第九章╲t振動

1、 通知本學(xué)期短文題目是本學(xué)期短文題目是我與物理學(xué)我與物理學(xué)。上交截止日期為上交截止日期為1010月月2828日。日。要求要求: :文要切題文要切題, ,字跡工整字跡工整, ,字數(shù)字數(shù)1200-15001200-1500。第九章第九章 振動振動 振動振動任一隨時間變化的物理客觀量任一隨時間變化的物理客觀量A(t)，在某一，在某一定值附近隨時間作定值附近隨時間作周期性周期性的反復(fù)變化的反復(fù)變化, 則稱則稱A的運動方式為的運動方式為振動振動。A(t)=A(t+T)，T稱為稱為A的的周期周期描寫物質(zhì)描寫物質(zhì)機械運動機械運動 的物理量，在的物理量，在某一數(shù)值附近作某一數(shù)值附近作周期性周期性 的變化。的變

2、化。機械振動機械振動機械振動的基本規(guī)律是研究其它振動的基礎(chǔ)機械振動的基本規(guī)律是研究其它振動的基礎(chǔ)簡諧振動簡諧振動)cos(0tAA) sin(0tAA若客觀物理量若客觀物理量 A A 隨時間變化的方式隨時間變化的方式為為余弦余弦（或正弦）規(guī)律變化（或正弦）規(guī)律變化 ： 則稱則稱 A 作作簡諧運動簡諧運動任何復(fù)雜的周期運動都可以分解成若干不同振幅、任何復(fù)雜的周期運動都可以分解成若干不同振幅、不同頻率、不同初相的簡諧振動的疊加。這個分解不同頻率、不同初相的簡諧振動的疊加。這個分解過程稱為過程稱為頻譜分析。頻譜分析。簡諧運動簡諧運動復(fù)雜振動復(fù)雜振動合成合成分解分解一、一、 彈簧振子彈簧振子oXkm無

3、阻力無摩擦無阻力無摩擦的的輕質(zhì)彈簧輕質(zhì)彈簧和可視為和可視為質(zhì)點質(zhì)點的物體組成的物體組成的理想化的的理想化的振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)平衡點：平衡點：合力為零的點合力為零的點定量分析時常以平衡點為定量分析時常以平衡點為坐標原點坐標原點0 ，水平向右為，水平向右為 X軸正向。軸正向。xXkmokmoxX9-1 簡諧振動簡諧振動彈簧振子：彈簧振子：圍繞平衡位置往復(fù)運動的條件圍繞平衡位置往復(fù)運動的條件：2、彈性回復(fù)力（彈性回復(fù)力（指向平衡位置指向平衡位置 ） 驅(qū)使系統(tǒng)回到平衡位置驅(qū)使系統(tǒng)回到平衡位置 1、慣性慣性 阻止系統(tǒng)停留在平衡位置阻止系統(tǒng)停留在平衡位置0222 xtdxd 二、簡諧振動的特征二、簡諧振動的

4、特征)cos()(tAtx 其解：其解：3、運動學(xué)方程：、運動學(xué)方程：彈性線性回復(fù)力彈性線性回復(fù)力kxF1、受力特點：、受力特點：2、微分方程：、微分方程：xxFmokxF由由 并令并令mk2 及及22dtxdmmaF三三. .簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的速度、加速度1.1.速度速度)sin( tAtddx)2cos( tA2. 加速度加速度)cos()cos(2222tAtAtdxda)cos()(tAtxB例例1 1判斷下列運動是否為簡諧振動。判斷下列運動是否為簡諧振動。1.均勻磁場中的磁針。（磁矩為均勻磁場中的磁針。（磁矩為m，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為J）m 022Jm

5、BdtdsinmBM很小時：當mBM是簡諧振動是簡諧振動dtdJM2)cos(0tJmB2令2.小球在地面上作完全彈性的上下跳動。小球在地面上作完全彈性的上下跳動。 VmgF1VmgfF2不是簡諧振動。不是簡諧振動。9-2 描述簡諧振動特征量描述簡諧振動特征量)cos()(tAtxA1、振幅、振幅 ：振動中最大位移量的絕對值振動中最大位移量的絕對值它給出了質(zhì)點它給出了質(zhì)點 的運動范圍的運動范圍:一個確定的系統(tǒng)的振幅是確定的一個確定的系統(tǒng)的振幅是確定的AxA一、描述簡諧振動的三個特征量一、描述簡諧振動的三個特征量maxxA kl0 xmoAA2、周期、周期 T：系統(tǒng)每完成一次完全振動所經(jīng)過的時系

6、統(tǒng)每完成一次完全振動所經(jīng)過的時間叫做周期。間叫做周期。周期反映了系統(tǒng)振動的快慢周期反映了系統(tǒng)振動的快慢, 每隔每隔T 時時間運動完全重復(fù)間運動完全重復(fù).)(cosTtA2T)cos(tA)cos(TtA由周期由周期定義：定義：kl0 xmoAA21T稱為稱為振動頻率振動頻率，表示單位時間內(nèi)完全振動，表示單位時間內(nèi)完全振動的次數(shù)。的次數(shù)。單位：單位：赫芝赫芝=次數(shù)次數(shù) / 秒秒; 符號：符號：Hz稱為稱為角頻率角頻率（或圓頻率），表示振動系統(tǒng)（或圓頻率），表示振動系統(tǒng)在在2 秒內(nèi)完全振動的次數(shù)（秒內(nèi)完全振動的次數(shù)（振動相位的變振動相位的變化率）?；剩?單位：單位：弧度弧度/ 秒；秒；符號符號

7、:rad/slgglT2lg21單擺單擺mkkmT2mk21振子振子例例周期和頻率（角頻率）完全由振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)決定周期和頻率（角頻率）完全由振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)決定所以稱這種周期和頻率為系統(tǒng)的所以稱這種周期和頻率為系統(tǒng)的固有周期固有周期和和固有頻率固有頻率注意注意3 相位相位 初相位初相位(1) ( t + + ) 振動物體振動物體 在在 t 時刻的振動時刻的振動相位相位它是決定簡諧振動物體它是決定簡諧振動物體t 時刻運動狀態(tài)的物理量時刻運動狀態(tài)的物理量一定的相位對應(yīng)一定的運動狀態(tài)：相位不同物體一定的相位對應(yīng)一定的運動狀態(tài)：相位不同物體的運動狀態(tài)不同的運動狀態(tài)不同)cos(tAx)

8、sin(tAxvo0023)(Avxtxvo002)(Avxt由相位的定義可見由相位的定義可見 的意義（單位時間內(nèi)相位的變化）的意義（單位時間內(nèi)相位的變化）相位經(jīng)歷著從相位經(jīng)歷著從 02 的變化時，的變化時，相應(yīng)的相應(yīng)的質(zhì)點質(zhì)點振動狀態(tài)在一個周期內(nèi)振動狀態(tài)在一個周期內(nèi)連續(xù)變化（連續(xù)變化（即即質(zhì)點無質(zhì)點無相同的運動狀態(tài)）相同的運動狀態(tài)） 相差相差 2 的整數(shù)倍的的整數(shù)倍的質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同（周期性）周期性）每相差每相差 2 在時間上相當于相隔了一個周期在時間上相當于相隔了一個周期xtTTab c用相位描述振動狀態(tài)，能充分體現(xiàn)出諧振動的周期性用相位描述振動狀態(tài)，能充分體現(xiàn)出諧振動的周

9、期性相位是一個非常重要的概念，要確切地理解。相位是一個非常重要的概念，要確切地理解。tx圖圖AAxT2Ttovvvv (2) 初相位初相位 （是是 t =0時刻的相位）時刻的相位）它是決定簡諧振動物體在初始時刻（計時起點）它是決定簡諧振動物體在初始時刻（計時起點）運動狀態(tài)的物理量運動狀態(tài)的物理量 值由初始條件所決定，與值由初始條件所決定，與計時起點有關(guān)。計時起點有關(guān)。相位是相對的。但是相位與振動狀態(tài)的一一對相位是相對的。但是相位與振動狀態(tài)的一一對應(yīng)關(guān)系是確定的。應(yīng)關(guān)系是確定的。（3）相位差）相位差對兩對兩同頻率同頻率的諧振動的諧振動:）（）（1122tt=初相差初相差12同相和反相同相和反相兩

10、振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同, ,稱稱同相同相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相）、 210(2kk當當: :兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反 , 稱稱反相反相 x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相）、）210(12(kk當當: 超前和落后超前和落后領(lǐng)先、落后以領(lǐng)先、落后以 的相位角來判斷的相位角來判斷xx2ToA1-A1- A2x1tA2若若 , 則則 比比 較早達到正較早達到正方向最大方向最大, 稱稱 比比 超前超前 (或或 比比 落后落后)。0)12（2x1x1x2x2x1xtx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2co

11、s(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa22020VxA式中式中 是初始的位移，是初始的位移， 是初速度。是初速度。0 x0V由此可得出：由此可得出：cos0Ax sin0AV則有則有已知已知000vvxxt、時（初始條件決定振幅和初相位）（初始條件決定振幅和初相位）4、常數(shù)、常數(shù) A 和和 的確定的確定00 xVtg 的象限由的象限由 和和 共同決定共同決定0 x0V 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定和初相由初始條件決定.三、諧振動的描述方法三、諧振動的描述方法1.解析法解析法2.圖線法圖線法3.旋

12、轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法初相位初相位 物體沿物體沿 x 軸作諧振動，振幅為軸作諧振動，振幅為 12 cm, 周期為周期為 2 s 當當 t = 0時，坐標為時，坐標為 6 cm ，向，向 x 軸正向運動軸正向運動例例1解：設(shè)解：設(shè) )cos(tAx)sin(tAcmtxTcmA)35cos(12212求：求：（1）初相）初相 （2）t = 0.5 s 時時 ，坐標、速度、加，坐標、速度、加速度速度 （3）以物體在平衡位置且向）以物體在平衡位置且向 x 軸負向運軸負向運動作計時零點的運動方程動作計時零點的運動方程例例1(1)20Ax 00v初初條條件件cos20AAx0sin0Av35(2)cmx4

13、.10)355 . 0cos(125 . 0scmv/8 .18)355 . 0sin(125 . 0225 . 0/103)355 . 0cos(12scmacmtx)2cos(12取不同計時零點，有不同的初相位取不同計時零點，有不同的初相位(3)00 x00v初初條條件件cos00Ax0sin0Av2例例2 原長為原長為0.50m的彈簧，上端固定，的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為下端掛一質(zhì)量為0.10kg的物體，當物體的物體，當物體靜止時，彈簧長為靜止時，彈簧長為0.60m?，F(xiàn)將物體上。現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時開始計時，取豎直向下

14、為正向，放手時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動方程。寫出振動方程。mml 0ll 0OXx0解：解：(1) 建立如圖坐標建立如圖坐標: 原點在原點在平衡位置平衡位置, 向下為正向向下為正向(2)mllx10. 0)50. 060. 0()(0000v101010. 010. 0lmgklkmg(3)1010. 010mkmxvxA10. 00220200cos10. 010. 000vx)10cos(10. 0tx(4)初條件初條件X（cm）t（s）O421例例3質(zhì)點作簡諧振動的曲線質(zhì)點作簡諧振動的曲線 x - t如圖所如圖所示。試根據(jù)該曲線求出該質(zhì)點的振示。試根據(jù)該曲線求出該質(zhì)點的振動方

15、程。動方程。)365cos(4tx(4)解解 (1) 設(shè)設(shè)cmttAx)cos(4)cos(smttAv/)sin(4)sin(3)65232310)31sin(4)31cos(4000111vvxttt(2)0t初條件初條件:30200vxcos42 0sin40v第第8 8次作次作 業(yè)業(yè)教材：習(xí)題教材：習(xí)題 9-12、9-13、9-14習(xí)題集（第習(xí)題集（第10章）：章）：（一）（一）6（二）（二）1、2、3（簡諧振動特征量與方程的確定）（簡諧振動特征量與方程的確定）Ax0根據(jù)根據(jù))cos(tAx作旋轉(zhuǎn)矢量作旋轉(zhuǎn)矢量 模為模為 A，以角速度，以角速度 ，從初始角，從初始角 出發(fā)繞原點出發(fā)繞原

16、點逆時針逆時針勻速旋轉(zhuǎn)的矢量。勻速旋轉(zhuǎn)的矢量。A：旋轉(zhuǎn)矢量：旋轉(zhuǎn)矢量9-3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量結(jié)論：結(jié)論：x0)cos(tAxPxA)(tM)(tt 矢量矢量 以角速度以角速度 旋轉(zhuǎn)一周，相當于物體在旋轉(zhuǎn)一周，相當于物體在 軸軸上作一次完全振動。上作一次完全振動。Ax旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 的矢端的矢端 ,在在 軸軸 上的投影點上的投影點 的運的運動可表示物體在動可表示物體在 軸上的簡諧運動。軸上的簡諧運動。AxPxM旋轉(zhuǎn)矢量本身并不作簡諧運動，而是矢量的端旋轉(zhuǎn)矢量本身并不作簡諧運動，而是矢量的端 點在點在 ox 軸上的投影點作諧振動。軸上的投影點作諧振動。注意：注意：物體沿物體沿ox 軸作簡諧運動，

17、振幅為軸作簡諧運動，振幅為0.06 m ，周期為，周期為2.0s ，當，當 t=0時位移為時位移為 0.03m ，且向，且向 x 軸正向運動軸正向運動（1）初相位（）初相位（2） t =0.5s 時位移、速度、加速度時位移、速度、加速度 （3）從）從 x= - 0.03m 且且向向 x 軸負向運動到平衡位置軸負向運動到平衡位置至少需要多少時間？至少需要多少時間？ （用旋轉(zhuǎn)矢量法求解）（用旋轉(zhuǎn)矢量法求解）求：求：例例2mAx052. 06cos1094. 06sinsmAv22513. 06cossmAa（2）t=0.5=T/4轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過/2(t=0)6x解解:)3(35（1）)0( tx（3）3

18、st6565)32(x兩質(zhì)點沿兩質(zhì)點沿 x 軸作同方向、同振幅軸作同方向、同振幅 A的諧振動，周的諧振動，周期均為期均為 5 s。當。當t=0時，質(zhì)點時，質(zhì)點1 在在 處向處向 x 軸軸負向運動負向運動; 而質(zhì)點而質(zhì)點2 在在 -A 處。試用旋轉(zhuǎn)矢量法求處。試用旋轉(zhuǎn)矢量法求這兩個諧振動的初相差，以及這兩個諧振動的初相差，以及 兩個質(zhì)點第一次兩個質(zhì)點第一次經(jīng)過平衡位置的時刻。經(jīng)過平衡位置的時刻。A22例例3解解 設(shè)兩質(zhì)點振動方程分別為：設(shè)兩質(zhì)點振動方程分別為：)2cos()2cos(2211tTAxtTAx43412121A2A0 xsTt625. 08111AsTt25. 14122A例例4、

19、諧振動曲線如圖所示。已知振幅為、諧振動曲線如圖所示。已知振幅為A，周期為周期為T。t =0時，時，x0 = A / 2。試用。試用旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量法求：法求：xtOab（1）諧振動的初相位）諧振動的初相位 ； （2）a、b兩點的相位；兩點的相位； （3）從從t=0到到a、b兩點的時間。兩點的時間。A/ 2Ax t=0TTt61231TTt12522321t2t1t2t30a2b解解:)(sin21212222tmAmVEk9-4 簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以水平的彈簧振子為例以水平的彈簧振子為例)(sin2122tkA1、簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()(tAtx)/(mk2m

20、ax21kAEk0minkEkmoxXV)sin(tAv2、簡諧振動的勢能：簡諧振動的勢能： )(cos2121222tkAkxEp)(dxdEkxfp彈性力(情況同動能)2max21kAEp0minpE動能、勢能都作周期變化，但變化頻率是振動動能、勢能都作周期變化，但變化頻率是振動 頻頻率的率的 2倍。倍。 位移最大時，勢能達到最大、但動能位移最大時，勢能達到最大、但動能為為 零；零； 位移為零時，勢能為零，而動能達到最大。位移為零時，勢能為零，而動能達到最大。T)(tx)(tEk221kA)(tEpt0222221)(cos)(sin21kAttkApkEEE3、簡諧振動的總能量簡諧振動的

21、總能量：簡諧振動總能量不隨時間變化。簡諧振動總能量不隨時間變化。總能量與振幅平方總能量與振幅平方正比。正比。振幅不僅決定振動范圍，且反映了振動系統(tǒng)振幅不僅決定振動范圍，且反映了振動系統(tǒng)的總能量的大小的總能量的大小T)(tx)(tEk221kA)(tEpt0EpkEEE221kxEp221kAE AkEpE221kAEAo221kxEpxkExE圖中任意位移圖中任意位移 x 處的總能量與勢能之差，就是處的總能量與勢能之差，就是此處的動能值。此處的動能值。4、能量隨位移變化的關(guān)系曲線、能量隨位移變化的關(guān)系曲線222241cos2kAdxxTkA勢能的時間平均值勢能的時間平均值:TPdttkATE0

22、22)(cos2115、動能、勢能的時間平均值、動能、勢能的時間平均值TkdttkATE022)(sin211222241sin2kAdxxTkA動能的時間平均值動能的時間平均值: 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222max

23、max,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 時，時，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x 實際振動多為復(fù)雜的合成振動，即兩個或更多簡實際振動多為復(fù)雜的合成振動，即兩個或更多簡諧振動的合成。這里僅討論兩個簡諧振動合成的情形。諧振動的合成。這里僅討論兩個簡諧振動合成的情形。兩個簡諧振動的合成兩個簡諧振動的合成兩振動方向相同兩振動方向相同兩振動方向垂直兩振動方向垂直頻率相同頻率相同頻率不同頻率不同頻率不同頻率不同頻率相同頻率相同9-5 簡諧振動的合成簡諧振動的合成1 1、 設(shè)兩個分振動具有

24、相同頻率，同一直線上運動，設(shè)兩個分振動具有相同頻率，同一直線上運動， 有不同的振幅和初相位有不同的振幅和初相位一、兩個一、兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtx)cos(tA2、 合振動合振動 合振動仍是同方向簡諧振動合振動仍是同方向簡諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg合振動的初相：合振動的初相：一般，合振動的振幅并不等于兩個分振動振幅的一般，合振動的振幅并不等于兩個分振動振幅的代

25、數(shù)和，它不僅與兩個分振動的振幅有關(guān)，且與代數(shù)和，它不僅與兩個分振動的振幅有關(guān)，且與兩個分振動兩個分振動 的相位差的相位差密切密切相關(guān)。相關(guān)。合振動的振幅：合振動的振幅：2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg用旋轉(zhuǎn)矢量法求用旋轉(zhuǎn)矢量法求 A,3. 兩種重要特殊情況兩種重要特殊情況 (1) 若兩分振動同相若兩分振動同相）、 210(212kk合振幅合振幅12AAA2A1AAOXtx1x2x兩分振動兩分振動相互加強相互加強)cos(212212221AAAAA)cos()(21

26、tAAx (2) 若兩分振動反相若兩分振動反相）、 210() 12(12kk兩分振動兩分振動相互減弱相互減弱若若 則則12AA 0A2A1AAOXtx2x1x12AAA合振幅合振幅)cos(12tAAx)cos(212212221AAAAA|2121AAAAAk12（3）一般情況：）一般情況：兩分振動的相位差對合振動起著重要的作用兩分振動的相位差對合振動起著重要的作用2A1AAOXtx1x2x例例 兩個同方向同頻率諧振動兩個同方向同頻率諧振動mttx)4310cos(05. 0)(1mttx)4110cos(06. 0)(2求：合振動？求：合振動？mAAAAA078. 0)434cos(06. 005. 0206. 005. 0)cos(222122122210221122118 .8411coscossinsinarctgAAAAarctgmttx)8 .8410cos(078. 0)(0一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧運動，一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧運動，表達式為表達式為62cos41tx試求其合振動方程試求其合振動方程652cos32txOxA1 1A2 2)62cos(txA2,61121AAA解：用旋轉(zhuǎn)矢量方法解：用旋轉(zhuǎn)矢量