二重積分的計算方法 ppt課件

1、10.2 10.2 二重積分的計算方法二重積分的計算方法一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 在直角坐標系下用平行于坐標軸在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo那么面積元素為那么面積元素為當函數(shù)當函數(shù)f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D上連續(xù)時，我們可以用特定的分割上連續(xù)時，我們可以用特定的分割來處置定積分的計算。來處置定積分的計算。xoabxdxx .)( badxxAVRR xyo xxyoRx 知平行截面面積知平行截面面積的立體的體積的立體的體積注：二重積分轉(zhuǎn)

2、變?yōu)槎畏e分的注：二重積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏e分的推導(dǎo)過程借助于幾何直觀，略去推導(dǎo)過程借助于幾何直觀，略去了分析證明過程。了分析證明過程。為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積曲曲面面為為底底，以以的的值值等等于于以以時時當當),(),(,0),(yxfzDdxdyyxfyxfD 用平面用平面x=x0截立體，截立體，截得截得A(x0). 應(yīng)用計應(yīng)用計算算“平行截面面積為平行截面面積為知的立體求體積知的立體求體積的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf得得注意注意D的特殊之處。的特殊之處。假如積分區(qū)域為：假

3、如積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y y軸的直軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊境相交不多于兩個交點. .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 假如積分區(qū)域為：假如積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D

4、Y Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x x軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于兩個交軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于兩個交點點. .假設(shè)區(qū)域如圖，假設(shè)區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD那么必需分割那么必需分割.對非對非X、Y型區(qū)域型區(qū)域xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(

5、2的的次次序序.原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 3 3 改改變變積積分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域.解解兩曲線的交點兩曲線的交點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2

6、 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為頂點的三角形為頂點的三角形. dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 計計算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示

7、先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 數(shù)數(shù)表表示示。的的原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1,sin2Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0dxdyyxfyxfVD),(),(12 利用二重積分計算空間立體體積利用二重積分計算空間立體體積例例題題1 1） 求求由由hzyxz ,22所所圍圍立立體體的的體體積積 . .2 2） 求求由由x x= =0 0, , y y= =0 0, , x x+ +y y= =1 1所所圍圍柱柱體體被被平平面面z z= =0 0及及拋拋物物面

8、面x x2 2+ +y y2 2= =6 6- -z z截截得得的的立立體體的的體體積積 . .一一、 計計算算 1 1、 DxyyxDdxdyxy230,1:,223。練練 習(xí)習(xí) 題題 2 2、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分. . 3 3、將二次積分、將二次積分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改換積分次序改換積分次序。二、畫出積分區(qū)域二、畫出積分區(qū)域, ,并計算下列二重積分并計算下列二重積分: : 1 1、

9、Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D: : 20 , 11 yx. . 2 2、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；3 3、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 .

10、.練習(xí)題答案練習(xí)題答案256152ln41)1(411691212221010322123032102 dxxxxdxdxxydxdyxydxxx1、一、.)(,)(1012 dxxfdtexfxt求求練練習(xí)習(xí)：已已知知 101010)()()()(dxxfxxxfdxxf：一一解解 102)1(dxxefx10212xe ).1(211 edxdteIxt)()(1012 二二解解tdxdtext)(1012 dxedttt 1002 102tdtet).1(211 e 令令 110)()(xdyyfxfdxI,)()(010 xdyyfdxxf練練習(xí)習(xí)設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)

11、，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx. 則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(. 10101010210)()()()()(dyyfxfdxdxxfdxxfdxxf分分析析：故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 計算二重積分：計算二重積分：例例所所圍圍區(qū)區(qū)域域。及及是是由由其其中中、14,)(122 yxyxyDdyxD dyxyx 122)(2、 12)(1DDyddyx ：解解 dxydxydxyyxyxyxyxyx 0010011442：解解 yydxydy2102dyy2310212 。52 10104xydyxdx 1022)1(4xxdx.612)1(4102 dxxxD例例1 1解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 x