湖州師院第二屆《高等數(shù)學》競賽試卷(工科組)

1、湖州師院第二屆高等數(shù)學競賽試卷（工科組）競賽時間：2004年11月7日 8:00-11:00下屬學院-專業(yè)-班級-學號-成績-一、計算題n+lnnlnn1、求lim()的值。nn-lnnn（選自廣東省大學生高等數(shù)學競賽試題）2lnn2lnnn-lnnn+lnnlnn解：lim( )=lim(1+nnn-lnnn-lnnlnn1+tt2=t, 則原式lim令()=e.t0+1-tnnn-lnn2n2、計算積分I=2x-x2dx.（選自2000年全國碩士研究生入學試題）解：I=-(x-1)2dx，由定積分的幾何意義知，I表示由上半圓01(x-1)2+y2=1,(y0)與直線y=0,x=1所圍成的圖

2、形的面積。故I=3、 求冪級數(shù)(2n+1)xn的收斂域，并求其和函數(shù)。n=04.（選自1990年高數(shù)一、二碩士研究生入學試題） 解： （分別求出數(shù)2nx和xn的和函數(shù)）nn=0n=0anan=2n+1, 由lim=1可知冪級數(shù)(2n+1)xn的收斂半徑為R=1, 收nan=0n+1斂區(qū)間為(-1,1)，并且xn=n=0n1, x(-1,1), 1-xnn2nx=2(n+1)x-2x=2(xn+1)-n=0n=0n=0n=02 1-x=2(xn)-n=12x2 =2()-1-x1-x1-x=2x,x(-1,1), (1-x)2因此 (2n+1)xn=n=01+x,x(-1,1). 2(1-x)4

3、、 求積分值0xlnx. (1+x2)2（選自高等數(shù)學雙博士課堂） 解： 因為lim+x0xlnx=0, 故x=0不是瑕點。但此反常積分還是可以這樣處理： (1+x2)201xlnxxlnxxlnx=+. 22222201(1+x)(1+x)(1+x)xlnxlnx1x21而 dx=lim-+ln 220(1+x2)2x0+2(1+x)41+x11ln12=lim-ln2+-ln 22x0+42(1+)41+ln22ln121 =-lim+ln=-ln2. 22+x0442(1+)41+1xlnxlnx1x2b=lim-+ln 22221b+(1+x)2(1+x)41+xlnb1b2ln21=

4、lim-+ln+=ln2. b+442(1+b2)41+b2故 0xlnx=0. (1+x2)22二、求曲面z=x2+y2和z=2-x2+y2所圍成的體積V和表面積S。 解： 由22 z=x+y, 22z=2-x+y,得 z=2-z故得 z2-5z+4=0.解得z1=1,z2=4（舍去），所以投影區(qū)域D:x2+y21.V=2-x2+y2-(x2+y2)dxdy D215 =d(2-r-r2)rdr=. 006因為S=+(Dz2z2)+()dxdy xy-xx2+y2-yx2+y2 =+(2x)2+(2y)2dxdy+(DD)2+()2=+4(x2+y2)+2dxdyD=d(+4r2+2)rdr

5、 00211=(5-1)+2. 61三、計算曲線積分(x+esiny)dy-(y-)dx, 其中L是由位于第一象限中的直線2L段x+y=1與位于第二象限中的圓弧x2+y2=1構(gòu)成的曲線，方向是由A(1,0)到B(0,1)再到C(-1,0).（選自高等數(shù)學雙博士課堂）解： 添加輔助線CA，使L+CA成為封閉曲線，故由格林公式，得 311 (x+esiny)dy-(y-)dx+(x+esiny)dy-(y-)dx 22LCA=1siny(x+e)dy-(y-)dx +2D1-(y-)(x+esiny)dxdy =-xyD=2dxdy=D=2(D1+). 421siny(x+e)dy-(y-)dx

6、2L=(=(1+1)-(x+esiny)dy-(y-)dx 22CA2+1)-1dx=. -1221四、 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，其中a0且f(a)=0，試證明：在(a,b)內(nèi)必有一點。使f()=b-f(). a（選自廣東省大學生高等數(shù)學競賽試題）證：關(guān)鍵是要構(gòu)造一個合適的輔助函數(shù)，使它符合羅爾定理的三個條件。令F(x)=(b-x)af(x)，此函數(shù)顯然在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b)=0。由羅爾定理知：在(a,b)內(nèi)必有一點，使F()=0, 即(b-)af()-a(b-)a-1f()=0，故得 f()=b-f(). a五、求半徑為R的圓的內(nèi)接

7、三角形中面積最大者。（選自第一屆北京市大學生（非理科）數(shù)學競賽試題）解： 設(shè)圓心到此內(nèi)接三角形三個頂點所構(gòu)成的圓心角分別為x,y,z，則 4z=2-x-y.設(shè)所對應(yīng)的三個三角形的面積分別為S1,S2,S3. S1=1211Rsinx, S2=R2siny, S3=R2sin(2-x-y), 222 x0, y0, x+y2.圓內(nèi)接三角形面積S=S1+S2+S3.R2S=sinx+siny+sin(2-x-y) 2R2=sinx+siny+sin(x+y). 2SR2S=0,=cosx-cos(x+y),2xx 令 2S=0.S=Rcosy-cos(x+y).2yy得 cosx=cosy=cos2x2cos2x-1=cosx1 cos=1或-. 2當cosx=1x=0,y=0,z=2,此時圓內(nèi)接三角形縮為此三角形邊界上的一段直線段，所以S=0. 2R2232, 此時S=當cosx=1x=y=z=3sin=R為最大。 3234即圓的內(nèi)接三角形中面積最大者是內(nèi)接正三角形。六、求證當x0時，對p1,q1,且（選自高等數(shù)學雙博士課