二元一次方程組競(jìng)賽經(jīng)典題集(修改)

1、二元一次方程組競(jìng)賽題集 【點(diǎn)撥】 含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時(shí)需要討論字母系數(shù)的取值情況對(duì)于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1與b1、a2與b2都至少有一個(gè)不等于零，則時(shí)，原方程組有惟一解；時(shí)，原方程組有無窮多組解； 時(shí)，原方程組無解.【例1】 k、b為何值時(shí)，方程組 (1)有惟一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解?2、 已知關(guān)于x，y的方程組當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，方程組有唯一解，無解，有無數(shù)解？3、已知方程組有無窮多個(gè)解，試求a、b的值。4、已知關(guān)于、的二元一次方程(a1）x（a2）ya0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，

2、都可得到一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，求這個(gè)公共解；并證明對(duì)于任何a值，它都能使方程成立。5、若方程組的解是，求方程組的解。6、 已知m是整數(shù)，方程組有整數(shù)解，求m的值7、 已知xyz0,且，求的值8、若a、c、d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值是( ) A1 B5 C0 D 1拓展提高：1、 已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.2、解方程組3、某種商品價(jià)格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？4

3、、某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4分鐘可以通過800名學(xué)生.（1） 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？請(qǐng)說明理由.5、某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如右表： 張強(qiáng)兩次

4、共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？6、 用如圖中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無蓋紙盒. 現(xiàn)在倉庫里有張正方形紙板和000張長(zhǎng)方形紙板，問兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？ 二元一次方程組競(jìng)賽題集（答案+解析）【例1】已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.（）由已知方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.（）把k當(dāng)做已知數(shù)，解方

5、程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出k的值.（）將方程組中的兩個(gè)方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：×3×，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4. 【小結(jié)】解題時(shí)我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時(shí)間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解法了.【例2】某種商品價(jià)格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種

6、商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？ 【思考與分析】本題我們可以運(yùn)用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解. 我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式. 然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解. 最后，比較各個(gè)解對(duì)應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少. 解：設(shè)付出元錢的張數(shù)為x，付出元錢的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù). 依題意可得方程：2x+5y=33. 因?yàn)?y個(gè)位上的數(shù)只可能是或，所以2x個(gè)位上數(shù)應(yīng)為或. 又因?yàn)閤是偶數(shù)，所以x個(gè)位上的數(shù)是，從而此方程的解為：由得x+y=12；由得x+y=15.

7、所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少. 答：付款方式有種，分別是：付出張?jiān)X和張?jiān)X；付出張?jiān)X和張?jiān)X；付出張?jiān)X和張?jiān)X.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例3】 解方程組    【思考與分析】 本例是一個(gè)含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時(shí)乘以或除以字母表示的系數(shù)時(shí)，也需要弄清字母的取值是否為零.    解：由，得   y=4mx，           

8、60;      把代入，得  2x+5（4mx）=8，    解得  （25m）x=-12，當(dāng)25m0，    即m時(shí)，方程無解，則原方程組無解.    當(dāng)25m0，即m時(shí)，方程解為將代入，得故當(dāng)m時(shí)，原方程組的解為 【小結(jié)】 含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時(shí)需要討論字母系數(shù)的取值情況對(duì)于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1與b1、a2與b2都至少有一個(gè)不等于零，則時(shí)，原方

9、程組有惟一解；時(shí)，原方程組有無窮多組解；時(shí)，原方程組無解.【例4】某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4分鐘可以通過800名學(xué)生.（1） 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門是否符合安全

10、規(guī)定？請(qǐng)說明理由.【思考與解】（1）設(shè)平均每分鐘一道正門可通過x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生.根據(jù)題意，得所以平均每分鐘一道正門可以通過學(xué)生120人，一道側(cè)門可以通過學(xué)生80人.（2） 這棟樓最多有學(xué)生4×8×45=1440（人）.擁擠時(shí)5分鐘4道門能通過5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因?yàn)?1600>1440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定.答:平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學(xué)生、80名學(xué)生；建造的這4道門符合安全規(guī)定.【例5】某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表： 張強(qiáng)兩次共購買香蕉50千克（第二

11、次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？ 【思考與分析】要想知道張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價(jià)格和張強(qiáng)買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價(jià)格分三段，分別是6元、5元、4元.相對(duì)應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強(qiáng)兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù).解：設(shè)張強(qiáng)第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克由題意，得0<x<25當(dāng)0<x20，y40時(shí)，由題意，得當(dāng)0<x20，y>40時(shí)，由題意，得（與0<

12、x20，y40相矛盾，不合題意，舍去）當(dāng)20<x<25時(shí)，25<y<30此時(shí)張強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）.綜合可知，張強(qiáng)第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克.答： 張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克.【反思】我們?cè)谧鲞@道題的時(shí)候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認(rèn)為萬事大吉了，要進(jìn)行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】 用如圖中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無蓋紙盒. 現(xiàn)在倉庫里有張正方形紙板和000張長(zhǎng)方形紙板，問兩種

13、紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？ 【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)2，未知量是豎式紙盒的個(gè)數(shù)和橫式紙盒的個(gè)數(shù). 而且每個(gè)豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：每個(gè)豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù) × 豎式紙盒個(gè)數(shù) + 每個(gè)橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù) × 橫式紙盒個(gè)數(shù) = 正方形紙板的總數(shù)每個(gè)豎式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù) × 豎式紙盒個(gè)數(shù) + 每個(gè)橫式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù) × 橫式紙盒個(gè)數(shù) = 長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)通過觀察圖形，可知每個(gè)豎式紙盒分別要用張