊導(dǎo)軌是否調(diào)水平了？9、熟悉實(shí)驗(yàn)儀器的使用方法，實(shí)驗(yàn)操作時(shí)應(yīng)該注意哪些方面 ？二、實(shí)驗(yàn)室可提供的主要器材氣墊導(dǎo)軌、滑塊、砝碼、彈簧兩根、光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)、電子天平三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測量給定輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)，表格自擬。2、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案研究彈簧振子振動(dòng)周期T與質(zhì)量m的關(guān)系及彈簧振子經(jīng)過中 間平衡位置時(shí)的對應(yīng)最大速度 V,表格自擬。3、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案研究彈簧振子振動(dòng)周期T與初始振幅的關(guān)系及彈簧振子經(jīng)過 中間平衡位置時(shí)的對

3、應(yīng)最大速度 V,表格自擬。四、數(shù)據(jù)處理要求1、根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用作圖法繪出 V 2A2圖，T2 m圖，并求出彈簧振子的最 大動(dòng)能，并計(jì)算實(shí)驗(yàn)值和理論值的相對誤差，分析誤差來源。2、根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，給出關(guān)于彈簧振子的振動(dòng)周期與質(zhì)量之間定性結(jié)論及振幅 的改變對周期的影響。五、實(shí)驗(yàn)報(bào)告的要求1 報(bào)告實(shí)驗(yàn)的研究意義。2 介紹實(shí)驗(yàn)的原理，測量方案和實(shí)驗(yàn)步驟。3 數(shù)據(jù)處理過程清楚，正確表達(dá)測量結(jié)果。4總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)論和心得體會。六、思考與討論：1、 本實(shí)驗(yàn)的彈簧倔強(qiáng)系數(shù)，若1、相差較大，對本實(shí)驗(yàn)有何影響？2、本實(shí)驗(yàn)中若氣軌沒有被調(diào)節(jié)水平，對測量結(jié)果有何影響？3、 若考慮彈簧的質(zhì)量，則彈簧振子的周期（其中I為彈簧的有

4、效質(zhì) 量，為系統(tǒng)的倔強(qiáng)系數(shù)）。試問：通過本實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駵y出彈簧的有效質(zhì)量和系統(tǒng)的倔強(qiáng)系數(shù)？如何測量?力學(xué)實(shí)驗(yàn)遇到的最大難題是運(yùn)動(dòng)體與支承面的直接接觸產(chǎn)生的摩擦力，它嚴(yán)重地限制了力 學(xué)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度，為了避免運(yùn)動(dòng)物體與支承面的直接接觸，人們使它們之間產(chǎn)生一層薄薄的空 氣膜(氣墊導(dǎo)軌的氣墊厚度為 10200卩m),這就是氣墊技術(shù)(用氣體把運(yùn)動(dòng)物體墊”起來)。其最大特點(diǎn)就是低摩擦。這一技術(shù)在實(shí)際中已得到廣泛應(yīng)用。如氣墊船、氣墊軸承等。在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，它可用于平均速度、瞬時(shí)速度、加速度、力的測定，還可用于驗(yàn)證牛頓定 律、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒以及彈簧振子的振動(dòng)、阻尼系數(shù)、磁力能的測定等。1 低阻尼狀態(tài)的彈簧振子

5、如圖1所示，將質(zhì)量為 m的滑塊兩頭各接一質(zhì)量可忽略的彈簧，讓它偏離平衡位置后釋放, 它將來回振動(dòng)，構(gòu)成一個(gè)彈簧振子?；瑝K在氣軌上振動(dòng)時(shí)，與氣軌之間的摩擦力可忽略，但受 到空氣阻力和粘滯力的作用，振幅將逐漸減小。由于阻力很小，可認(rèn)為彈簧振子處在低阻尼狀 態(tài)，振動(dòng)周期與無阻尼時(shí)的振動(dòng)周期相同。2 建立簡諧振動(dòng)彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式要建立簡諧振動(dòng)彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式T = f(M)，只需測量出在不同質(zhì)量下彈簧振子的周期即可。T2=M3 建立低阻尼情況下彈簧振子的振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系式要建立低阻尼狀態(tài)下彈簧振子的振幅A隨時(shí)間t的變化關(guān)系A(chǔ)二f(t)，需要測量出不同時(shí)間下彈簧振子的振幅。但

6、振幅和時(shí)間不易在氣軌上采用簡單的方式直接測量，可以采用的測量方法 如下。(1) 采用振動(dòng)周期的個(gè)數(shù)確定低阻尼彈簧振子的振動(dòng)時(shí)間，t二nT。(2) 根據(jù)滑塊通過平衡位置的最大速度確定低阻尼彈簧振子的振幅，-mvmax =丄kA。2 2(3) 測量最大速率Vmax =衛(wèi)，厶X即為雙遮光片通過光電門時(shí)兩次遮光所經(jīng)過的距離，厶tit是通過光電門所用的時(shí)間。由此可知，測量振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系A(chǔ)=f(t)，只有測量出與t (t=nT)的關(guān)系即可。實(shí)驗(yàn)裝置及儀器1 實(shí)驗(yàn)裝置及儀器簡介實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，主要包括氣墊導(dǎo)軌、滑塊、砝碼、彈簧、光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)等。氣軌是在 能作相對運(yùn)動(dòng)的物體之間充一層薄薄的空氣層，讓

7、運(yùn)動(dòng)物體懸在空氣層上，消除接觸摩擦，使 運(yùn)動(dòng)近似為無摩擦運(yùn)動(dòng)的一種裝置。氣墊導(dǎo)軌的整體結(jié)構(gòu)主要有四部分組成：導(dǎo)軌、滑塊、供 氣裝置和光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)。圖1低阻尼下彈簧振子的振動(dòng)研究實(shí)驗(yàn)裝置圖中：為導(dǎo)軌，上面有氣孔、標(biāo)尺，兩端有碰簧；為彈簧；為滑塊，由遮光片、碰簧組 成；為光電門，由光源、光敏二極管組成；為光電計(jì)時(shí)器；為標(biāo)尺。2.氣墊導(dǎo)軌的調(diào)節(jié)(1) 粗調(diào)。把滑塊放在氣軌中央靜止釋放，觀察滑塊是否停在原處不動(dòng)。若總往一處滑 動(dòng)，則氣軌傾斜，應(yīng)調(diào)節(jié)單底角螺絲。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)升高，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)降低。(2) 細(xì)調(diào)。理論上要求做到向左的加速度等于向右的加速度，則氣軌完全水平。實(shí)驗(yàn)中采用如下方法，輕推滑塊，使其經(jīng)過

8、兩個(gè)光電門做來回運(yùn)動(dòng)，按先后次序記下滑塊往返一次經(jīng)過兩個(gè)光電門的時(shí)間也、.址2、厶t3和丸4。由于空氣阻力和粘滯阻力的作用，滑塊經(jīng)過第一個(gè) 光電門的速度要比經(jīng)過第二個(gè)的要大一些。如果屯一選和込一屯的均差值大于0，且基本相等，則可保證向左和向右的加速度同數(shù)量級，氣墊導(dǎo)軌可近似視為水平。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 .調(diào)節(jié)氣軌水平及光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)正常工作。2測量彈簧振子質(zhì)量 m與振動(dòng)周期T的關(guān)系，建立周期與質(zhì)量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。滑塊依次增加50g質(zhì)量，使用單擋光片，分別測量振動(dòng)周期。3測量低阻尼下彈簧振子 At nT的關(guān)系，建立振幅隨時(shí)間變化的經(jīng)驗(yàn)公式?；瑝K不增加質(zhì)量，使用雙遮光片，光電門置于平衡位置處，使滑初始幅

9、為30cm，待滑塊運(yùn)行平穩(wěn)后，每隔10個(gè)周期測一次測出n=10, 20, 30, 40, 50, 60, 70時(shí)對應(yīng)的建立時(shí) 間與振幅的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)1 氣軌是較精密儀器，實(shí)驗(yàn)中必須避免導(dǎo)軌受碰撞、摩擦而變形、損傷，沒有給氣軌通 氣時(shí)，不準(zhǔn)在導(dǎo)軌上放置和強(qiáng)行推動(dòng)滑塊。2實(shí)驗(yàn)時(shí)必須調(diào)整氣軌水平。3. 實(shí)驗(yàn)中不能用手按著滑塊在氣軌上滑動(dòng)。4. 連接滑塊和彈簧時(shí)，不能過度拉伸彈簧，以免損壞。5. 注意調(diào)節(jié)光電門位置，必須使雙遮光片在平衡位置遮光。數(shù)據(jù)記錄及處理1 .建立簡諧振動(dòng)彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式(1) T與M之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表1 T與M關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表質(zhì)量/M241.62291.62

10、341.62391.62441.62491.6210T /s16.693818.289919.824921.121622.475923.6868T /s1.669381.828991.982492.112162.247592.368682 2T /s2.78682963.34520443.93026664.46121995.05166085.6106449(2) T與M之間關(guān)系曲線2.52.42.3S 2.2 T 2.1 期2.0 周1.91.81.71.61.5質(zhì)量M/kg圖1 T與M之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線6.05.55.04.54.03.53.02.52.0質(zhì)量M/kg擬合公式為：T

11、= 3.3596M 0.4927 3.3596M 1/2，相關(guān)系數(shù) R2 = 0.9999。圖2 T2與M之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線擬合公式為：T2 = 11.297M + 0.056005 11.297M , T=3.3611M 1/2，相關(guān)系數(shù) R2 = 0.9999。因此，簡諧振動(dòng)彈簧振子周期與質(zhì)量的關(guān)系式為：T=3.360M 1/2，與理論關(guān)系式T=2：相1/2符，比較可得 2n /k =3.360 ,所以 k=3.497 (N/m )。2 建立低阻尼情況下彈簧振子的振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系式(1)周期數(shù)門與厶t之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表1 n與厶t關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表周期數(shù)n1020304050

12、6070 t/ms12.6317.4223.4530.8639.9651.1964.22周期數(shù)n由上述曲線形狀可以判斷，該曲線的函數(shù)形式為指數(shù)形式，擬合公式：.lt=1O.112ea2703n，相關(guān)系數(shù)R2=0.9967 。 根據(jù)t =nT和. M i= M可得03t t.M ix0.2703T MAx3 4703斤.t10.112e T(ms)=. A .10 e T(SI)li k AV k 10.112將 M=0.24162kg , k=3.497N/m , x=9.945 X 10-3m, T=1.66938s 代入上述表達(dá)式，可以求得彈M 莎 TELL云1.66938 =0.2656

13、9(s), A0 =簧振子的振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系式為： ：x9.9450.265690.2613(m)10.11210.112-0.2703丄-0.270311619tT0.1619tA=A0e1 (SI) A=0.2613eT =0.2613e(m)思考題1. 測量彈簧振子的周期T時(shí)，光電毫秒計(jì)如何操作？(請看實(shí)驗(yàn)5-8附錄5-3氣墊導(dǎo)軌及計(jì)時(shí)系統(tǒng)使用說明，教科書 147頁)2在測量不同質(zhì)量的振子周期過程中，共測量6次。先測量只有滑塊的振子的周期，依次給滑塊振子增加50g的鐵塊，至U 250g為止。依次測得周期分別為 、T?、T3、T4、T5、丁6。請你 采用逐差法，求出振子周期同質(zhì)量關(guān)系式

14、T2=Cm中比例系數(shù)C。3以振子周期平方T2為縱坐標(biāo)，振子質(zhì)量m為橫坐標(biāo)，作出T2=Cm的關(guān)系曲線，求出直線 的斜率，即為T2=Cm中的C,這種處理數(shù)據(jù)的方法叫什么方法？4. 在測量T2=Cm中的常數(shù)C時(shí)，有人說只要稱出振子的質(zhì)量 m,再測量出周期T ,由C=T2/m 即可求出C,這樣存在何種誤差？這種誤差由什么引起？如何克服？5. 已知振子的質(zhì)量 m,通過上面的測量，如何求出彈簧的等效質(zhì)量？6. 在測量彈簧振子的阻尼系數(shù)即式An二Ae：nT中的a時(shí)如果開始測得振子通過平衡位置時(shí)走了 AX勺距離是t0,在經(jīng)過10個(gè)周期、20個(gè)周期、30個(gè)周期、40個(gè)周期和50個(gè)周期依次測 得相應(yīng)的時(shí)間為t2、

15、t3、t4、t5，利用逐差法，寫出求阻尼系數(shù)a勺公式。 x距離所用時(shí)間寫出求7利用測得振子周期 T以及測得振子開始經(jīng)過平衡位置通過初始振幅A 0的公式。如有幫助，歡迎支持。&阻尼簡諧振動(dòng)為二階常系數(shù)微分方程x2lx2x=0，解這個(gè)微分方程。實(shí)驗(yàn)5- 8氣軌上的實(shí)驗(yàn)低阻尼下彈簧振子的振動(dòng)研究基本方法與技能1. 探索物理規(guī)律的實(shí)驗(yàn)方法。2. 用光電控制系統(tǒng)測量振動(dòng)周期和速度方法。3. 建立物理經(jīng)驗(yàn)公式的方法。4. 氣墊導(dǎo)軌水平調(diào)節(jié)技術(shù)；光電轉(zhuǎn)換測量和控制技術(shù)。5. 累加放大測量法減小儀器誤差。測量與數(shù)據(jù)記錄要求1.調(diào)節(jié)氣軌縱向水平及光電計(jì)時(shí)系統(tǒng)正常。2 測量彈簧振子質(zhì)量 m與振動(dòng)周期T的關(guān)系?；瑝K

16、依次增加50g質(zhì)量，改變5次質(zhì)量，使用單擋光片，分別測量振動(dòng)周期。測量振動(dòng)周期時(shí)采用累加放大測量法，10個(gè)周期累加測量。每個(gè)質(zhì)量條件下，測量1次即可。3 測量低阻尼下彈簧振子 與nT的關(guān)系?；瑝K不增加質(zhì)量，使用雙遮光片，光電門置于平衡位置處，使滑塊初始幅為1530cm，待滑塊運(yùn)行平穩(wěn)后，每隔10個(gè)周期測一次,測出周期數(shù)n=10、20、30、40、50、60、70時(shí)對應(yīng) 的肛4所有數(shù)據(jù)列表記錄，數(shù)據(jù)表格符合規(guī)范。數(shù)據(jù)處理要求1.建立周期與質(zhì)量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式(1) 列表處理T與M之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)。(2) 在直角坐標(biāo)紙中作 T與 M之間關(guān)系曲線。(3) 判斷函數(shù)關(guān)系，M與T近似成二次曲線關(guān)系，建立函數(shù)模型，即T2二kM。(4) 曲線改直，作M與T2之間的關(guān)系曲線，求解k值。(5) 確定T與M之間的函數(shù)關(guān)系T2二kM，即變化規(guī)律。(6) 驗(yàn)證所確定的規(guī)律是否正確。任意選取一個(gè)實(shí)驗(yàn)質(zhì)量M，代入確定的規(guī)律，計(jì)算出 T , 與實(shí)驗(yàn)測量值比較是否相符。2建立振幅隨時(shí)間變化規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式(1) 列表處理n與At之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)。(2) 在直角坐標(biāo)紙中作n與A t之間關(guān)系曲線。(3) 判斷函數(shù)關(guān)系，門與厶t近似成指數(shù)曲線關(guān)系，建立函數(shù)模型，即.-1 =eCn D。(4) 曲線改直，作n與ln t